小問題 大盤點

文 鄒苗苗

16世紀法國數(shù)學家笛卡爾在蜘蛛結(jié)網(wǎng)的啟發(fā)下創(chuàng)建了平面直角坐標系，從而將數(shù)學中的代數(shù)與幾何建立了聯(lián)系。在平面直角坐標系中，我們可以將平面內(nèi)的點與有序數(shù)對建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。為了更精準地指導大家，老師現(xiàn)將涉及坐標問題的一些典型錯誤進行梳理歸類，并剖析其錯誤的根源，供同學們在學習的過程中借鑒和參考。

一、對坐標的理解

例1點M是第四象限內(nèi)的一點，且到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，則點M的坐標為（____，___）。

【錯解】點M的坐標為（4，-3）或者（-4，3）。

【錯因分析】錯解是將點到x軸的距離當作橫坐標的絕對值，將到y(tǒng)軸的距離當作縱坐標的絕對值，從而導致橫、縱坐標混淆。還有的錯解是混淆了坐標的符號特征，從而導致坐標符號錯誤。在平面直角坐標系中，確定一個點的坐標的方法為：過該點作x軸的垂線，垂足表示的數(shù)即為該點的橫坐標；過該點作y軸的垂線，垂足表示的數(shù)即為該點的縱坐標。同時，在此過程中，我們會發(fā)現(xiàn)點（x，y）到x軸的距離為 ||y，到y(tǒng)軸的距離為 ||x。

【正確解答】在本題中，點M到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，點M在第四象限，所以過點M作x軸的垂線，垂足表示的數(shù)為3，過點M作y軸的垂線，垂足表示的數(shù)為-4，可得點M的坐標為（3，-4）。提煉一下也可得到如下規(guī)律：到橫看縱，到縱看橫，符號看象限。

二、坐標的特征不清晰

例2已知點A（b-4，3+b），B（3b-1，2），AB⊥x軸，則點A的坐標是________。

【錯解】依題意得3+b=2，所以b=-1，所以點A的坐標為（-5，2）。

【錯因分析】通過畫圖，我們不難發(fā)現(xiàn)與坐標軸垂直的直線上的點的坐標特征：與x軸垂直，橫坐標x相等；與y軸垂直，縱坐標y相等。錯解是通過AB⊥x軸得到了縱坐標y相等，混淆了點的坐標關(guān)系。

【正確解答】根據(jù)題意，得b-4=3b-1，所以代入點A（b-4，3+b），得點A的坐標為。

三、對坐標中對稱的理解

例3在平面直角坐標系中，已知點P1（a-1，6）和P2（3，b-1）關(guān)于x軸對稱，則a+b的值為________。

【錯解】由題意得a-1=-3，b-1=6，所以a=-2，b=7，所以a+b=5。

【錯因分析】錯誤理解了點的坐標對稱問題中橫、縱坐標的關(guān)系。通過畫圖，我們可以得到點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（x，-y），點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（-x，y），點（x，y）關(guān)于原點對稱的點的坐標為（-x，-y）。我們可以歸納出如下規(guī)律：關(guān)于橫軸橫不變，關(guān)于縱軸縱不變，關(guān)于原點一切皆變。

【正確解答】由題意得a-1=3，b-1=-6，所以a=4，b=-5，所以a+b=-1。

四、對坐標中距離的理解

例4 若點（6-2a，a+6）到兩坐標軸的距離相等，則該點的坐標為________。

【錯解】令6-2a=a+6，得a=0，代入原坐標，得點的坐標為（6，6）。

【錯因分析】錯解是認為點到兩坐標軸的距離相等就等同于橫縱坐標相等，但事實上，點到兩坐標軸的距離相等意味著橫縱坐標的絕對值相等，而橫縱坐標有正有負，所以橫縱坐標應(yīng)該是相等或者互為相反數(shù)的關(guān)系。因此，我們在將距離轉(zhuǎn)化為坐標時，一定要考慮坐標的正負性，否則很容易出現(xiàn)漏解的情況。

【正確解答】令6-2a=a+6或6-2a=-（a+6），解得a=0或12，所以該點的坐標為（6，6）或（-18，18）。

例5 已知直線a平行于x軸，點M（-2，-3）是直線a上的一個點。若點N也是直線a上的一個點，MN=5，則點N的坐標為______。

【錯解】由題意可知直線a是過點M（-2，-3）且平行于x軸的一條直線，直線上的任意一點縱坐標不變，所以由MN=5得點N的橫坐標為-2+5=3，所以點N的坐標為（3，-3）。

【錯因分析】如果能根據(jù)題意畫出草圖，數(shù)形結(jié)合進行分析，不難發(fā)現(xiàn)點N也可以在點M的左側(cè)。

【正確解答】點N的橫坐標應(yīng)為-2+5或-2-5，縱坐標不變，所以點N的坐標為（3，-3）或（-7，-3）。

在涉及坐標類的問題中，上述幾種錯誤比較常見。實際上，這些問題的出現(xiàn)，其根本原因是我們在解決問題的過程中沒有抓住圖形去全面分析問題。因此，如果我們每做一道坐標類問題，都能結(jié)合圖形予以分析，做到數(shù)形結(jié)合不分離，那么錯誤率自然會大大降低。