康威與平面幾何

蔣迅

英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·康威（John Conway）于2020年4月11日因新冠肺炎并發(fā)癥在美國(guó)新不倫瑞克市（普林斯頓附近）的老人療養(yǎng)院去世，終年82歲.康威的去世震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界.他在數(shù)學(xué)上的成就是多方面的，他的研究領(lǐng)域包括有限群、趣味數(shù)學(xué)、紐結(jié)理論、數(shù)論、代數(shù)、分析、算法組合、博弈論、編碼學(xué)以及理論物理學(xué)等范疇.本文介紹了他在平面幾何方面的一些工作，以此紀(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家.

一、康威圓定理

“康威圓”（Conways Circle）定理是一個(gè)平面幾何定理.

如圖 2，圓的圓心就是內(nèi)切圓的圓心.記 r 為內(nèi)切圓的半徑，s 為三角形的半周長(zhǎng)，那么R還有一個(gè)用 r 和 s 表示的更簡(jiǎn)潔的公式.

康威在一個(gè)討論幾何問題的社交群里發(fā)布了這個(gè)定理.后來人們就把它稱為了康威圓.他在與網(wǎng)友們討論時(shí)還指出，當(dāng)延伸的距離分別為 a +x ， b+x和 c +x 時(shí)，該結(jié)論仍然成立.其中 a +x，b +x 和 c +x 都為大于零的任意實(shí)數(shù).

證明的思路是證明從點(diǎn)l到點(diǎn)的距離都相等.

如圖3，

由上述推理，我們得出結(jié)論：六點(diǎn)共圓且圓心就是內(nèi)切圓的中心.

二、康威發(fā)現(xiàn)的與平面幾何有關(guān)的其他結(jié)論

康威曾經(jīng)對(duì)平面幾何很入迷.康威發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1、2和的直角三角形可以分割成五個(gè)全等的直角三角形，并且它們都與原來的三角形相似，如圖5.后來美國(guó)數(shù)學(xué)家查理·拉?。–harlie Latin）由此構(gòu)造出了第一個(gè)非周期平鋪（pinwheel tiling）的平面三角形，如圖6，而且這類三角形的方向有無窮多.后來，康威發(fā)現(xiàn)，平分三角形面積的線段并不都通過三角形的重心.這似乎與人們的直覺相悖.事實(shí)上，如果用任意直線按等面積切割三角形的話，那么這些直線會(huì)形成一個(gè)像三尖瓣線（deltoid curve）內(nèi)部的幾何區(qū)域（如圖7）.康威甚至計(jì)算了這個(gè)區(qū)域的面積，它等于，其中[ABC]是三角形 ABC 的面積.

康威與美國(guó)數(shù)學(xué)家彼得·道爾（Peter Doyle）給出了莫雷角三分線定理的初等證明.莫雷角三分線定理是說，對(duì)一個(gè)任意的三角形的三個(gè)內(nèi)角作角三等分線，連接靠近公共邊的三分線的三個(gè)交點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，如圖8.康威將自己的證明寫在他的著名文章《數(shù)學(xué)的力量》（The Power of Mathematics）中.

我們知道，一個(gè)任意三角形的三個(gè)內(nèi)角角平分線相交于一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是內(nèi)切圓的圓心.在二等分角的情況里，記 n =2，假定有三個(gè)角α，β，γ滿足如圖9，取α′= α+90? ， β′=β+ 90?， γ′= γ+90?，再作三個(gè)三角形.它們是：以 α，β，γ′為內(nèi)角的三角形，以α，β′，γ為內(nèi)角的三角形和以α′，β，γ為內(nèi)角的三角形.則可以在適當(dāng)伸縮后使得它們拼成一個(gè)以2α，2β，2γ為內(nèi)角的三角形.

在三等分角的情況里，記 n =3，假定有三個(gè)角α，β，γ滿足，再作七個(gè)三角形.這七個(gè)三角形如圖10所示，我們不再贅述.那么在適當(dāng)伸縮后使得它們可以拼成一個(gè)以3α，3β，3γ為內(nèi)角的三角形.這就是康威的證明思路.我們可以把該結(jié)果推廣到任意的 n =2， 3， 4，5， …的情形去.

再來看一個(gè)奇怪的房形圖案.為了方便起見，我們就把它稱為康威小屋.

康威小屋不是康威本人發(fā)現(xiàn)的.一開始人們考慮的是在一個(gè)單位正方形中嵌入一個(gè)最大的等邊三角形（圖11中的下半部分）.顯然這個(gè)三角形必須與正方形的四條邊都相接.于是其中一個(gè)三角形的頂點(diǎn)就必須落在正方形的一個(gè)角上.在這個(gè)頂點(diǎn)上，等邊三角形的兩條邊與正方形的兩條邊的夾角是.可以算出，這個(gè)三角形的面積是.這個(gè)值正好是單位等邊三角形中最大正方形的邊長(zhǎng).這個(gè)結(jié)論看似神奇，但康威把單位等邊三角形放到正方形的上面，然后隨手畫了一個(gè)平行四邊形（如圖13、14），一下把這個(gè)問題解決了.他畫的平行四邊形就像是從閣樓上安了一個(gè)下樓的樓梯.它的面積跟等邊三角形的面積相等.

再來介紹一個(gè)康威和俄裔美國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大·索弗（Alexander Soifer， 1948-）在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上發(fā)表的一篇論文：“個(gè)單位等邊三角形是否可以覆蓋一條邊長(zhǎng)大于 n ，例如 n + ε 的等邊三角形？”它的正文只有幾個(gè)字“可以”（即個(gè)單位等邊三角形可以覆蓋一條邊長(zhǎng)大于 n ，例如 n + ε 的等邊三角形）和兩幅圖，如圖15、16所示.

這個(gè)問題是索弗在訪問普林斯頓大學(xué)時(shí)提出的，當(dāng)時(shí)康威對(duì)比很感興趣.通過研究和分析，康威得到了圖15，即用個(gè)等邊三角形可以做到.隨后索弗得到了圖16，也是個(gè)，但覆蓋方法卻是完全不同的.注意這里等邊三角形是一個(gè)重要的條件，否則的話可以作出個(gè)滿足要求的三角形.

康威在幾何上的貢獻(xiàn)還有很多，比如康威多面體表示法（Conway polyhedron notation）、密鋪數(shù)學(xué)理論的康威準(zhǔn)則（Conway criterion）等.