孫 亮 羅 佳 喬印虎

①(池州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電與汽車(chē)系 池州 247000)

②(安徽科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院 鳳陽(yáng) 233100)

1 引言

憶阻器被認(rèn)為是繼電阻、電容和電感之后的第4種基本電路元件，它表征了電荷與磁通之間的本構(gòu)關(guān)系，具有納米尺寸、非線(xiàn)性、低功耗和非易失性等特點(diǎn)。1971年，美國(guó)華裔科學(xué)家Chua教授[1]從數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)性出發(fā)提出憶阻器理論并預(yù)測(cè)了它的存在性，2008年美國(guó)惠普實(shí)驗(yàn)室首次發(fā)現(xiàn)單個(gè)納米級(jí)TiO2憶阻器件[2]。此后，許多不同的器件被確定為憶阻器，并提出了不同的應(yīng)用，特別是憶阻器用于模擬生物突觸[3-5]。

局部有源被認(rèn)為是復(fù)雜性的起源，與生物神經(jīng)突觸具有密切聯(lián)系[6,7]。2014年Chua教授[8]首次提出局部有源憶阻概念并設(shè)計(jì)了第1個(gè)局部有源憶阻器模型。2017年局部有源憶阻器被實(shí)驗(yàn)室證實(shí)[9]。局部有源憶阻器比無(wú)源憶阻器具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，具有更加廣泛的應(yīng)用。近年來(lái)，一些局部有源憶阻器模型已經(jīng)被提出和應(yīng)用。例如，2018年Jin等人[10]提出一個(gè)局部有源憶阻器并與電容、電感電路組合實(shí)現(xiàn)了最簡(jiǎn)單的混沌電路。同年，Chang等人[11]實(shí)現(xiàn)了一種雙穩(wěn)態(tài)雙局部有源憶阻器。2019年，Weiher等人[12]進(jìn)一步從材料物理實(shí)驗(yàn)的角度證明了局部有源憶阻器的存在性。2020年，文獻(xiàn)[13,14]首次把局部有源憶阻器引入人工神經(jīng)元模型中，并提出了局部有源憶阻神經(jīng)元模型。盡管一些局部有源憶阻器已經(jīng)被報(bào)道，但是局部有源憶阻器因?yàn)閿?shù)學(xué)模型復(fù)雜、有源區(qū)間小等缺點(diǎn)很難在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用。生物神經(jīng)系統(tǒng)具有豐富且復(fù)雜的放電活動(dòng)，了解神經(jīng)元以及神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的放電動(dòng)力學(xué)機(jī)制有助于人工智能的發(fā)展，在過(guò)去的幾十年中已經(jīng)吸引了大量的研究人員[15,16]。Hindmarsh-Rose (HR) 神經(jīng)元具有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型[17]，能夠模擬周期尖峰和簇發(fā)等多種神經(jīng)元放電[18,19]。2019年Bao等人[20]使用一個(gè)無(wú)源憶阻器模擬兩個(gè)HR神經(jīng)元之間的連接突觸，提出了基于憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，并分析了其同步動(dòng)力學(xué)機(jī)制。

本文設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的局部有源憶阻器模型，不僅數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，物理電路實(shí)現(xiàn)容易，而且非常適合于模擬生物突觸。使用該局部有源憶阻器模擬兩個(gè)HR神經(jīng)元之間的連接突觸，構(gòu)建了一種局部有源憶阻突觸耦合的HR神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這種局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠產(chǎn)生多種尖峰放電模式以及復(fù)雜的混沌行為。同時(shí)為了促進(jìn)工程應(yīng)用，設(shè)計(jì)了該局部有源憶阻器及其耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的等效實(shí)現(xiàn)電路，并由電路仿真驗(yàn)證了數(shù)值仿真的正確性。

2 局部有源憶阻器

2.1 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)憶阻器理論，一個(gè)廣義的壓控憶阻器可以表示為[21]

其中，W(x)是一個(gè)以x為變量的連續(xù)函數(shù)，稱(chēng)為憶導(dǎo)，v, i, x分別表示施加在憶阻器兩端的輸入電壓，通過(guò)憶阻器的輸出電流，和憶阻器的內(nèi)部狀態(tài)變量。基于式(1)和式(2)，一個(gè)新的局部有源憶阻器模型能夠被設(shè)計(jì)，它的表達(dá)式為

其中，x是憶阻器的內(nèi)部狀態(tài)變量，表示磁通，tanh(.)是雙曲正切函數(shù)。

2.2 伏安特性

根據(jù)憶阻器理論[21,22]，任意憶阻器應(yīng)該具有以下3個(gè)特征：(1) 在雙極性周期信號(hào)的驅(qū)動(dòng)下，假設(shè)存在周期響應(yīng)，該器件在電壓-電流(v-i)平面中必須表現(xiàn)出過(guò)原點(diǎn)的收縮緊磁滯回線(xiàn)；(2) 從某個(gè)臨界頻率開(kāi)始，緊磁滯回線(xiàn)波瓣面積應(yīng)隨著激勵(lì)頻率的增加而單調(diào)減?。?3) 當(dāng)頻率趨于無(wú)窮大時(shí)，收縮緊磁滯回線(xiàn)應(yīng)收縮為單值函數(shù)。

當(dāng)在局部有源憶阻器兩端施加雙極性周期激勵(lì)信號(hào)v=Asin(2πFt)時(shí)，不同的激勵(lì)信號(hào)幅度和頻率對(duì)憶阻器的作用被研究。例如，當(dāng)設(shè)置激勵(lì)信號(hào)頻率F=2，初始狀態(tài)x(0)=0時(shí)，改變不同的信號(hào)幅度A所得到的伏安特性如圖1(a)所示。從圖1(a)可以看到，3個(gè)緊磁滯回線(xiàn)都通過(guò)v-i平面的0點(diǎn)，且幅度越大緊磁滯回線(xiàn)面積越大。當(dāng)設(shè)置激勵(lì)信號(hào)幅度A=2，初始狀態(tài)x(0)=0時(shí)，調(diào)節(jié)不同的信號(hào)頻率F所得到的伏安特性曲線(xiàn)如圖1(b)所示。由圖1(b)可見(jiàn)，3個(gè)緊磁滯回線(xiàn)都通過(guò)v-i平面的0點(diǎn)，且隨著信號(hào)頻率的增加，憶阻器的緊磁滯回線(xiàn)面積越來(lái)越小，逐漸趨向于一條直線(xiàn)。顯然，所提憶阻器模型具有憶阻器的3個(gè)特征，是一種憶阻器件。

圖1 輸入信號(hào)幅度/頻率相關(guān)的伏安特性曲線(xiàn)圖

2.3 局部有源性

根據(jù)局部有源理論[8]，如果一個(gè)憶阻器的直流(Direct Current, DC) 電壓-電流V-I 曲線(xiàn)存在負(fù)的斜率部分，那么該憶阻器就是局部有源的。為了證明所提出的憶阻器是局部有源憶阻器，它的局部有源特性被分析如下：

首先令憶阻器狀態(tài)方程dx/dt=0，可以得到它的平衡點(diǎn)狀態(tài)方程

其中，V表示直流輸入電壓，X是滿(mǎn)足dx/dt=0時(shí)的x的解。然后再把式(5)替換到式(3)中得到輸出電流為

基于式(5)和式(6)可以得到憶阻器的DC V-I曲線(xiàn)，如圖2所示。由圖2可知，憶阻器的DC V-I曲線(xiàn)存在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的負(fù)斜率區(qū)間，分別是0.89

圖2 局部有源憶阻器的DC V-I圖

2.4 電路模型

基于式(3)、式(4)局部有源憶阻器模型，可以實(shí)現(xiàn)它的等效電路，如圖3(a)所示。其中，U是模擬運(yùn)算放大器，M是模擬乘法器。雙曲正切函數(shù)使用文獻(xiàn)[14]所提出的雙曲正切電路實(shí)現(xiàn)，如圖3(b)所示。在雙曲正切電路中，當(dāng)直流供電為±15 V,R=10 kΩ, RF=520 Ω, RC=1 kΩ, Io=1.1 mA時(shí)，電路能夠?qū)崿F(xiàn)vo=-tanh(vi)。憶阻器內(nèi)部狀態(tài)通過(guò)積分器的輸出電壓表示。根據(jù)基爾霍夫定律，局部有源憶阻器的電路方程可表示為

根據(jù)基爾霍夫定律，憶阻器數(shù)學(xué)模型式(3) i=x2v在憶阻器仿真器中對(duì)應(yīng)的關(guān)系為i=(g2vz2v)/RL。其中，v和i分別表示輸入電壓和輸出電流，g=1為模擬乘法器的增益，vz為積分器輸出電壓，表示憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量x，RL為可調(diào)匹配電阻。令R=10 kΩ, C=10 nF，根據(jù)積分時(shí)間常數(shù)RC=τ，可求得RL=g2R=1 0 k Ω, RA=R/0.5=2 0 k Ω,RB=R/1=10 kΩ。為了驗(yàn)證數(shù)值仿真，在功率模擬(Power SIMulation, PSIM)電路仿真軟件中創(chuàng)建圖3所示電路，如圖4所示。為了方便測(cè)量憶阻器的輸出電流，在仿真時(shí)把RL接地。

圖3 電路圖

圖4 憶阻器PSIM仿真電路圖

對(duì)于數(shù)值仿真輸入電壓源v=Asin(2πFt)所對(duì)應(yīng)的電路實(shí)驗(yàn)輸入電壓源v=Asin(2πft)，其中f=F/RC。因此，當(dāng)數(shù)值仿真中F=2時(shí)，電路仿真頻率f=20 kHz，不同的電壓幅度仿真結(jié)果如圖5(a)所示。當(dāng)A=2時(shí)，不同的電壓頻率仿真結(jié)果如圖5(b)所示。顯然，圖5的電路仿真結(jié)果與圖1的數(shù)值仿真結(jié)果基本一致。

圖5 局部有源憶阻器電路PSIM仿真結(jié)果

3 局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

3.1 模型建立

人類(lèi)大腦包含了數(shù)以?xún)|計(jì)的神經(jīng)元，它們通過(guò)突觸互相連接組成強(qiáng)大的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。突觸在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中不僅是物理連接，而且對(duì)于神經(jīng)元之間的電信號(hào)傳輸起著關(guān)鍵的作用。由于憶阻器具有類(lèi)似突觸的納米級(jí)、可塑性、非線(xiàn)性和非易失性等特點(diǎn)，可以使用憶阻器模擬神經(jīng)突觸來(lái)開(kāi)發(fā)等效的憶阻神經(jīng)電路[23,24]。憶阻神經(jīng)電路具有豐富的類(lèi)腦放電動(dòng)力學(xué)，利用憶阻器重構(gòu)神經(jīng)電路已經(jīng)成為重要的研究課題。2維的HR神經(jīng)元模型能產(chǎn)生豐富的尖峰和簇發(fā)放電行為，非常適合神經(jīng)動(dòng)力學(xué)的研究，其數(shù)學(xué)模型為[17]

其中，x是神經(jīng)元的細(xì)胞膜電位，y是恢復(fù)變量，a,b, c, d是神經(jīng)元模型參數(shù)。當(dāng)使用局部有源憶阻器模擬兩個(gè)HR神經(jīng)元之間的神經(jīng)突觸時(shí)，兩個(gè)神經(jīng)元之間的膜電位差的改變將引起磁通的變化，從而產(chǎn)生電磁感應(yīng)電流。此時(shí)，膜電位與突觸的耦合可以使用憶阻器來(lái)描述[20]。因此，局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型能夠被建立，如圖6所示。當(dāng)兩個(gè)HR神經(jīng)元通過(guò)局部有源憶阻器耦合時(shí)，由于兩個(gè)神經(jīng)元之間的膜電位差x1-x2不斷改變從而產(chǎn)生磁感應(yīng)電流，感應(yīng)電流可以通過(guò)憶阻器表征為ρ1(x1-x2)W。當(dāng)這個(gè)磁感應(yīng)電流分別作用在兩個(gè)神經(jīng)元上時(shí)，可以得到

圖6 局部有源憶阻突觸耦合神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

其中，ρ1, ρ2表示憶阻突觸耦合強(qiáng)度，x1和x2分別表示神經(jīng)元1和神經(jīng)元2的膜電位，x1-x2表示兩個(gè)神經(jīng)元的膜電位差，y1和y2分別表示兩個(gè)神經(jīng)元的恢復(fù)電位，憶導(dǎo)W=z2表示突觸權(quán)重，參數(shù)σ表示磁通泄露系數(shù)。

3.2 突觸耦合強(qiáng)度相關(guān)動(dòng)力學(xué)

根據(jù)參考文獻(xiàn)[13]的定義，神經(jīng)放電模式一般可以分為周期的尖峰和簇發(fā)放電，隨機(jī)的尖峰和簇發(fā)放電，混沌的尖峰和簇發(fā)放電以及混沌放電模式。當(dāng)保持模型參數(shù)a=1, b=3, c=1, d=5, I1=-0.5, I2=-2.5, σ=0.2不變，兩個(gè)不對(duì)稱(chēng)憶阻突觸耦合參數(shù)ρ1，ρ2作為可調(diào)參數(shù)時(shí)，局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)行為被研究。設(shè)置ρ2為0.1，初值為(0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2)，當(dāng)憶阻突觸耦合強(qiáng)度ρ1在區(qū)間[-1, 0]中逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖和相應(yīng)的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)譜可繪制如圖7所示。從分岔圖中可以看到，系統(tǒng)隨著耦合強(qiáng)度的增加，產(chǎn)生了多次正向周期倍分岔現(xiàn)象，在ρ1=-0.46時(shí)第1次由周期尖峰放電進(jìn)入混沌放電后又多次以切分岔路徑退出混沌再次通過(guò)周期倍分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)。形成了多個(gè)不同周期放電的周期窗口。最后，在ρ1=-0.06時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入靜默狀態(tài)。圖7(b)中李雅普諾夫指數(shù)譜驗(yàn)證了分岔圖的正確性。圖8給出了不同耦合強(qiáng)度ρ1時(shí)，系統(tǒng)的不同動(dòng)力學(xué)行為時(shí)序圖。從圖8可見(jiàn)，局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)能夠產(chǎn)生周期-1尖峰放電、周期-2尖峰放電、隨機(jī)尖峰放電、混沌簇發(fā)、混沌放電等多種放電模式。

圖7 關(guān)于憶阻突觸耦合強(qiáng)度ρ1動(dòng)力學(xué)狀態(tài)分布

圖8 不同憶阻突觸耦合強(qiáng)度ρ1所對(duì)應(yīng)的多種放電模式

設(shè)置ρ1為-0.4，初值為(0.2, 0.2, 0.2, 0.2,0.2)，當(dāng)憶阻突觸耦合強(qiáng)度ρ2在區(qū)間[0, 1]中逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖和相應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜可繪制如圖9所示。從圖9(a)可以發(fā)現(xiàn)，在初始條件(0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2)下，隨著耦合強(qiáng)度ρ2從0開(kāi)始正向增大，系統(tǒng)一開(kāi)始就進(jìn)入混沌放電狀態(tài)，直到ρ2=-0.7，期間存在周期窗口ρ2=0.1 6,ρ2=-0.51，隨后通過(guò)反向倍周期分岔路徑轉(zhuǎn)為周期尖峰放電。李雅普諾夫指數(shù)譜表現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)分布與分岔圖所展示的動(dòng)力學(xué)基本一致。圖10給出了不同突觸耦合強(qiáng)度ρ2時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的不同動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，包括混沌、瞬態(tài)混沌、準(zhǔn)周期以及周期行為。

圖9 關(guān)于憶阻突觸耦合強(qiáng)度ρ2動(dòng)力學(xué)狀態(tài)分布

4 電路設(shè)計(jì)與PSIM仿真驗(yàn)證

從人工智能應(yīng)用的角度來(lái)看，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的電路實(shí)現(xiàn)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和必要性。通常，非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可以通過(guò)采用基本模擬電子電路實(shí)現(xiàn)。本節(jié)利用模擬運(yùn)算放大器、模擬乘法器、電阻、電容對(duì)提出的局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)?；趫D3的憶阻器電路和耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)(9)，局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)電路如圖11所示。其中，系統(tǒng)狀態(tài)變量x1, y1, x2, y2, z通過(guò)5個(gè)電容積分器的輸出電壓表示。基于基爾霍夫電路定律，系統(tǒng)電路的等效電路方程為

圖10 不同憶阻突觸耦合強(qiáng)度ρ2所對(duì)應(yīng)的多種動(dòng)力學(xué)行為

圖11 局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)電路

假設(shè)C=10 nF， 根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)與電路元件，部分電路元件阻抗值為：R=1 0 k Ω, R1=R6=R=10 kΩ, R2= R7=Rg/b=3.33 kΩ, R3= R8=Rg2/a =10 kΩ, R4= R9=Rg/c=2 kΩ, R5=R10=10 kΩ,RL1= Rg2/ρ1,RL2= Rg2/ρ2。為了驗(yàn)證數(shù)值仿真，在PSIM電路仿真軟件中創(chuàng)建圖12所示電路。仿真過(guò)程中，5個(gè)電容初始電壓設(shè)置為(0.2V, 0.2V, 0.2V, 0.2V, 0.2V)。當(dāng)I1=-0.05 mA,I2=0.25 mA, Ic=0.1 mA, ρ2=0.1, 相應(yīng)的阻抗RL2= 100 kΩ, 調(diào)節(jié)不同的RL1，可以得到多種放電模式，如圖13所示。當(dāng)ρ1=-0.4，相應(yīng)的阻抗RL1=25 kΩ，調(diào)節(jié)不同的RL2，可以得到不同的動(dòng)力學(xué)行為，如圖14所示。顯然，在圖13與圖14的電路仿真結(jié)果很好地驗(yàn)證了圖8與圖10的數(shù)值仿真結(jié)果。

圖12 憶阻耦合神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)PSIM仿真電路

圖13 局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)電路仿真結(jié)果

圖14 局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)電路仿真結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的局部有源憶阻器模型。通過(guò)理論分析、數(shù)值模擬以及電路實(shí)現(xiàn)，證明了該憶阻器的緊磁滯回線(xiàn)特征和局部有源屬性。此外，利用該局部有源憶阻模型模擬生物突觸特點(diǎn)，構(gòu)建了一種局部有源憶阻突觸耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)。研究結(jié)果表明，該憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不同的突觸耦合強(qiáng)度下能表現(xiàn)出多種放電模式和混沌動(dòng)力學(xué)行為，具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性。最后，通過(guò)采用模擬電子元件實(shí)現(xiàn)局部有源憶阻耦合HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)電路，并在PSIM電路仿真軟件中得到新系統(tǒng)的多種放電行為和不同吸引子，從而證實(shí)了系統(tǒng)的有效性。