小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型方法的滲透略談

蘇立華

（河北省承德市豐寧滿族自治縣南關(guān)蒙古族鄉(xiāng)中心校，河北 承德 068350）

使用符號(hào)化、數(shù)據(jù)化等抽象方法處理現(xiàn)實(shí)世界中各項(xiàng)事物，從而形成數(shù)學(xué)的各種結(jié)構(gòu)。其實(shí)數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它是抽象化現(xiàn)實(shí)事物而形成的。數(shù)學(xué)模型包括一系列定理、公式構(gòu)成的算法體系，以及所有數(shù)學(xué)定理、公式、概念、理論體系等。一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，最終形成數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)計(jì)算處理這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程就是數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程。數(shù)學(xué)是一門與“模型”有關(guān)的課程，所以，必須在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中滲入數(shù)學(xué)建模的思想，在教學(xué)中以建模思想為基礎(chǔ)，使學(xué)生數(shù)學(xué)建模觀念得到塑造。

一、數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建立的方法

（一）為了把建模興趣塑造出來(lái)，就要巧妙設(shè)計(jì)情境，對(duì)問(wèn)題精心挑選

數(shù)學(xué)課程與日常生活關(guān)系緊密，現(xiàn)實(shí)的一些事物總能找到與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)就是這些生活中的事物，而現(xiàn)實(shí)問(wèn)題得到處理也離不開數(shù)學(xué)模型。在課堂上，以數(shù)學(xué)問(wèn)題為基礎(chǔ)，把現(xiàn)實(shí)情境巧妙地設(shè)置出來(lái)，在問(wèn)題的處理中，引導(dǎo)學(xué)生使用這個(gè)現(xiàn)實(shí)的“生活原型”。

例如，“平均數(shù)”的定義在教學(xué)中，下面這個(gè)情境可以在課堂上提出來(lái)：

在跳繩比賽中，兩個(gè)組展開比賽，其中一組有4 個(gè)女生，另一組有5 個(gè)男生，那么跳繩的水平比較高的是哪一組？一些比較方法被學(xué)生們討論并提出，如比較時(shí)按照小組總成績(jī)，或按照小組最高分。很明顯，這些方法都有突出的缺點(diǎn)，決定不采用，當(dāng)時(shí)就認(rèn)為恰到好處的比較方法是按照“平均數(shù)”這種方法。在這個(gè)情境中學(xué)生們處理問(wèn)題就需要把“平均數(shù)”的模型構(gòu)建出來(lái)，通過(guò)這個(gè)情境，平均數(shù)的定義，以及平均數(shù)模型的適用環(huán)境、條件、原型等都使學(xué)生有了深刻的直觀認(rèn)識(shí)，實(shí)際問(wèn)題在解決時(shí)要使用數(shù)學(xué)模型這一觀念也得到了塑造。

（二）構(gòu)建完整的模型，需要對(duì)事物本質(zhì)進(jìn)行抽象，過(guò)渡過(guò)程也要掌控好

要想把數(shù)學(xué)模型觀念浸入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有一個(gè)過(guò)渡過(guò)程需要把握住，也就是用抽象的數(shù)學(xué)模型代替現(xiàn)實(shí)的“生活原型”。數(shù)學(xué)建模教學(xué)的起點(diǎn)是把生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)情境設(shè)置出來(lái)，學(xué)生通過(guò)這個(gè)現(xiàn)實(shí)原型只是得到了構(gòu)建模型的基本材料，在下面的課堂教學(xué)中，還要準(zhǔn)確把握抽象模型代替具體事物的過(guò)程，同時(shí)教師的組織也要合理，不然建模是不會(huì)成功的。

“平行與相交”概念是四年級(jí)上冊(cè)教科書中的內(nèi)容，在它的教學(xué)中，為了讓學(xué)生有一個(gè)深刻的感知體會(huì)，教師在教學(xué)中通過(guò)會(huì)用一些現(xiàn)實(shí)事物為素材，如鐵路軌道、操場(chǎng)跑道、五線譜、作業(yè)本線條等。這時(shí)，假如本質(zhì)的分析過(guò)程無(wú)法通過(guò)這些現(xiàn)象認(rèn)識(shí)，各種形態(tài)迥異的具體事物就是學(xué)生們對(duì)“平行線”模型的理解，抽象數(shù)學(xué)模型就無(wú)法構(gòu)建出來(lái)，學(xué)生們對(duì)此模型的應(yīng)用與理解就會(huì)受到影響。教育效果要想良好，認(rèn)識(shí)與理解“直線間距離與兩條直線”就是學(xué)生在感知具體事物時(shí)應(yīng)該達(dá)到的。組織建模躍進(jìn)過(guò)程可以利用下面的活動(dòng)：

首先把問(wèn)題“兩條直線什么情況下永遠(yuǎn)無(wú)法相交？”提出，接著學(xué)生們邊動(dòng)手邊思考，把無(wú)數(shù)條線段畫在兩條平行線間，并測(cè)量任何一條垂線段的長(zhǎng)度同時(shí)進(jìn)行比較，學(xué)生們會(huì)觀察到什么？

動(dòng)手測(cè)量、動(dòng)腦思考這個(gè)過(guò)程被學(xué)生經(jīng)歷后，在理解“平行線”時(shí)就會(huì)與具體事物的表現(xiàn)相脫離，半抽象半具體的屬性模型就形成了，進(jìn)而就會(huì)真正認(rèn)識(shí)到這一概念模型。在各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生要在教師引導(dǎo)下通過(guò)各種思想活動(dòng)從具體表象中剝離出數(shù)學(xué)本質(zhì)，這些思維活動(dòng)有數(shù)據(jù)分析、畫圖操作、歸納綜合、比較判斷等，這樣構(gòu)建整個(gè)模型的過(guò)程就呈現(xiàn)出來(lái)。

二、把數(shù)學(xué)模型使用到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中去

極強(qiáng)的基礎(chǔ)性是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的，要在實(shí)踐中去充分地應(yīng)用它，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)才能進(jìn)一步增強(qiáng)，數(shù)學(xué)方法、理論的水平才會(huì)提升。數(shù)學(xué)學(xué)科中有很多“模型”，而處于數(shù)學(xué)知識(shí)中心的就是數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)使用中最主要的價(jià)值也是數(shù)學(xué)模型的作用?！皵?shù)學(xué)模型”要在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中靈活運(yùn)用，并在實(shí)際教學(xué)中去滲透，數(shù)學(xué)模型的概念就能讓學(xué)生理解的更深入，對(duì)所學(xué)知識(shí)也能深入認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)體系就能順利地建構(gòu)出來(lái)，學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題使用數(shù)學(xué)方法處理的能力也會(huì)明顯提高，也能穩(wěn)步提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)。為了把實(shí)際的問(wèn)題解理，就要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。構(gòu)建數(shù)學(xué)分析模型的主題活動(dòng)也是對(duì)實(shí)際環(huán)境和數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造。因此，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，對(duì)“再創(chuàng)造”的整個(gè)過(guò)程，學(xué)生要在教師的引導(dǎo)下以個(gè)人的思考方法與個(gè)人的實(shí)際感受為依據(jù)來(lái)體驗(yàn)和經(jīng)歷，不要機(jī)械重復(fù)和生硬記憶原始內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展要與數(shù)學(xué)課程的發(fā)展趨勢(shì)相符合，且發(fā)展步調(diào)一致，使學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思維得到塑造，同時(shí)在處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)他們也要提高使用數(shù)學(xué)模型的能力。

三、為了讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣得到塑造，就要在教學(xué)中增加操作活動(dòng)

有很多的問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模過(guò)程中需要面臨的，要處理的具體問(wèn)題也很復(fù)雜。驗(yàn)證、解釋、求解、表述是數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的幾個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)都不是毫無(wú)阻礙的，總會(huì)有各種各樣的問(wèn)題會(huì)碰到，有時(shí)還會(huì)遇到挫折。對(duì)未知事物，小學(xué)生的探究欲望很強(qiáng)，這是他們的性格決定的，而學(xué)生身上的創(chuàng)新能力需要我們以這種天性為立足點(diǎn)去喚醒，把他們開展數(shù)學(xué)建模的熱情引發(fā)出來(lái)。所以，一些有效地實(shí)踐操作活動(dòng)，教師在教學(xué)中可以多增加一些。比如，教授“認(rèn)識(shí)角”知識(shí)點(diǎn)時(shí)，關(guān)于角的大小的比較，大部分學(xué)生覺(jué)得兩條邊的長(zhǎng)短決定了角的大小，越大的角，其兩條邊也會(huì)越長(zhǎng)。這時(shí)，學(xué)生可以在教師的指導(dǎo)下通過(guò)學(xué)具進(jìn)行親自動(dòng)手的實(shí)際操作把真正的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)構(gòu)建出來(lái)：

1.老師和同學(xué)們手中都有一個(gè)角，大家能不能把自己的變得比老師的更小一點(diǎn)？2、還能變得更大一點(diǎn)嗎？3、根據(jù)剛才的實(shí)際操作，你覺(jué)得什么影響著角度的大?。客瑢W(xué)們?cè)趯?shí)際操作中得出，越大的角，兩條邊離得就越遠(yuǎn)，角越小，兩條邊離得就越近?！敖堑膬蓷l過(guò)開叉的大小影響著角在的大小”這一建模過(guò)程就通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐完成了。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的樂(lè)趣也讓學(xué)生在快樂(lè)的活動(dòng)中通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐感受到了，他們的建模興趣也就得到了誘發(fā)。因此，學(xué)生的思維的持續(xù)上升離不開操作活動(dòng)，一些概念，也由抽象變得形象具體，學(xué)生們的自信心也得到了提高，此外學(xué)生的興趣也在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中得到了長(zhǎng)久保持，他們的建模能力得到了塑造。

四、在數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程中，貫穿著數(shù)學(xué)模型之間的相互銜接

一種“模型”的思想需要學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中保持。通過(guò)實(shí)踐教學(xué)也能得出，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生們對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解可以通過(guò)以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行構(gòu)建來(lái)得到推動(dòng)。在教學(xué)課堂上，從數(shù)學(xué)知識(shí)到數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程需要教師指導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷，他們的數(shù)學(xué)建模觀念也就得到了塑造。問(wèn)題的答案學(xué)生是使用類比的方法找到的。如此學(xué)生原本具備的數(shù)學(xué)背景或生活經(jīng)驗(yàn)得到了充分調(diào)動(dòng)，數(shù)學(xué)的思考通過(guò)情境來(lái)引起也得到了誘發(fā)，進(jìn)而“情境——模型的建立——應(yīng)用或解釋”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)也讓學(xué)生親身體驗(yàn)到了。此外學(xué)生在驗(yàn)證、溝通、嘗試時(shí)，通過(guò)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)建模型也讓學(xué)生逐步體會(huì)到了。所以，在課堂上，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過(guò)程要讓學(xué)生親身經(jīng)歷，擴(kuò)大知識(shí)面，不斷發(fā)展數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生的數(shù)學(xué)模型觀念的塑造提供媒介。

五、要想體會(huì)數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵，就要對(duì)數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行巧妙利用

單純的數(shù)學(xué)知識(shí)通常不只會(huì)在建模思想的塑造中涉及到的，有眾多的數(shù)學(xué)方法和思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中，這些更會(huì)涉及到。數(shù)學(xué)建模的靈魂，以及發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)概念的核心都是思想方法，學(xué)生數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用要在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中受到重視。在問(wèn)題的思考中學(xué)生在教師的引領(lǐng)下善于使用多種方法，用已知來(lái)代替未知，讓學(xué)生在構(gòu)建模型的過(guò)程中與學(xué)過(guò)的知識(shí)有了一個(gè)比較，學(xué)生處理問(wèn)題的視野也得到了拓展。為以后處理其他未知問(wèn)題做好了鋪墊；學(xué)生開展模型的應(yīng)用和解釋時(shí)利用類比的方法進(jìn)行引導(dǎo)，同時(shí)了得到了新的方法來(lái)使以后的數(shù)學(xué)問(wèn)題得以處理。所以，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想要受到重視，牢固的數(shù)學(xué)模型才能幫助學(xué)生構(gòu)建出來(lái)。

六、數(shù)學(xué)模型思想要想得到拓展，就需要把情境構(gòu)建出來(lái)

在數(shù)學(xué)課堂上，各類實(shí)際問(wèn)題以及一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題都需要學(xué)生解決，還要拓展數(shù)學(xué)建模的觀念。所以，學(xué)生需要處在情境中，并在教師的帶領(lǐng)下處理問(wèn)題。

學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想要在課堂上得到有目的的塑造，可以把從數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)渡到具體問(wèn)題的方法告訴學(xué)生。有很多問(wèn)題會(huì)在實(shí)際數(shù)學(xué)建模過(guò)程中需要面對(duì)和遇到，所以和諧民主的氛圍需要教師來(lái)構(gòu)建，讓學(xué)生在鼓勵(lì)下把問(wèn)題勇敢的提出，還要勇于猜想，質(zhì)疑，自己的獨(dú)立見(jiàn)解也要勇于發(fā)表，把創(chuàng)造力的空間充分發(fā)揮出來(lái)，如此在建模過(guò)程中學(xué)生就能夠持續(xù)改正，進(jìn)而不斷完善建模結(jié)構(gòu)。