胡義明，梁忠民，姚 軼，羅序義，王 軍，李彬權(quán)

(河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇 南京 210098)

工程水文計(jì)算是水利工程規(guī)劃和建設(shè)的基礎(chǔ)，國內(nèi)外現(xiàn)行的工程水文計(jì)算理論與方法都要求水文極值系列具有平穩(wěn)性。但受到氣候變化及人類活動的影響，流域降雨時空分配模式、產(chǎn)匯流規(guī)律[1]及河道洪水的天然過程發(fā)生了改變，進(jìn)而導(dǎo)致諸多站點(diǎn)水文系列呈現(xiàn)非平穩(wěn)性變異[2-3]。理論上，現(xiàn)行的基于平穩(wěn)性假定的工程水文計(jì)算理論與方法已不再適用于變化環(huán)境下的非平穩(wěn)性情形[4-7]。

變化環(huán)境下非平穩(wěn)性水文頻率分析根據(jù)研究變量數(shù)目可以分為非平穩(wěn)性單變量頻率分析和非平穩(wěn)性多變量頻率分析。目前的研究主要集中在單變量方面，而關(guān)于非平穩(wěn)性多變量洪水頻率分析的研究還較少[7-9]。由于水文事件(過程)通常包含多個特征屬性，如一場洪水過程包含洪峰和不同時段洪量特征等，采用單一水文變量(如洪峰或時段洪量)通常很難描述水文事件(過程)的真實(shí)特征，為此，進(jìn)行變化環(huán)境下多變量洪水頻率分析更具有現(xiàn)實(shí)意義。相較于平穩(wěn)性多變量頻率分析問題而言，非平穩(wěn)性多變量頻率分析問題要復(fù)雜得多。在平穩(wěn)性條件下，洪峰-洪量聯(lián)合分布函數(shù)被假定是唯一且不隨時間變化的，指定重現(xiàn)期對應(yīng)洪峰-洪量組合設(shè)計(jì)值易于求解。然而在非平穩(wěn)性條件下，不同水文變量間的相關(guān)關(guān)系隨著時間變化，即不同變量間的聯(lián)合分布函數(shù)在不同年份是不同的，這導(dǎo)致了指定重現(xiàn)期對應(yīng)的洪峰-洪量組合設(shè)計(jì)值求解困難[9-10]。目前基于非平穩(wěn)性多維極值統(tǒng)計(jì)理論開展變化環(huán)境下多變量水文頻率分析的研究正在興起，但主要還是集中在描述不同變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)、聯(lián)合分布規(guī)律、極值事件對應(yīng)重現(xiàn)期等特征隨時間的變化過程[11-14]。而從設(shè)計(jì)洪水角度(指定設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)對應(yīng)唯一的洪水設(shè)計(jì)值)，在非平穩(wěn)性多變量條件下推求指定標(biāo)準(zhǔn)的洪峰-洪量組合設(shè)計(jì)值的研究還較為缺乏[9，15]。

本文基于時變Copula函數(shù)構(gòu)建了可綜合考慮洪峰-洪量邊緣分布非平穩(wěn)性和變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)性的時變動態(tài)Copula多維聯(lián)合分布模型，在此基礎(chǔ)上，提出采用等可靠度法和條件期望組合法推求變化環(huán)境下指定標(biāo)準(zhǔn)的洪峰-洪量組合設(shè)計(jì)值，并以黃龍灘站洪峰和年最大7 d洪量系列為例進(jìn)行了示例研究。

1 理論與方法

1.1 時變Copula模型

變化環(huán)境下多變量水文頻率分析中的非平穩(wěn)性包括各極值變量自身分布規(guī)律的非平穩(wěn)性和不同變量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的非平穩(wěn)性，而基于多維極值分布理論的時變Copula模型多被應(yīng)用于描述變量邊緣分布和結(jié)構(gòu)關(guān)系的非平穩(wěn)性中。在時變Copula模型中，各變量邊緣分布中的參數(shù)及模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)不再是常數(shù)，其隨協(xié)變量因子(如時間)而變化。通過時變Copula模型可構(gòu)建綜合考慮邊緣分布非平穩(wěn)性和變量間相依結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)性的時變動態(tài)Copula多維聯(lián)合分布函數(shù)，進(jìn)而描述不同年份多變量聯(lián)合分布規(guī)律的演變特征。

以變量X和Y分別表示洪峰和洪量，假定其對應(yīng)的時變分布函數(shù)分別為Fx(x|θxt) 和Fy(y|θyt)，即：

xt～Fx(x|θxt)

(1)

yt～Fy(y|θyt)

(2)

式中：θxt、θyt——t時刻變量X和Y分布函數(shù)的參數(shù)集，其隨時間變化，如對于具有3個參數(shù)的皮爾遜Ⅲ型分布而言，θxt={αxt,βxt,γxt}。

時變Copula模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)θc假定為時間的線性函數(shù)，即：

θct=b0+b1t

(3)

則時變Copula模型可表示為[16]

Fxy(x,y|θxt,θyt,θct)=C(Fx(x|θxt)Fy(y|θyt)|θct)=C(μt,vt|θct)

(4)

其中μt=Fx(xt|θxt)vt=Fy(yt|θyt)

式中：C(·)——聯(lián)合累計(jì)分布函數(shù)；θct——t時刻的時變Copula模型結(jié)構(gòu)參數(shù)；μt、vt——t時刻變量xt和yt對應(yīng)的概率值；b——系數(shù)。

由于Gumbel Copula函數(shù)適用于變量間存在正相關(guān)的情形，且可較好地描述變量間上尾部相關(guān)性等優(yōu)點(diǎn)[16]，為此基于Gumbel Copula函數(shù)構(gòu)建描述非平穩(wěn)性洪峰-洪量聯(lián)合分布的時變Gumbel Copula多維聯(lián)合分布模型：

C(μt,vt|θct)=exp{-[(-lnμt)θct+(-lnvt)θct]1/θct}θct≥1

(5)

式中：θct——t時刻Gumbel Copula模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

相應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)c可表示為

c(μt,vt|θct)=C(μt,vt|θct)μt-1vt-1[(-lnμt)θct+(-lnvt)θct](-2+2/θct)·

[lnμtlnvt]θct-1{1+(θct-1)[(-lnμt)θct+(-lnvt)θct]1/θct}

(6)

在給定X=xp條件下，變量Y的條件概率密度函數(shù)fY|X(·)可表示如下：

fY|X(Y|X=xp,θyt,θct)=C(μp,vt|θct)μp-1vt-1[(-lnμp)θct+(-lnvt)θct](-2+2/θct)

(lnμplnvt)θct-1{1+(θct-1)[(-lnμp)θct+(-lnvt)θct]1/θct}fy(y|θyt)

(7)

其中μp=fx(xp|θxt)

公式中參數(shù)的估計(jì)采用分步法思想，即首先估計(jì)邊緣分布函數(shù)中的參數(shù)，然后再估計(jì)時變Copula函數(shù)中的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

由式(5)可以看出，當(dāng)采用時變Gumbel Copula模型描述洪峰-洪量聯(lián)合分布規(guī)律隨時間演變的非平穩(wěn)性特征時，會導(dǎo)致洪峰-洪量聯(lián)合分布在不同年份是不同的。對于給定的X=xp，Y對應(yīng)的條件概率分布fY|X(Y|X=xp,θyt,θct)在不同時刻也是不同的。因此，本文研究的核心問題為在給定某一標(biāo)準(zhǔn)洪峰設(shè)計(jì)值X=xT條件下，計(jì)算X對應(yīng)Y的設(shè)計(jì)值y相應(yīng)，進(jìn)而獲得洪峰-洪量的組合設(shè)計(jì)值(xT，y相應(yīng))。

1.2 等可靠度法

等可靠度法是一種變化環(huán)境下單變量水文設(shè)計(jì)值估計(jì)方法。該方法認(rèn)為雖然環(huán)境變化導(dǎo)致了水文極值的非一致性，但根據(jù)非一致性水文極值系列推求的水文設(shè)計(jì)值所具有的水文設(shè)計(jì)可靠度不應(yīng)該被降低，至少應(yīng)與現(xiàn)行一致性條件下頻率計(jì)算方法提供的設(shè)計(jì)值具有相同的可靠度，進(jìn)而通過可靠度指標(biāo)將設(shè)計(jì)值估計(jì)與工程使用年限聯(lián)系起來，一定程度上降低了時變概率分布模型隨時間外延而給設(shè)計(jì)值估計(jì)帶來的不確定性[17]。

以RS表示一致性條件下，工程設(shè)計(jì)年限L和設(shè)計(jì)重現(xiàn)期T對應(yīng)的水文設(shè)計(jì)可靠度，則有：

(8)

以RNS表示非一致性條件下，工程設(shè)計(jì)年限L和設(shè)計(jì)重現(xiàn)期T對應(yīng)的水文設(shè)計(jì)可靠度，則有：

(9)

式中：Ft(x)——第t年水文極值的概率分布函數(shù)。

根據(jù)等可靠度方法，令RNS=RS，即：

(10)

通過求解式(10)，即可獲得非一致性條件下的設(shè)計(jì)值XT,NS。

1.3 條件期望組合法

根據(jù)洪峰-洪量聯(lián)合分布的概率密度函數(shù)，可以推求給定X=xp條件下Y的條件概率密度函數(shù)(式(7))。假定主控變量為X，其對應(yīng)的流量值為xp，則可采用式(11)推求xp對應(yīng)Y的條件期望值yt,E，(xp，yt,E) 即為X和Y的條件期望組合：

(11)

需要注意的是，由于式(11)中條件概率密度函數(shù)fY|X(·)是隨時間變化的(式(7))，因此，在不同時刻計(jì)算得到的期望值yt,E是不同的。

1.4 基于等可靠度法和條件期望組合法的洪峰-洪量組合設(shè)計(jì)值

由于主控變量X的分布函數(shù)Fx(x|θxt)是時變的，為此，對于指定的不超過概率p，主控變量X對應(yīng)的分位點(diǎn)xp隨著時間也是變化的，即：

(12)

根據(jù)式(12)計(jì)算獲得不同時刻主控變量X對應(yīng)的分位點(diǎn)xt,p后，再結(jié)合式(12)可計(jì)算得任一時刻xt,p對應(yīng)的變量Y的期望值yt,p。即獲得標(biāo)準(zhǔn)p條件下，任一時刻主控變量X與次要變量Y的條件期望組合為(xt,p,yt,E)。

根據(jù)期望組合(xt,p,yt,E)樣本系列，可獲得p條件下xp和yE間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，即:

yE=f(xp)

(13)

對于指定設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)(重現(xiàn)期T)，T=1/p。采用等可靠度法計(jì)算主控變量X的設(shè)計(jì)值xT，隨后通過條件期望組合關(guān)系(式(14))，獲得給定設(shè)計(jì)值xT條件下次要變量Y對應(yīng)的條件期望值yT,E。計(jì)算獲得的組合設(shè)計(jì)值(xT,yT,E) 即為非一致性條件下，重現(xiàn)期T對應(yīng)的主控變量X和次要變量Y的期望組合設(shè)計(jì)值。

yT,E=f(xT)

(14)

2 實(shí)例分析

以黃龍灘站1956—2014 年共 59 年的洪峰和年最大7 d洪量系列為對象進(jìn)行實(shí)例分析。黃龍灘站位于漢江支流堵河的下游，控制流域面積為11 140 km2，占整個堵河流域面積的95%左右。由于該流域的竹溪河水庫及潘口、松樹嶺等水電站的運(yùn)用，導(dǎo)致不同時期洪水形成條件發(fā)生變化。圖1為洪峰系列和年最大7 d洪量系列，從圖1可以看出洪峰系列和年最大7 d洪量系列存在明顯的下降趨勢，在0.05顯著性水平下，Mann-Kendall統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值分別為-3.35和-2.72，其絕對值均大于0.05顯著性水平下對應(yīng)的閾值1.96。

圖1 洪峰和年最大7 d洪量系列Fig.1 Time series of flood peak and 7-day flood volume

為了描述非平穩(wěn)性洪峰和年最大7 d洪量的分布特征，構(gòu)建了基于廣義極值分布函數(shù)(GEV)的變參數(shù)概率分布函數(shù)模型。在該模型中，GEV分布函數(shù)的位置參數(shù)或尺度參數(shù)隨時間變化，而形狀參數(shù)為常數(shù)。模型參數(shù)采用貝葉斯方法并結(jié)合MCMC抽樣技術(shù)進(jìn)行估計(jì)，以最大后驗(yàn)估計(jì)作為模型使用參數(shù)。在抽樣過程中，平行運(yùn)行5條鏈，每條鏈上抽取10 000個樣本(每條鏈都已滿足收斂要求)，去掉預(yù)熱的9 900個樣本，每條鏈上僅采用最后的100個樣本，5條鏈共計(jì)500個樣本值，其中使參數(shù)后驗(yàn)密度值達(dá)到最大的即參數(shù)的最大后驗(yàn)估計(jì)[18]。采用赤誠信息準(zhǔn)則(AIC)指標(biāo)對模型的擬合效果進(jìn)行評估，結(jié)果見表1。從表1可以看出，對于洪峰系列，GEV2模型的AIC值最小；而對于年最大7 d洪量系列，GEV1模型的AIC值最小。因此，洪峰和年最大7 d洪量系列對應(yīng)的最優(yōu)模型分別為GEV2和GEV1。

表1 AIC指標(biāo)值計(jì)算結(jié)果

進(jìn)一步采用Wormplot指標(biāo)對基于廣義極值分布函數(shù)的變參數(shù)概率分布函數(shù)模型的擬合效果進(jìn)行評估，結(jié)果見圖2。從圖2可以看出，無論是洪峰系列還是年最大7 d洪量系列，偏差點(diǎn)據(jù)基本都落在90%置信限組成的區(qū)域內(nèi)，表明該模型的擬合效果較好。

圖2 變參數(shù)概率分布函數(shù)模型的擬合效果Fig.2 Fitting performance of probability density distribution function with variable parameter

圖3為在0.02、0.05和0.1超過概率Ep下，洪峰和年最大7 d洪量分位數(shù)隨時間的演變特征。從圖3可以看出，無論是洪峰還是7 d洪量，不同超過概率條件下分位點(diǎn)估計(jì)值都隨時間不斷減小，這與實(shí)測系列呈減小趨勢相吻合。

圖3 不同超過概率下洪峰和年最大7 d洪量分位數(shù)隨時間演變特征Fig.3 Evolution characteristics of flood peak and maximum 7-day flood volume over time with different exceedance probability

圖4為洪峰和年最大7 d洪量對應(yīng)的分布函數(shù)中參數(shù)的時變過程及Copula模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的時變過程。其中Copula模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)同樣也采用了貝葉斯方法并結(jié)合MCMC抽樣技術(shù)，與各變量分布函數(shù)中的參數(shù)估計(jì)類似。

圖4 洪峰、洪量邊際分布參數(shù)及Copula模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的時變過程Fig.4 Time-varying process of marginal distribution parameters of flood peak/ flood volume and time-varying process of Copula dependence parameters

圖5為1956—2014年不同聯(lián)合概率(0.2、0.4、0.6、0.8和0.95)條件下，洪峰和年最大7 d洪量聯(lián)合分布規(guī)律隨時間演變特征。從圖5可以看出，對于指定聯(lián)合概率(如0.95)而言，其對應(yīng)的洪峰-洪量聯(lián)合分布規(guī)律從1956年開始隨時間發(fā)生左移，即同一概率對應(yīng)的洪峰-洪量聯(lián)合分布特征隨時間是變化的。

圖5 1956—2014年洪峰和年最大7 d洪量聯(lián)合分布隨時間的演變特征Fig.5 Evolution characteristics of joint distribution of flood peak and maximum 7-day flood volume over time from 1956 to 2014

以年最大7 d洪量為主控變量，根據(jù)其對應(yīng)的變參數(shù)概率分布函數(shù)模型，可計(jì)算任一時刻t指定超過概率Ep對應(yīng)的分位數(shù)xt,p。本文計(jì)算了t為1956—2014年，在超過概率0.02、0.05和0.10條件下，不同年份年最大7 d洪量的分位數(shù)值xt,p(圖3)。根據(jù)式(12)，計(jì)算任一年份洪量分位數(shù)xt,p對應(yīng)的洪峰的期望值yt,E，進(jìn)而獲得了指定Ep條件下年最大7 d洪量和洪峰的條件期望組合系列(xt,p,yt,E)。通過擬合洪峰-洪量期望組合系列，可獲得Ep對應(yīng)的洪峰-洪量期望組合關(guān)系曲線。圖6為超過概率0.02和0.05(對應(yīng)重現(xiàn)期分別為50 a和20 a)條件下，洪峰和年最大7 d洪量的期望組合關(guān)系曲線。從圖6可以看出，不同重現(xiàn)期下擬定的洪峰-洪量期望組合關(guān)系曲線均能很好地?cái)M合期望組合點(diǎn)據(jù)。

圖6 指定重現(xiàn)期條件下的洪峰-洪量期望組合關(guān)系曲線Fig.6 Expected combination relationship curve of flood peak and flood volume corresponding to specified return periods

基于等可靠度方法，計(jì)算年最大7 d洪量(主控變量)在不同工程設(shè)計(jì)年限L(20 a、30 a、40 a和50 a)和不同設(shè)計(jì)重現(xiàn)期T(10 a、20 a和50 a)條件下的設(shè)計(jì)值，并結(jié)合指定重現(xiàn)期條件下的洪峰-洪量期望組合關(guān)系曲線，計(jì)算不同工程設(shè)計(jì)年限和不同設(shè)計(jì)重現(xiàn)期條件下，洪量設(shè)計(jì)值對應(yīng)的洪峰條件期望值，得到了指定重現(xiàn)期和工程設(shè)計(jì)年限對應(yīng)的洪峰-洪量設(shè)計(jì)值的期望組合結(jié)果如表2所示。

表2 不同設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)及工程設(shè)計(jì)年限條件下洪峰-洪量設(shè)計(jì)值的期望組合結(jié)果

從表2可以看出，隨著工程設(shè)計(jì)年限的增加，指定重現(xiàn)期對應(yīng)的主控變量(年最大7 d洪量)設(shè)計(jì)值呈減小變化，這與年最大7 d洪量系列呈減小趨勢的實(shí)際情況符吻合。同樣，隨著工程設(shè)計(jì)年限的增加，指定重現(xiàn)期下洪量設(shè)計(jì)值對應(yīng)的洪峰條件期望值也呈減小變化，這也與洪峰系列呈減小趨勢的實(shí)際情況相吻合。總體來看，指定重現(xiàn)期對應(yīng)的洪峰-洪量設(shè)計(jì)值期望組合隨著工程使用年限的增加而呈減小趨勢，這是由于洪峰和洪量系列本身呈減小趨勢導(dǎo)致。

3 結(jié) 論

a.針對變化環(huán)境下洪峰和洪量系列的非平穩(wěn)性，基于Copula函數(shù)，構(gòu)建了可綜合考慮洪峰和洪量邊緣分布非平穩(wěn)性及洪峰-洪量相關(guān)結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)性的時變動態(tài)Copula模型，分析了洪峰-洪量聯(lián)合分布特征隨時間的非平穩(wěn)性演變規(guī)律。黃龍灘站實(shí)例研究結(jié)果表明，在相同的聯(lián)合概率條件下，洪峰和年最大 7 d洪量聯(lián)合分布特征在不同年份是不同的，其隨時間變化顯著。

b.為了解決平穩(wěn)性條件下多變量組合設(shè)計(jì)值計(jì)算方法不適用于變化環(huán)境下非平穩(wěn)性情形的難題，提出基于等可靠度法和條件期望組合法的變化環(huán)境下洪峰-洪量組合設(shè)計(jì)值計(jì)算方法。黃龍灘站實(shí)例研究結(jié)果表明，指定重現(xiàn)期對應(yīng)的洪峰和年最大 7 d洪量設(shè)計(jì)值的期望組合隨著工程使用年限的增加而呈減小趨勢，與洪峰和洪量系列本身呈減小趨勢吻合，同時也表明非平穩(wěn)性條件下設(shè)計(jì)洪水計(jì)算需要考慮工程使用年限的影響。

c.作為示例性研究，本文在非一致性洪峰和洪量的邊緣分布函數(shù)構(gòu)建中，選用了具有較好擬合效果的基于廣義極值分布函數(shù)的時變概率分布模型。在該時變模型中，僅考慮了時間因子對分布函數(shù)中參數(shù)的影響，而沒有考慮其他因子(如降雨、下墊面變化等)的影響。在非一致性洪峰-洪量聯(lián)合分布規(guī)律描述方面，鑒于Gumbel Copula函數(shù)可較好地描述變量間上尾部的正相關(guān)性優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)建了基于Gumbel Copula函數(shù)的時變動態(tài)Copula模型，而沒有綜合分析其他不同Copula函數(shù)。在以后的研究中，將進(jìn)一步考慮基于不同類型分布函數(shù)、分布函數(shù)中參數(shù)的不同驅(qū)動關(guān)系及不同類型Copula函數(shù)，通過對比優(yōu)選的方式確定優(yōu)勢邊緣分布和聯(lián)合分布模型。