對2021年全國統(tǒng)一考試模擬演練兩道解析幾何試題的探究

王 賢

(廣東省河源市廣州大學(xué)附屬東江中學(xué) 517500)

2021年1月，第二批進(jìn)行高考改革的八個省份進(jìn)行了適應(yīng)性考試.此次模擬演練數(shù)學(xué)試題共出現(xiàn)三道解析幾何題，考查知識點(diǎn)涵蓋了三類圓錐曲線.其中第一道對橢圓相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行考查，相對簡單；第二道對拋物線知識點(diǎn)進(jìn)行考查；第三道對雙曲線知識點(diǎn)進(jìn)行考查，試題難度中等.本文選取其中的拋物線和雙曲線試題進(jìn)行探究.

一、對拋物線試題的探究

試題1(2021年八省聯(lián)考卷第7題)已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

解法3 先引入圓錐曲線中兩個常見的二級結(jié)論.

圖1

從解法5可以看到：通過設(shè)點(diǎn)B(2b2,2b)，C(2c2,2c)，得到直線BC的方程，然后利用直線AB，AC的斜率之和與積，進(jìn)而可得b+c與bc的值，從而求得直線BC的方程.事實(shí)上，用上述解法5可以求解如下的變式.

變式已知拋物線y2=2px上的三個點(diǎn)A(2,2)，B，C，記直線AB，AC的斜率分別為k1，k2.若k1+k2=5，k1k2=2，求直線BC的方程.

將以上變式進(jìn)行推廣，可以得到如下一般性的結(jié)論.

二、對雙曲線試題的探究

圖2

圖3 圖4

評注可以看出，以上三種方法都是將要證的命題從某個角度進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，通過證明等價轉(zhuǎn)化后的命題從而間接證明原命題，三種不同的視角都是行之有效的.事實(shí)上，這并不是偶然，下面分析試題的命題背景.

圖5

從以上分析我們看到：離心率為2的雙曲線蘊(yùn)含∠BFA=2∠BAF這樣一條特殊性質(zhì).因而可以將離心率為2的雙曲線視作一類特殊的曲線.事實(shí)上，離心率為2的雙曲線作為圓錐曲線中的一種經(jīng)典“結(jié)構(gòu)”，在歷年高考以及競賽中頻繁出現(xiàn)，比如2020年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第15題，2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第9題，2016年山東高考理科數(shù)學(xué)第13題，2012年四川高考理科數(shù)學(xué)第21題等.

值得注意的是：在近幾年高考數(shù)學(xué)解答題中，對圓錐曲線知識點(diǎn)的考查只出現(xiàn)過橢圓和拋物線，歷年的高考考試大綱中對雙曲線只作了解要求，而這次八省份適應(yīng)性考試解答題卻考了雙曲線，這表明在取消高考考試大綱后，課程標(biāo)準(zhǔn)上作不同要求的知識點(diǎn)同等重要.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)中的教學(xué)提示和學(xué)業(yè)要求，應(yīng)根據(jù)不同學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平要求的不同，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)精準(zhǔn)導(dǎo)航.