二叉樹上非齊次分支馬氏鏈一類強(qiáng)極限定理

李世林, 楊衛(wèi)國, 石志巖

(江蘇大學(xué)理學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013)

1 引言

對于樹圖上的每一個節(jié)點(diǎn)t，我們稱其下一層中與它相鄰的節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)t的子代，t為這些相鄰節(jié)點(diǎn)的父代.本文主要考慮二叉樹，記為T2，見圖1，其特點(diǎn)在于樹上的每一個節(jié)點(diǎn)t在下一層都有兩個不同的相鄰節(jié)點(diǎn)，即兩個不同的子代，分別記為t1和t2，同時用1t表示節(jié)點(diǎn)t的父代.

圖1 二叉樹T2

設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，{Xt,t ∈T2}是定義在(Ω,F,P)上且取值于G={1,2,··· ,N}(N是正整數(shù))的隨機(jī)變量集合，設(shè)B為T2的子圖，記XB={Xt,t ∈B}，xB表示XB的實(shí)現(xiàn).

定義1[1]設(shè)T2為二叉樹.{Xt,t ∈T2}是定義在概率空間(Ω,F,P)上在有限狀態(tài)空間G={1,2,··· ,N}中取值的隨機(jī)變量集合，設(shè)p={p(x),x ∈G}是G上一概率分布，P=(Pt(y1,y2|x),t ∈T2)是定義在G×G2上的一隨機(jī)矩陣，滿足

則稱{Xt,t ∈T2}為具有初始分布p與隨機(jī)矩陣P并在G中取值的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈.

定義2[2]設(shè)T是局部有限的無窮樹，G={1,2,··· ,N}為有限狀態(tài)空間，{Xt,t ∈T}是定義在概率空間(Ω,F,P)上在G中取值的隨機(jī)變量族，設(shè)

是G上一概率分布，

是定義在G2上的隨機(jī)轉(zhuǎn)移矩陣族.如果對于任意的頂點(diǎn)t，

且

則稱X={Xt,t ∈T}為具有初始分布式(4)和隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣族(5)的樹指標(biāo)G值非齊次馬氏鏈.

在二叉樹情況下，文獻(xiàn)[3]中指出樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈?zhǔn)且活愄厥獾姆驱R分支馬氏鏈，故有如下引理.

引理1[3]設(shè){Xt,t ∈T2}是由定義1 定義的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移概率矩陣Pt= (Pt(y1,y2|x)), x,y1,y2∈G，如果存在轉(zhuǎn)移矩陣Qt= (Qt(y|x)), x,y ∈G，使得

則{Xt,t ∈T2}是樹指標(biāo)馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移矩陣為Qt.

近年來，樹指標(biāo)隨機(jī)過程的極限性質(zhì)被學(xué)者們廣泛研究且研究成果頗豐，Benjamini和Peres[4]提出了樹指標(biāo)馬爾科夫鏈的定義，并且對該模型的常返性以及射線常返性進(jìn)行了研究.Dong 等[2]則考慮了在有限狀態(tài)空間取值的Cayley 樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈，并給出了相應(yīng)的其強(qiáng)大數(shù)定律及漸進(jìn)均分性(AEP).Guyon[5]提出了取值于任意狀態(tài)空間的二叉樹上分支馬氏鏈模型，并研究了該模型的強(qiáng)大數(shù)定律及中心極限定理.Dang 等[3]則在Guyon 的研究基礎(chǔ)上建立了離散狀態(tài)空間下二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的定義，討論了其強(qiáng)大數(shù)定律和熵遍歷性定理，并且給出了該模型與樹指標(biāo)馬氏鏈之間的等價性.隨后對于有限或可列狀態(tài)空間上的二叉樹分支馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律，Shannon-McMillan 定理以及等價性質(zhì)也被廣泛的討論[1,6-8].劉文[9]率先提出了有限狀態(tài)空間下非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的極限定理，石志巖和楊衛(wèi)國[10]推廣了上述結(jié)果，研究了一般樹圖上的樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的極限定理.此后，對于樹上路徑過程隨機(jī)條件概率的調(diào)和平均，幾何平均的強(qiáng)極限定理的研究也取得了一些成果[11,12].近期，石志巖等[13]也在馬氏環(huán)境下，討論了樹指標(biāo)馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率的強(qiáng)極限定理.本文主要考慮在有限狀態(tài)空間G上取值的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的一類強(qiáng)極限定理，首先我們給出了二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的強(qiáng)極限定理，進(jìn)而利用該極限定理研究了其隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)極限定理，最后借助于文獻(xiàn)[3]中給出的二叉樹上樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈與非齊次分支馬氏鏈的等價性質(zhì)，指出了樹指標(biāo)馬氏鏈調(diào)和平均的強(qiáng)極限定理可作為本文所得結(jié)果的一個推論.

2 主要結(jié)果

引理2[3]設(shè)T2為二叉樹，{Xt,t ∈T2}是如定義1 所定義的在有限狀態(tài)空間G上取值的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈，gt(x,y1,y2)是定義在G3上的函數(shù)族.設(shè)L0={o}, Fn=σ(XT(n))，則其中λ為實(shí)數(shù)，則{tn(λ,ω),Fn,n ≥1}為非負(fù)鞅.

定理1 設(shè)T2, {Xt,t ∈T}, gt(x,y1,y2)如引理1 所定義，{an,n ≥1}為非負(fù)隨機(jī)變量序列，設(shè)α ＞0，則

當(dāng)|λ|＜α，利用不等式

當(dāng)0＜λ ＜α?xí)r，式(17)兩側(cè)同除λ，注意到式(11)和式(12)，有

于是由式(19)和式(20)，可知式(13)成立.

注1 文獻(xiàn)[3]中研究了與之相似的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的強(qiáng)極限定理，其使用的條件為

本文則在新的條件下研究了該強(qiáng)極限定理，所得結(jié)果更易于推出二叉樹上非齊次分支馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的極限定理及樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的極限定理.

推論1 設(shè)T2是二叉樹，X={Xt,t ∈T2}, {gt(x,y1,y2),t ∈T2}, Hn(ω)與Gn(ω)如定理1 中所定義.如果存在α ＞0，使得對任意的ω ∈Ω，有

證明 令an=|T(n)|，由式(21)可知D(α)=Ω，故由定理1 可得本推論成立.

接下來，利用推論1 可以得到二叉樹上非齊次分支馬氏鏈轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)極限定理.

定理2 設(shè){Xt,t ∈T2}是如上定義的二叉樹上非齊次分支馬氏鏈，其初始分布和轉(zhuǎn)移概率族分別為故由式(31)，可得推論2 成立.

下面說明由推論2 可以推出文獻(xiàn)[10]中樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣的極限定理.

推論2[10]設(shè)T2是二叉樹，{Xt,t ∈T2}是由定義2 定義的樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈，其初始分布和轉(zhuǎn)移概率族分別為