直線方程的八種形式及應用舉例

朱賢良

(安徽省樅陽縣宏實中學 246700)

確定一條直線的要素可以是直線的斜率和直線上一點，或者是直線上的兩點.據此出發(fā)，可以得到直線方程的八種形式.

一、點斜式方程

已知直線l經過點P0(x0,y0)，且斜率為k，那么稱方程y-y0=k(x-x0)為直線l的點斜式方程.顯然，點斜式只能表示斜率存在(傾斜角不為直角)的直線；當直線的斜率不存在(傾斜角為直角)時，該直線的方程可表示為x=x0.

二、斜截式方程

已知直線l的斜率為k，且在y軸上的截距為b，那么稱方程y=kx+b為直線l的斜截式方程.實際上，斜截式方程可以看成是點斜式方程的特殊情形，也只能表示斜率存在(傾斜角不為直角)的直線.

三、兩點式方程

已知直線l經過點P1(x1,y1),P2(x2,y2)，那么稱方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0為直線l的兩點式方程.任意直線的方程都可用這種形式表示出來，但不太方便記憶.

四、截距式方程

五、一般式方程

關于x,y的二元一次方程都表示一條直線，我們把方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)稱為直線的一般式方程.

六、法線式方程

過原點作直線l的垂線段，若x軸到該垂線(與直線l垂直的直線稱為直線l的法線)的角為α(把x軸依逆時針方向旋轉至與該垂線重合時所轉的角)，且該垂線段的長度為p，那么將方程xcosα+ysinα=p稱為直線l的法線式方程.

法線式方程的推導方法多種多樣，下面介紹借助圓的切線方程進行巧妙推導的方法：

“2018陜西百強企業(yè)”，是按照國際通行的方式，參照中國500強企業(yè)排序辦法，堅持公平公開公正等原則，依據企業(yè)2017年度營業(yè)收入，在企業(yè)自愿申報的基礎上進行排序，并經“陜西省百強企業(yè)審定委員會”審定后產生的。現(xiàn)將排序名單予以公布。

如圖1，過坐標原點作直線l的垂線，垂足為點P，則x軸到法線OP的角為α，而垂線段OP的長度為p，故點P的坐標為(pcosα,psinα).

我們知道，圓心在坐標原點、半徑為p的圓的方程為x2+y2=p2，過此圓上一點(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=p2，而所求的直線l可以看成是此圓上在點P(pcosα,psinα)處的切線，其方程為(pcosα)x+(psinα)y=p2，即xcosα+ysinα=p.

直線的法線式方程xcosα+ysinα=p，即xcosα+ysinα-p=0具有兩個特征：一是x,y的系數(shù)的平方和為1;二是常數(shù)項-p≤0(等于0時直線經過坐標原點).

七、點法向式方程

已知直線l經過點P0(x0,y0)，且一個法向量(與直線l垂直的非零向量)的坐標為n=(A,B)，那么稱方程A(x-x0)+B(y-y0)=0為直線l的點法向式方程.

八、點方向式方程

讀者朋友，你能從直線的法向量與方向向量之間的關聯(lián)，說明點法向式方程與點方向式方程的聯(lián)系嗎？

需要注意的是，各種形式方程的局限性并不完全一致，在解題時要注意加以考慮，作出合理的選擇，必要時需要進行分類討論.以下僅舉例說明點法向式方程與點方向式方程的應用，供讀者朋友參考.

例題已知ΔABC的頂點坐標為A(3,2),B(9,-8),C(-1,4)，試求其外心與重心的坐標.

解析(1)求三角形的外心坐標：外心是三邊垂直平分線的交點，故只需要求出其中兩條邊的垂直平分線方程，聯(lián)立解得它們的交點，此即三角形的外心.

(2)求三角形的重心坐標：重心是三邊中線的交點，故只需要求出其中兩條邊的中線方程，聯(lián)立解得它們的交點，此即三角形的重心.

評注在求取直線的方程時，根據已知條件選用合適的形式進行表示.本題求垂直平分線方程時，易求其法向量坐標，故選用點法向式；求中線方程時，易求其方向向量坐標，故選用點方向式.