斜率之和為定值直線過定點(diǎn)問題的解法探究和推廣

李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

定點(diǎn)、定值問題是圓錐曲線中?？嫉膯栴}，尤其是兩直線的斜率之和為定值證明直線過定點(diǎn)問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題充分考查了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，其解法較多，不同解法對運(yùn)算能力要求不一樣，因此有必要系統(tǒng)地研究此類問題的解法.

一、題目呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P2且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1，證明：l過定點(diǎn).

二、題目探究

1.第(1)問解析

2.第(2)問解析

點(diǎn)評設(shè)動直線AB的方程，然后利用韋達(dá)定理設(shè)而不求是解決此類問題最常見的方法.

點(diǎn)評點(diǎn)P2在橢圓上，因此設(shè)直線P2A,P2B的方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)而求之也是一個重要的方法，但是本題中對于直線AB方程的變形是難點(diǎn)，相比解法1，運(yùn)算量更大一些！

即x2+(4+8B)(y-1)2+8Ax(y-1)=0.

點(diǎn)評對于問題：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為圓錐曲線mx2+ny2=1上一點(diǎn)，不過點(diǎn)P的直線與圓錐曲線mx2+ny2=1交于A,B兩點(diǎn)，則直線PA,PB的斜率之和、斜率之積為定值.

我們可以采取如下的齊次化方法求解：

由題意,直線PA,PB的斜率為該方程的兩根，再利用韋達(dá)定理可順利求解此類問題.

(2)本題的思路就是將曲線系方程表示成曲線在點(diǎn)P2處的切線方程和直線AB的方程乘積的形式，從而得到直線AB的方程，這種做法操作方便，目標(biāo)明確，運(yùn)算量不大，它可以方便處理兩直線斜率和、積為定值的情形.

點(diǎn)評通過聯(lián)立直線得到點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，然后將坐標(biāo)代入橢圓方程構(gòu)造出關(guān)于kP2A,kP2B的同構(gòu)方程，這種做法便于推廣到一般情形，值得我們學(xué)習(xí)！

兩式相減,得2(y2-y1)+x2-x1=x1y2-x2y1.

又x1y2-x2y1=x1y2-x1y1+x1y1-x2y1=(y2-y1)x1+(x1-x2)y1，于是(y2-y1)(2-x1)=(x2-x1)(-1-y1)，可見直線AB過定點(diǎn)(2,-1).

以上解法1和解法2雖然是通法，但是計(jì)算量較大，不便于推廣到一般情形，解法6雖然很巧妙，但是變量較多，不容易變形和觀察，解法3、解法4和解法5更具有一般性，便于推廣，下面我們利用解法4將上述結(jié)果推廣到一般情形.

三、題目推廣

數(shù)學(xué)思維就是在一次次的解題過程中不斷鉆研和總結(jié)中不斷提升的，通過一題多解、多題歸一和一題多變等變式教學(xué)和訓(xùn)練的手段達(dá)到我們的目的.