數(shù)學(xué)習(xí)題命制應(yīng)重視“梯度”“開(kāi)放”“趣味”

羅中昊

摘要：《中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》一書是蘇聯(lián)著名心理學(xué)家克魯捷茨基的代表作。書中設(shè)計(jì)的用以研究中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的測(cè)試題較為經(jīng)典，并且具有一定的特色，為數(shù)學(xué)習(xí)題命制提供了一些啟示，如設(shè)置變式題組的梯度、增加習(xí)題的開(kāi)放性、提升習(xí)題的趣味性等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)習(xí)題命制;《中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》;梯度;開(kāi)放;趣味

《中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》一書是蘇聯(lián)著名心理學(xué)家克魯捷茨基的代表作，其中豐富的測(cè)試題、多樣化的研究方式給讀者留下了深刻的印象。多位學(xué)者對(duì)本書做了內(nèi)容的分析，并挖掘了其中的價(jià)值。比如，鮑建生、周超對(duì)本書從中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基本結(jié)構(gòu)、實(shí)驗(yàn)題體系、個(gè)案研究三個(gè)方面做了高度概括，并提出了一些研究展望;朱華偉、鄭煥介紹了本書蘊(yùn)含的解題思想，并結(jié)合例題分析了學(xué)生解題的心理過(guò)程;李伯黍作為本書的譯者之一，對(duì)全書從關(guān)于數(shù)學(xué)能力的假設(shè)、研究數(shù)學(xué)能力的方法和數(shù)學(xué)能力的成分分析三個(gè)方面做了評(píng)介。此外，還有部分學(xué)者的作品涉及克魯捷茨基及其著作，但只是蜻蜓點(diǎn)水，并未深入研究?？v觀各位研究者對(duì)本書的研究成果，主要集中在研究方法與特色、解題思想與心理以及文本內(nèi)容的介紹上，而對(duì)其中測(cè)試題的應(yīng)用價(jià)值及命題啟示談?wù)摰梅浅Ｉ?。?shí)際上，本書中設(shè)計(jì)的用以研究中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的測(cè)試題較為經(jīng)典，并且具有一定的特色。下面，結(jié)合我國(guó)數(shù)學(xué)教育的實(shí)際對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的分析，為數(shù)學(xué)習(xí)題的命制提供一些啟示。

一、設(shè)置變式題組的梯度

變式訓(xùn)練是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的一大特色。其本意是希望減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生遠(yuǎn)離“題海”，多層次、多角度地看待數(shù)學(xué)習(xí)題，并且學(xué)會(huì)舉一反三。然而，在實(shí)際操作過(guò)程中，存在由于習(xí)題命制不當(dāng)（比如簡(jiǎn)單重復(fù)），導(dǎo)致學(xué)生負(fù)擔(dān)加重，甚至阻礙認(rèn)知策略形成的現(xiàn)象。

克魯捷茨基在研究中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的實(shí)驗(yàn)題目的系列5“同一類型題目的系統(tǒng)”中，給出的一組測(cè)試題如下：（1）（a+b）2=________;（2）1+1/（2a3b2）2=_______;（3）（-5x+0.6xy2）2=______;（4）（3x-6y）2=___________;（5）（m+x+b）2=_______;（6）（4x+y3-a）2=________;（7）512=________;（8）（C+D+E）（E+C+D）=______。該組題目通過(guò)改變字母、變換順序、引進(jìn)指數(shù)、增加系數(shù)等方式來(lái)逐步提升難度，越往后越難看出完全平方公式如何運(yùn)用。研究學(xué)生的數(shù)學(xué)能力時(shí)，實(shí)驗(yàn)者先展示最后一題，如果被試無(wú)法做出，就按照順序依次展示前面的題目，并且被試每解答一個(gè)前面的題目，都重新做一次最后一題。由此，被試經(jīng)歷的中間環(huán)節(jié)越少，意味著數(shù)學(xué)能力越高。這組題目不是簡(jiǎn)單重復(fù)的變式，而是螺旋式上升的有梯度的變式。

心理學(xué)家通過(guò)這樣的方式檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)教師也可以依此命制習(xí)題并對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。學(xué)生學(xué)習(xí)新知后，教師設(shè)置的變式題組，不可簡(jiǎn)單重復(fù)，而要形成梯度：越往后的習(xí)題對(duì)學(xué)生的要求越高，若能順利解答后面的習(xí)題，則前面的習(xí)題都不會(huì)成為障礙。由此，真正讓學(xué)生跳出“題海”，提高學(xué)習(xí)效率。

例如這樣一組向量問(wèn)題：（1）已知a=（1，1），b=（0，-2），當(dāng)k為何值的時(shí)候，ka與a+b的夾角為120°？（2）已知a=（1，2），b=（3，4），當(dāng)k為何值的時(shí)候，ka⊥b？（3）已知a=（3，1），b=（1，3），c=（k，7），若（a-c）∥b，則k為何值？這個(gè)變式題組看似進(jìn)行了變換，分別以特殊角度、垂直和平行設(shè)問(wèn)，其實(shí)意義不大。學(xué)生只要知道向量夾角的坐標(biāo)公式，甚至無(wú)須知道向量平行、垂直的條件，就都可以解決。因此，屬于簡(jiǎn)單重復(fù)，沒(méi)有形成梯度。對(duì)此，可做如下改編：（1）已知a=（1，1），b=（0，-2），當(dāng)k為何值的時(shí)候，ka與a+b的夾角為120°？（2）已知a=（1，2），b=（2，-3），如果向量c滿足（a+c）∥b，c⊥（a+b），則c=_______。（3）已知OA=（3，1）OB=（-1，2），OC⊥OB，BC∥OA，且OD+OA=OC，求OD的坐標(biāo)。改編后的題組相比于改編前的明顯呈現(xiàn)出梯度：后面的習(xí)題包含前面的習(xí)題涉及的知識(shí)點(diǎn)，并且復(fù)雜程度（變量）增加，考查的知識(shí)點(diǎn)增多。

教學(xué)中，教師可以鼓勵(lì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生先嘗試完成靠后的習(xí)題;如果成功，則無(wú)須完成前面的習(xí)題，從而切實(shí)減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)。而對(duì)于基礎(chǔ)一般或較為薄弱的學(xué)生而言，適當(dāng)?shù)奶荻认喈?dāng)于為解答最終的習(xí)題搭建了“腳手架”;按照先后順序完成貼近自己“最近發(fā)展區(qū)”的習(xí)題，可以在不斷對(duì)比、總結(jié)規(guī)律的基礎(chǔ)上更有效地解決復(fù)雜問(wèn)題。

二、增加習(xí)題的開(kāi)放性

習(xí)題的開(kāi)放性是指習(xí)題的答案不固定或條件不完備等。習(xí)題的開(kāi)放性能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性，幫助學(xué)生在鞏固知識(shí)的同時(shí)，拓展思維。

克魯捷茨基在實(shí)驗(yàn)題目的系列1“未提出問(wèn)題的題目”中，僅給出題目的條件，讓被試根據(jù)條件自行設(shè)計(jì)問(wèn)題并解答。例如：一些少先隊(duì)員收集到65千克廢金屬，其中銅、鋁之和比鋅多1千克，而銅比鋁多15千克;矩形對(duì)角線的交點(diǎn)離開(kāi)短邊的距離比離開(kāi)長(zhǎng)邊的距離遠(yuǎn)6厘米，矩形的周長(zhǎng)為44厘米。在實(shí)驗(yàn)題目的系列2“缺少信息的題目”中，給出的題目缺少解題的必要條件，需要被試自己補(bǔ)全條件并解答。例如：兩城相距225千米，兩列火車從兩城同時(shí)出發(fā)，客車以時(shí)速50千米自甲城出發(fā)，貨車以時(shí)速40千米自乙城出發(fā)，兩車何時(shí)相遇？三角形三邊之比為5∶4∶3，求各邊的長(zhǎng)度。

數(shù)學(xué)教師在命制習(xí)題（試題）時(shí)也要增加開(kāi)放性。具體而言，可以對(duì)一些教材或配套教輔中的習(xí)題以及一些比較經(jīng)典的結(jié)論進(jìn)行改編和推廣，形成開(kāi)放性的習(xí)題（試題）。

例如，滬教版高中數(shù)學(xué)教材配套習(xí)題冊(cè)中有這樣一道題：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an/an+3，an≠0（n∈N*），求a1、a2、a3。將其稍做改編，就成了一道開(kāi)放性的試題：[2010年上海市春季高考數(shù)學(xué)卷第23題第（3）小題]已知首項(xiàng)為x1的數(shù)列{xn}滿足xn+1=axn/xn+1（a為常數(shù)），當(dāng)a=2時(shí)，通過(guò)對(duì)數(shù)列{xn}的探究，寫出“{xn}是有窮數(shù)列”的一個(gè)真命題（不必證明）。解答此題時(shí)，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究以及寫出的真命題會(huì)體現(xiàn)不同的思維層次。

再如，教學(xué)“對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”后，可以推廣提出如下開(kāi)放性的問(wèn)題：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且滿足對(duì)任意的x、y∈R*，都有f（xy）=f（x）+f（y），當(dāng)x>1時(shí)f（x）>0，請(qǐng)你根據(jù)上述條件自行猜想結(jié)論并證明。解答此題時(shí)，學(xué)生可能得到“f（1）=0”“當(dāng)0

又如，布置立體幾何作業(yè)時(shí)，展示平面幾何或平面解析幾何的結(jié)論，讓學(xué)生推廣到立體幾何中，自行作出猜想并嘗試加以證明。以平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和為例，學(xué)生將其推廣到立體幾何中，可能得到平行六面體對(duì)角線的平方和等于12條棱長(zhǎng)的平方和等結(jié)論。

三、提升習(xí)題的趣味性

雖然有趣往往是一種主觀的感覺(jué)，但是趣味性的習(xí)題常常還是表現(xiàn)出一定的特征：除了情境性、體驗(yàn)性和游戲性之外，最重要的是“意料之外，情理之中”?！拔乃瓶瓷讲幌财健?，這樣的習(xí)題能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉學(xué)生的思維能力，尤其能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，打破學(xué)生的思維定式。

克魯捷茨基使用了許多“意料之外，情理之中”的題目作為測(cè)試題。在實(shí)驗(yàn)題目的系列16“暗示‘自我限制的題目”中，有許多看似錯(cuò)誤、實(shí)則正確的題目。例如：“一個(gè)家庭由丈夫、妻子、女兒、兒子組成，他們的年齡和為73歲。丈夫比妻子大3歲，女兒比兒子大2歲。四年前他們的年齡和為58歲。家庭每個(gè)成員現(xiàn)在幾歲？”對(duì)此，許多被試會(huì)認(rèn)為題目有誤：四年前的年齡之和應(yīng)該比現(xiàn)在少16歲，而不是15歲。但是，換個(gè)思路來(lái)看，這恰好說(shuō)明四年前最年輕的家庭成員尚未出生。在實(shí)驗(yàn)題目的系列21“數(shù)學(xué)詭辯”中，有一些題目中的結(jié)論看似正確，其實(shí)錯(cuò)誤。例如：“某集體農(nóng)莊莊員有2簍不同品種的梨。每簍各有150個(gè)。第一種梨的價(jià)格是每盧布10個(gè)，第二種梨的價(jià)格是每盧布15個(gè)。這樣，賣掉第一種梨可得15盧布，賣掉第二種梨可得10盧布，總計(jì)25盧布。由此，這個(gè)莊員推論，10個(gè)第一種梨和15個(gè)第二種梨一共可賣2盧布。因此，他將兩種梨混在一起，以2盧布25個(gè)的價(jià)錢賣掉所有300個(gè)梨。但是，他只得到24盧布，即少賣了1盧布。這1盧布到哪里去了？”

數(shù)學(xué)教師也應(yīng)注意增加習(xí)題（試題）的趣味性。為此，要具有敏銳的洞察力，基于學(xué)生的認(rèn)知常識(shí)和思維定式，關(guān)注一些有趣的素材，將其加工成習(xí)題。一般來(lái)說(shuō)，這樣的素材在教材和配套教輔中不容易見(jiàn)到，而在各種課外的通俗讀物、科普作品以及報(bào)紙雜志中更容易見(jiàn)到。因此，教師要廣泛閱讀、多加留心，發(fā)掘這樣的素材并巧妙地改編。

例如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修2（基于實(shí)驗(yàn)版課標(biāo)編寫的舊教材;目前處于新舊教材過(guò)渡階段，該版教材還在使用）中“魔術(shù)師的地毯”的故事就可以改編成一道很有趣的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直線斜率的知識(shí)解決“如下頁(yè)圖1所示的正方形裁成四塊后拼成如下頁(yè)圖2所示的長(zhǎng)方形，為什么它們的面積不相等”的問(wèn)題，從而充分感受到數(shù)學(xué)的魅力。

再如，教學(xué)“古典概型的計(jì)算”后，可以布置如下習(xí)題：小A（三槍能命中一槍）和神槍手（百發(fā)百中）、怪槍手（三槍能命中兩槍）對(duì)決，小A最先射擊，神槍手最后射擊，小A如何才能保證勝率最高？該題改編自一本趣味數(shù)學(xué)游戲集中的素材，其答案是：小A可以放空槍，因?yàn)樯駱屖趾凸謽屖侄紩?huì)優(yōu)先射擊威脅較大的人。學(xué)生在做題時(shí)會(huì)嘗試探討各種可能性，枯燥的概率計(jì)算頓時(shí)生動(dòng)有趣起來(lái)。

類似的例子還有很多，甚至電視綜藝節(jié)目中的小游戲也能改編成數(shù)學(xué)習(xí)題。例如，美國(guó)電視綜藝節(jié)目《讓我們做個(gè)交易》（Let's Make a Deal）中，有一個(gè)很有趣的概率問(wèn)題，也被稱為“三門問(wèn)題”。主持人向游戲參與者展示三扇關(guān)著的門。其中，兩扇門后面各有一只山羊，另一扇門后面有一輛汽車。參與者選中有汽車的那扇門即可贏得汽車。當(dāng)參與者選中一扇門后，主持人并不立即打開(kāi)它，而是開(kāi)啟剩余兩扇門中的一扇，露出后面的山羊（主持人事先知道每扇門后面分別是什么）。隨后，主持人詢問(wèn)參與者是否要換另外一扇仍然關(guān)著的門。參與者可以更改原來(lái)的選擇，也可以保持原來(lái)的選擇不變。教學(xué)“條件概率”后，教師可以將這一游戲情境改編為習(xí)題，讓學(xué)生計(jì)算更換前后贏得汽車的概率。大部分學(xué)生憑借直覺(jué)，會(huì)認(rèn)為無(wú)論更改與否，概率都相等;而通過(guò)計(jì)算，可以幫助他們糾正錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，加深對(duì)條件概率的理解。

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