江淼 鄭曉冉 林南省 李英駿

1) (中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院,北京 100083)

2) (中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京),深部巖土力學(xué)與地下工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100083)

3) (首都師范大學(xué),太赫茲光電子學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100048)

在高頻振蕩的外場(chǎng)中,可通過(guò)多光子躍遷過(guò)程在真空中激發(fā)出正負(fù)電子對(duì).本文運(yùn)用計(jì)算量子場(chǎng)論的方法數(shù)值求解了狄拉克方程,通過(guò)觀察產(chǎn)生粒子在能量上的分布,對(duì)外場(chǎng)寬度在正負(fù)粒子產(chǎn)生過(guò)程中的影響進(jìn)行了分析.當(dāng)場(chǎng)寬較大時(shí),光子躍遷過(guò)程模式較為單一,主要在能量對(duì)稱的區(qū)域發(fā)生,且單光子躍遷的概率遠(yuǎn)大于其他多光子過(guò)程;而當(dāng)場(chǎng)寬較小時(shí),雙光子躍遷過(guò)程的概率大幅增加至和單光子過(guò)程同數(shù)量級(jí),并且躍遷能量為外場(chǎng)頻率整數(shù)倍的非對(duì)稱躍遷都有可能發(fā)生.此外,在其他躍遷能量上激發(fā)出正負(fù)電子對(duì)也存在一定概率,粒子躍遷較寬場(chǎng)時(shí)呈現(xiàn)出更為復(fù)雜的模式.

1 引言

根據(jù)量子電動(dòng)力學(xué)的理論可以預(yù)測(cè),當(dāng)外場(chǎng)達(dá)到一定強(qiáng)度時(shí),真空將被激發(fā)出極化狀態(tài).1951 年,Schwinger[1]計(jì)算出了能夠“擊穿”真空的穩(wěn)恒電場(chǎng)強(qiáng)度,這項(xiàng)開創(chuàng)性的工作吸引了許多學(xué)者的注意,從而開展對(duì)正負(fù)電子對(duì)產(chǎn)生過(guò)程的深入研究.對(duì)于一個(gè)空間均勻且不隨時(shí)間變化的電場(chǎng),產(chǎn)生真空極化的閾值為Ec=1.32×1016V/cm,相應(yīng)的激光強(qiáng)度需要達(dá)到 1029W/cm2.在20 世紀(jì)80 年代初,實(shí)驗(yàn)上曾嘗試用重離子對(duì)撞產(chǎn)生交疊的庫(kù)侖場(chǎng)來(lái)激發(fā)出超臨界電場(chǎng),并檢測(cè)到了正電子的產(chǎn)生[2,3].但是,這里產(chǎn)生的粒子對(duì)是由于相對(duì)論碰撞過(guò)程中不可避免的核躍遷過(guò)程,而非單由庫(kù)侖場(chǎng)導(dǎo)致.在SLAC 上進(jìn)行的電子束與強(qiáng)激光脈沖碰撞實(shí)驗(yàn)中也檢測(cè)到了由高能電子和激光束相互作用引起的正電子的產(chǎn)生[4,5].目前為止,在現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)條件下,由于激光峰值功率尚且不足,僅由激光場(chǎng)直接引起正負(fù)粒子的產(chǎn)生還不能實(shí)現(xiàn).但是,隨著近年來(lái)激光技術(shù)及其相關(guān)產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展,激光強(qiáng)度也將進(jìn)一步逼近擊穿真空的閾值條件.可以期待在不久的將來(lái),激光強(qiáng)度將接近甚至超過(guò)施溫格極限,使得由光對(duì)物質(zhì)的直接轉(zhuǎn)化過(guò)程在實(shí)驗(yàn)室中得以實(shí)現(xiàn).

關(guān)于正負(fù)粒子對(duì)產(chǎn)生過(guò)程的理論研究已經(jīng)開展了數(shù)年,并對(duì)各種外場(chǎng)情況下的粒子產(chǎn)生過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)的研究[6-14].研究表明,在真空中產(chǎn)生正負(fù)粒子對(duì)通常經(jīng)過(guò)3 種機(jī)制.第一種稱為施溫格隧穿效應(yīng)[15-17].當(dāng)穩(wěn)恒電場(chǎng)的強(qiáng)度超過(guò)Ec=1.32×1016V/cm 時(shí),這個(gè)超強(qiáng)電場(chǎng)就可以在真空引起正負(fù)能態(tài)的交疊,從而持續(xù)不斷地激發(fā)出正負(fù)粒子對(duì).第二種機(jī)制要求外電場(chǎng)隨時(shí)間快速變化,當(dāng)頻率達(dá)到一定數(shù)值時(shí)也可以通過(guò)光子躍遷持續(xù)地激發(fā)出正負(fù)粒子對(duì),這種過(guò)程被稱作多光子效應(yīng)[18-21].第三種機(jī)制則是通過(guò)超臨界勢(shì)阱中的束縛態(tài)來(lái)激發(fā)正負(fù)粒子[22-26].

在第二種機(jī)制中,當(dāng)一個(gè)光子的能量大于能帶間隙 2mc2的時(shí)候,真空中的正負(fù)能態(tài)通過(guò)光子躍遷效應(yīng)發(fā)生交疊,從而產(chǎn)生正負(fù)粒子對(duì).然而這要求外場(chǎng)超高速振蕩,因此在實(shí)驗(yàn)上較難實(shí)現(xiàn).此外,多個(gè)光子的總能量之和如果能夠越過(guò)能帶間隙,同樣也可以激發(fā)出正負(fù)粒子對(duì).本文將對(duì)多光子躍遷中外場(chǎng)寬度對(duì)產(chǎn)生粒子過(guò)程的影響展開深入討論.

2 方法及模型

本文使用計(jì)算量子場(chǎng)論的方法來(lái)描述強(qiáng)場(chǎng)下真空中正負(fù)粒子的產(chǎn)生過(guò)程,該方法可實(shí)現(xiàn)在全空間和時(shí)間上數(shù)值求解狄拉克方程[27,28].

將模型簡(jiǎn)化至一維.對(duì)于一維系統(tǒng),選取只在z空間上變化的外場(chǎng),則場(chǎng)算符可寫成

其中up(z) 和vn(z) 分別是初始時(shí)刻的正負(fù)能態(tài),可通過(guò)求解自由態(tài)下的狄拉克方程獲得;為產(chǎn)生和湮滅算符,分別作用在正負(fù)能態(tài)上.再將場(chǎng)算符中正能和負(fù)能的部分分開,用正能部分定義粒子概率在真空態(tài)中的平均值表達(dá)式

最后,將粒子概率在全空間進(jìn)行積分,再經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可得出粒子產(chǎn)生數(shù)的表達(dá)式為

其中的態(tài)函數(shù)?n(z,t) 在時(shí)間上的演化過(guò)程遵循一維下的狄拉克方程:

(4)式及以下均使用原子單位制.下面運(yùn)用劈裂算符的方法[29,30]對(duì)狄拉克方程進(jìn)行數(shù)值求解.先將整個(gè)時(shí)間演化過(guò)程離散化,分成步長(zhǎng)為Δt的整數(shù)步,再通過(guò)對(duì)其中一步的演化進(jìn)行拆分e-ihΔt≈e-iVΔt/2×e-ihOΔt×e-iVΔt/2,其誤差為O(Δt3),其中自由哈密頓量h0只含動(dòng)量部分,外場(chǎng)V只含空間部分,再運(yùn)用傅里葉變換,即可對(duì)態(tài)的演化進(jìn)行數(shù)值求解.

為研究多光子躍遷過(guò)程,本文中所取的外場(chǎng)V(z,t)為隨時(shí)間振蕩的空間局域場(chǎng),表達(dá)式為V(z,t)=V1S(z)sin(ωt),其中V1表示振蕩場(chǎng)的振幅(即勢(shì)高度或場(chǎng)的強(qiáng)度),ω為場(chǎng)的振蕩頻率.式中的S(z) 為空間局域化的Sauter 勢(shì)函數(shù)[31],其表達(dá)式為S(z)={1+tanh[(z-z0)/W]}/2,其中W表示振蕩場(chǎng)的場(chǎng)寬,z0表示勢(shì)場(chǎng)的中心.應(yīng)用劈裂算符方法以及傅里葉變換可對(duì)該場(chǎng)下的狄拉克方程進(jìn)行數(shù)值求解,從而得出粒子概率和總產(chǎn)量在時(shí)間上的演化過(guò)程.

3 外場(chǎng)寬度對(duì)多光子躍遷過(guò)程的影響

本文對(duì)多光子躍遷過(guò)程進(jìn)行深入討論,并研究不同外場(chǎng)寬度對(duì)粒子產(chǎn)生過(guò)程的影響.首先運(yùn)用第2節(jié)介紹的方法,根據(jù)(3)式計(jì)算出粒子的產(chǎn)生總數(shù).在多光子躍遷效應(yīng)中,由于外場(chǎng)振蕩頻率ω直接對(duì)應(yīng)光子的能量,因此粒子的產(chǎn)生數(shù)與ω有著密切的關(guān)系.圖1給出了t=0.002 時(shí)刻,外場(chǎng)頻率在0— 4c2范圍內(nèi)的粒子產(chǎn)生總數(shù)N,其中外場(chǎng)寬度W=5/c.這里為了更加清晰地觀察多光子躍遷效應(yīng),所取場(chǎng)強(qiáng)為V1=5.5c2.

圖1 粒子產(chǎn)生數(shù)隨外場(chǎng)頻率變化關(guān)系圖.其中 t=0.002,外場(chǎng)強(qiáng)度 V1=5.5c2,寬度W=5/cFig.1.Total number of created pairs for different frequencies of the external field.Here t=0.002,the field intensity is V1=5.5c2and width is W=5/c.

圖1中出現(xiàn)多個(gè)峰值.其中最大的峰在頻率ω ＞2c2后開始出現(xiàn),對(duì)應(yīng)的是單光子過(guò)程.當(dāng)一個(gè)光子的能量大于能帶間隙 2c2(在原子單位制中m=1),則可實(shí)現(xiàn)正負(fù)能態(tài)的交疊,持續(xù)產(chǎn)生正負(fù)電子對(duì).該結(jié)論與文獻(xiàn)[20]中粒子產(chǎn)生數(shù)隨頻率變化規(guī)律一致.為了研究多光子躍遷效應(yīng)的影響,本文中加強(qiáng)了外場(chǎng)強(qiáng)度,因此還可以看到其他峰值.比如,當(dāng)振蕩場(chǎng)的頻率ω ＞c2,雙光子過(guò)程就可實(shí)現(xiàn)正負(fù)能態(tài)的交疊,因此在ω ＞c2的位置也可以觀察到一個(gè)小峰.另外,圖中ω ＞0.67c2處的小峰則與三光子過(guò)程相對(duì)應(yīng),這與文獻(xiàn)[21]中粒子產(chǎn)生數(shù)隨頻率變化規(guī)律一致.

需要注意的是,對(duì)于ω ＞2c2的情況,雙光子或者三光子躍遷仍然可以發(fā)生,只是相較單光子而言產(chǎn)量較小.為進(jìn)一步理解多光子躍遷過(guò)程,圖2以對(duì)稱躍遷為例,給出多光子躍遷過(guò)程的示意圖.

圖2 多光子躍遷過(guò)程示意圖,外場(chǎng)頻率為ω=2.5c2Fig.2.Schematic diagram of the multiphoton transition,where the frequency of the field is ω=2.5c2.

圖2中的縱軸為態(tài)的能量,下方陰影表示負(fù)能連續(xù)態(tài),上方陰影表示正能連續(xù)態(tài),中間則為2mc2的能帶間隙.可以看出,通過(guò)光子耦合躍遷的效應(yīng),負(fù)能態(tài)和正能態(tài)之間實(shí)現(xiàn)交疊從而產(chǎn)生正負(fù)電子對(duì).圖中從左到右依次為單、雙、三光子對(duì)稱躍遷過(guò)程.以下為研究外場(chǎng)寬度對(duì)光子躍遷過(guò)程的影響,選擇了頻率大于能帶間隙的光子能量ω=2.5c2,以保證單光子躍遷過(guò)程可以發(fā)生.另外從圖2還可看出,對(duì)于三光子躍遷過(guò)程,有一個(gè)光子是完全在負(fù)能態(tài)中完成躍遷的,如圖中紅色箭頭所示.對(duì)于空間局域化的外場(chǎng),當(dāng)外場(chǎng)寬度變化時(shí),該光子對(duì)躍遷過(guò)程的影響將發(fā)生變化.

在只含振動(dòng)場(chǎng)的情況下,當(dāng)外場(chǎng)頻率超臨界時(shí)可激發(fā)光子躍遷效應(yīng),正負(fù)電子對(duì)就會(huì)持續(xù)產(chǎn)生.其中單光子過(guò)程發(fā)生的概率最大,因此貢獻(xiàn)了最高的產(chǎn)生率.對(duì)于外場(chǎng)頻率超臨界的情況,雖然概率較單光子過(guò)程而言相對(duì)較小,但雙光子過(guò)程和三光子過(guò)程也會(huì)發(fā)生.由于計(jì)算粒子產(chǎn)生總數(shù)的時(shí)候,程序?qū)⑺羞^(guò)程的產(chǎn)生概率進(jìn)行了求和,因此在粒子產(chǎn)生總數(shù)中無(wú)法區(qū)分以上幾種過(guò)程.但是,在產(chǎn)生粒子的動(dòng)量或者能量分布上,不同數(shù)量的光子躍遷會(huì)對(duì)應(yīng)不同的峰值,可進(jìn)行區(qū)分.因此,下面主要對(duì)產(chǎn)生粒子的能量分布進(jìn)行討論.

在能量分布中,峰值代表具有該能量的能級(jí)上發(fā)生躍遷的概率最大,產(chǎn)生粒子數(shù)量最多.對(duì)于頻率確定的外場(chǎng),峰的位置與外場(chǎng)強(qiáng)度V1無(wú)關(guān).場(chǎng)強(qiáng)越大,正負(fù)電子對(duì)的產(chǎn)生量越多.場(chǎng)強(qiáng)在這里只起到改變躍遷強(qiáng)度的作用,而不能改變躍遷過(guò)程的能量.而外場(chǎng)的另一個(gè)參數(shù)—外場(chǎng)寬度,則會(huì)對(duì)躍遷過(guò)程的能量產(chǎn)生影響,因此多光子躍遷過(guò)程也會(huì)發(fā)生變化.以下分別對(duì)場(chǎng)寬較大和較小兩種情況展開討論.

3.1 場(chǎng)寬較大時(shí)的粒子能量分布

當(dāng)外場(chǎng)寬度較大時(shí),多光子躍遷過(guò)程將呈現(xiàn)出對(duì)稱的形式.這是因?yàn)?當(dāng)場(chǎng)寬W明顯大于康普頓波長(zhǎng)λc=1/c時(shí),在正負(fù)粒子產(chǎn)生過(guò)程中,整個(gè)系統(tǒng)可被認(rèn)為是接近空間均勻的.因此相應(yīng)地,能夠發(fā)生躍遷的過(guò)程須滿足動(dòng)量近似守恒.在產(chǎn)生粒子的能量分布上,則會(huì)出現(xiàn)較明顯的與單、雙、三光子過(guò)程分別對(duì)應(yīng)的主峰.當(dāng)然,由于這里使用的是空間局域化的外場(chǎng),并不是完全均勻的,因此主峰存在一定寬度.也就是說(shuō),躍遷過(guò)程雖然以對(duì)稱躍遷為主,但動(dòng)量不守恒的非對(duì)稱躍遷仍然可以發(fā)生.而由于動(dòng)量守恒的對(duì)稱躍遷過(guò)程最易發(fā)生,則概率最大,與能量分布的峰值相對(duì)應(yīng).

根據(jù)第2節(jié)介紹的理論,將(3)式在正能態(tài)和負(fù)能態(tài)上求和可得出產(chǎn)生粒子的總數(shù),而若只對(duì)負(fù)能態(tài)求和,則可得出產(chǎn)生粒子在正能態(tài)上的分布.再通過(guò)將動(dòng)量換算成能量,則可得出粒子產(chǎn)生量在能量上的概率分布,如圖3所示.

圖3中設(shè)場(chǎng)寬為W=5/c.這里為保證單光子躍遷可以發(fā)生,選取的外場(chǎng)頻率為超臨界的ω=2.5c2.這里的時(shí)刻為t=0.002,初始時(shí)間效應(yīng)早已結(jié)束,粒子的能量分布趨于穩(wěn)定.另外,為使多光子躍遷過(guò)程易于觀察,選取了較大的外場(chǎng)強(qiáng)度V1=8.5c2.在圖3(a)中,由于場(chǎng)寬明顯大于康普頓波長(zhǎng),因此整個(gè)系統(tǒng)中對(duì)稱躍遷發(fā)生的概率最大,在圖中表現(xiàn)為峰的形狀.圖3(a)中3 個(gè)峰值分別對(duì)應(yīng)單、雙、三光子躍遷過(guò)程中概率最大的對(duì)稱躍遷,由豎直虛線標(biāo)出.左邊第一個(gè)峰的峰值在橫軸上對(duì)應(yīng)的能量為 1.25c2,來(lái)自于從能量為-1.25c2的負(fù)能態(tài)到能量為 1.25c2的正能態(tài)的單光子對(duì)稱躍遷過(guò)程,整個(gè)躍遷過(guò)程的能量為 2.5c2,為所選取的外場(chǎng)頻率.第二個(gè)峰則來(lái)自從能量-2.5c2到2.5c2的雙光子躍遷,躍遷過(guò)程能量為 5c2,是外場(chǎng)頻率的2 倍.第三個(gè)峰則來(lái)自三光子躍遷過(guò)程,從能量-3.75c2到 3.75c2,躍遷過(guò)程能量為 7.5c2,是外場(chǎng)頻率的3 倍.以上能量均與圖2對(duì)應(yīng).圖3(a)中結(jié)論與文獻(xiàn)[20]中粒子的能量分布結(jié)論一致.

圖3 外場(chǎng)寬度 W=5/c 時(shí)粒子產(chǎn)生量在能量上的概率分布圖,外場(chǎng)頻率和強(qiáng)度分別為 ω=2.5c2,V1=8.5c2Fig.3.Energy distribution of the created particles for a wide field width W=5/c,where the frequency and intensity of the field are ω=2.5c2and V1=8.5c2,respectively.

對(duì)于單光子和雙光子過(guò)程在完成從負(fù)能態(tài)到正能態(tài)的躍遷時(shí),每個(gè)光子都是不可或缺的.但對(duì)于三光子躍遷過(guò)程,如圖2所示,有一個(gè)光子是在負(fù)能級(jí)內(nèi)完成躍遷的.為觀察這個(gè)光子對(duì)三光子躍遷過(guò)程的影響,在圖3(b)中對(duì)負(fù)能量的不同數(shù)值進(jìn)行了截?cái)?也就是說(shuō),當(dāng)不進(jìn)行截?cái)鄷r(shí),在計(jì)算粒子產(chǎn)生總量時(shí)對(duì)所有的負(fù)能態(tài)到達(dá)正能態(tài)的躍遷過(guò)程進(jìn)行求和.而當(dāng)截?cái)嗄芰繛镋c時(shí),則只對(duì)從Ec到-c2的負(fù)能態(tài)到正能態(tài)的躍遷過(guò)程進(jìn)行求和.為進(jìn)行對(duì)比,圖3(b)中的黑色實(shí)線為未進(jìn)行任何截?cái)嗟牧Ｗ赢a(chǎn)量分布,和圖3(a)相同.其他4 條曲線則分別為對(duì)能量相應(yīng)數(shù)值的負(fù)能態(tài)進(jìn)行截?cái)嗪蟮玫降慕Y(jié)果.當(dāng)截?cái)嗄芰繛镋c=-3.75c2時(shí),剛好是與三光子對(duì)稱躍遷對(duì)應(yīng)的能量,則第三個(gè)峰發(fā)生了明顯的變化,有大部分缺失.這說(shuō)明,在三光子躍遷過(guò)程中,全部在負(fù)能級(jí)內(nèi)的這個(gè)光子是不可或缺的.若將它摘除,就會(huì)直接影響到三光子躍遷過(guò)程的發(fā)生.而由于除對(duì)稱躍遷以外,-3.75c2附近的能量也有一定的躍遷概率,因此這個(gè)峰并沒(méi)有完全消失.若截?cái)嗄芰窟M(jìn)一步增加,如Ec=-3.5c2或-3.25c2時(shí),三光子躍遷過(guò)程的峰將進(jìn)一步缺失.當(dāng)截?cái)嗄芰繛镋c=-3c2時(shí),三光子躍遷過(guò)程的峰則完全消失了.當(dāng)取截?cái)嗄芰繛镋c=-2.75c2時(shí),已到達(dá)雙光子對(duì)稱躍遷的能量,因此第二個(gè)峰也出現(xiàn)了一定程度的缺失,如圖3所示.

可以看出,對(duì)于外場(chǎng)較寬的情況,光子躍遷的過(guò)程正如圖2所示,以對(duì)稱躍遷為主.且從數(shù)量級(jí)上來(lái)看,單光子躍遷占絕大多數(shù).另外,由于場(chǎng)的空間局域化,非對(duì)稱躍遷也存在一定的概率.因此當(dāng)對(duì)-3.75c2到-2.5c2的能量逐漸進(jìn)行截?cái)鄷r(shí),與三光子過(guò)程對(duì)應(yīng)的峰會(huì)逐漸消失.且在截?cái)嗄芰康竭_(dá)-2.5c2之前,單光子和雙光子躍遷過(guò)程都沒(méi)有因能量截?cái)嗍艿饺魏斡绊?而當(dāng)截?cái)嗄芰康竭_(dá)-2.5c2時(shí),雙光子躍遷過(guò)程也受到了一定程度的影響.

3.2 場(chǎng)寬較小時(shí)的粒子能量分布

文獻(xiàn)[20]所取外場(chǎng)均為寬場(chǎng),為進(jìn)一步討論多光子躍遷過(guò)程,本節(jié)選取較小的外場(chǎng)場(chǎng)寬W=1/c進(jìn)行討論.由于高階多光子躍遷過(guò)程概率較小,為便于觀察,選擇較強(qiáng)外場(chǎng)強(qiáng)度V1=8.5c2.當(dāng)場(chǎng)寬接近康普頓波長(zhǎng)時(shí),空間的變化更加劇烈,則粒子在躍遷時(shí)不受動(dòng)量守恒的限制,對(duì)稱躍遷的機(jī)制將被打破.

圖4(a)給出了場(chǎng)寬為W=1/c時(shí)粒子產(chǎn)量在能量上的概率分布,其他參數(shù)與圖3相同.可以看到,相較于寬場(chǎng)的情況,粒子的能量分布發(fā)生了明顯的變化.由于對(duì)稱躍遷的機(jī)制被打破,圖3(a)中的三峰結(jié)構(gòu)已經(jīng)完全消失,而分裂成了多個(gè)小峰.這里仍然用豎直虛線標(biāo)出了各種數(shù)量的光子對(duì)稱躍遷的能量.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn),首先,單光子躍遷仍然在對(duì)稱躍遷處存在一個(gè)主峰,而與三光子躍遷過(guò)程對(duì)應(yīng)的峰變得不明顯.其次,雙光子過(guò)程以對(duì)稱躍遷為中心分裂成了兩個(gè)對(duì)稱的小峰,圖中A 峰和B 峰的能量分別為 1.85c2和3.15c2,與能量為 2.5c2的雙光子躍遷相對(duì)應(yīng).另外,在高能部分還出現(xiàn)了C 峰和D 峰,能量分別為4.35c2和5.65c2.

圖4 外場(chǎng)寬度 W=1/c 時(shí)粒子產(chǎn)生量在能量上的概率分布圖,外場(chǎng)頻率和強(qiáng)度分別為 ω=2.5c2,V1=8.5c2Fig.4.Energy distribution of the created particles for a narrow field width W=1/c,here the frequency and intensity of the field are ω=2.5c2and V1=8.5c2,respectively.

可以看出,在場(chǎng)寬較窄的情況下,能量分布展現(xiàn)出不同的模式.首先,各級(jí)光子躍遷之間的數(shù)量級(jí)差要小于寬場(chǎng)的情況,也就是說(shuō),雙光子和三光子躍遷過(guò)程在窄場(chǎng)下的發(fā)生概率有所增大.以單光子和雙光子躍遷過(guò)程的對(duì)比為例,在場(chǎng)寬為W=5/c時(shí),兩者的峰值數(shù)值相差兩個(gè)數(shù)量級(jí)以上,而在場(chǎng)寬為W=1/c時(shí)則基本為同一個(gè)數(shù)量級(jí).三光子過(guò)程的數(shù)量級(jí)也有明顯增加.其次,寬場(chǎng)下對(duì)稱躍遷的趨勢(shì)被完全打破,在不同能量上出現(xiàn)其他峰值.在W=1/c時(shí)與三光子躍遷過(guò)程對(duì)應(yīng)的峰因受到雙光子躍遷過(guò)程分裂出的B 峰的影響而變得不明顯.

為進(jìn)一步討論躍遷模式如何變化,這里同樣對(duì)負(fù)能態(tài)進(jìn)行不同數(shù)值的截?cái)?通過(guò)觀察能量分布在截?cái)噙^(guò)程中的變化可以看出,能量截?cái)鄬?duì)多光子躍遷過(guò)程的影響也與場(chǎng)寬時(shí)不同.首先,即使是遠(yuǎn)離雙光子躍遷過(guò)程的截?cái)嗄芰?也對(duì)與雙光子躍遷過(guò)程對(duì)應(yīng)的A 峰產(chǎn)生了明顯的影響.其次,除去本身已不明顯的三光子過(guò)程,能量截?cái)鄡H影響了圖4中的A 峰和C 峰,并且不同能量的截?cái)鄬?duì)這兩個(gè)峰的影響非常相似.最后,當(dāng)能量截?cái)酁镋c=-3.75c2和-3.5c2時(shí),A 峰和C 峰的改變并不明顯;而當(dāng)截?cái)嗄芰繛?3.25c2時(shí)才發(fā)生明顯缺失,并且隨著截?cái)嗄芰康脑龃蟀l(fā)生進(jìn)一步的缺失.這些現(xiàn)象都和寬場(chǎng)時(shí)的情況有著明顯的差距.

對(duì)于這種現(xiàn)象,可通過(guò)正負(fù)粒子產(chǎn)生過(guò)程中發(fā)生的光子耦合效應(yīng)進(jìn)行解釋.根據(jù)在圖3中觀察到的結(jié)果,可對(duì)窄場(chǎng)下的多光子躍遷過(guò)程進(jìn)行推測(cè).圖5給出了雙光子和三光子躍遷過(guò)程在能量上的示意圖,左圖為雙光子躍遷,右圖為三光子躍遷.由于場(chǎng)寬度的減小,整個(gè)躍遷過(guò)程的動(dòng)量不再守恒,對(duì)稱躍遷的機(jī)制被打破,呈現(xiàn)出其他的躍遷模式.其中a和b 與圖4中的A 峰和B 峰相對(duì)應(yīng);c和d 則對(duì)應(yīng)圖4中的C 峰和D 峰.根據(jù)躍遷示意圖可以看出,圖4中的A 峰和B 峰分別是從-3.15c2到 1.85c2和從-1.85c2到 3.15c2的雙光子 躍遷過(guò)程產(chǎn)生的,總躍遷能量是外場(chǎng)頻率ω=2.5c2的兩倍 5c2.對(duì)于圖4中的C 峰和D 峰,則分別來(lái)自從-3.15c2到 4.35c2和從-1.85c2到 5.65c2的躍 遷過(guò)程,總躍遷能量為 7.5c2,ω=2.5c2的3 倍.也就是說(shuō)在之前完成雙光子躍遷的基礎(chǔ)上,再向高能級(jí)躍遷一個(gè)光子.因此,當(dāng)在-3.15c2以上進(jìn)行能量截?cái)鄷r(shí),就會(huì)對(duì)a 過(guò)程和c 過(guò)程產(chǎn)生影響,從而在圖4中表現(xiàn)為A 峰和C 峰的削弱.

圖5 場(chǎng)寬較小時(shí)多光子躍遷過(guò)程示意圖Fig.5.Multi-photon transition in a narrow field,where the frequency is ω=2.5c2.

3.3 多光子躍遷過(guò)程在能譜上的分析

在第2節(jié)給出的簡(jiǎn)介中,通過(guò)對(duì)所有的正能態(tài)和負(fù)能態(tài)交疊概率進(jìn)行求和可得出總的粒子產(chǎn)生數(shù).而在求和之前,可導(dǎo)出某一個(gè)能量為En的負(fù)能態(tài)與另一個(gè)能量為Ep的正能態(tài)之間的交疊概率,也就是這兩個(gè)態(tài)上產(chǎn)生粒子的概率.通過(guò)觀察各能態(tài)之間的交疊概率,可以更深入地討論粒子躍遷過(guò)程.圖5給出了外場(chǎng)頻率為ω=2.5c2時(shí),寬場(chǎng)W=5/c和窄場(chǎng)W=1/c兩種情況下的概率分布圖.其中橫軸為負(fù)能態(tài)能量的絕對(duì)值,縱軸為正能態(tài)能量.與圖3和圖4相同的,這里用對(duì)數(shù)坐標(biāo)給出了躍遷概率,具體數(shù)值對(duì)應(yīng)見(jiàn)下方色條.圖中坐標(biāo)(1.25,1.25)的點(diǎn)表示負(fù)能En=-1.25c2到正能Ep=1.25c2的躍遷概率.

從圖6(a)可以看出,寬場(chǎng)情況下,躍遷概率最大的區(qū)域主要分布在單光子過(guò)程,且以對(duì)稱躍遷為主.雙光子過(guò)程在對(duì)稱躍遷區(qū)域也有少量貢獻(xiàn).而在圖6(b)中的窄場(chǎng)情況下,可明顯觀察出4 條斜線,這4 條斜線從左下到右上分別對(duì)應(yīng)單、雙、三、四光子躍遷過(guò)程.與寬場(chǎng)中只在對(duì)稱躍遷附近有概率明顯不同,在窄場(chǎng)中只要符合能量守恒的躍遷都可以發(fā)生.并且,躍遷概率發(fā)生了明顯的變化,高階光子的躍遷概率明顯增大.其中,雙光子躍遷的概率甚至與單光子躍遷達(dá)到了同一數(shù)量級(jí).而在圖6(b)中,除符合能量守恒的對(duì)稱躍遷以外,還激發(fā)出了其他躍遷模式.如左下角在從負(fù)能-1.85c2＜En＜-c2到正能c2＜Ep＜1.85c2的區(qū)域都存在一定躍遷概率.且從負(fù)能En＜-c2到 1.85c2的區(qū)域以及-1.85c2到正能Ep＞c2的區(qū)域也都存在一定躍遷概率,并分別在符合雙光子躍遷能量的 1.85c2和3.15c2處形成加強(qiáng)躍遷,分別對(duì)應(yīng)圖5中的a,b 過(guò)程和圖4中的A,B 兩峰.且在此基礎(chǔ)上,還發(fā)生了再吸收一個(gè)光子的躍遷過(guò)程,并在符合三光子躍遷能量的區(qū)域產(chǎn)生峰值,其中高能的兩個(gè)峰分別對(duì)應(yīng)圖5中的c,d 過(guò)程和圖4中的C,D 兩峰.可見(jiàn),在窄場(chǎng)情況下,多光子躍遷呈現(xiàn)出許多較寬場(chǎng)而言更為復(fù)雜的躍遷形式.

圖6 多光子躍遷過(guò)程概率在正負(fù)能量上的分布圖(a)場(chǎng)寬 W=5/c;(b)場(chǎng)寬 W=1/c.其中外場(chǎng)頻率為ω=2.5c2,強(qiáng)度為V1=8.5c2Fig.6.Probability of transition between the positive and negative energy:(a) Field width W=5/c ;(b) field width W=1/c.The frequency and intensity of the field are ω=2.5c2and V1=8.5c2.

4 結(jié)論

本文運(yùn)用計(jì)算量子場(chǎng)論的方法,對(duì)真空中產(chǎn)生正負(fù)電子對(duì)的過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)研究.利用劈裂算符的方法和傅里葉變換,對(duì)一維模型中的狄拉克方程在全空間和時(shí)間上進(jìn)行數(shù)值求解,從而得出粒子的總產(chǎn)生率以及在能量上的概率分布.為研究光子躍遷過(guò)程在不同外場(chǎng)參數(shù)下的變化,本文選擇的外場(chǎng)模型為隨時(shí)間高頻振蕩的電場(chǎng).在這種外場(chǎng)的激發(fā)下,負(fù)能態(tài)將通過(guò)光子躍遷效應(yīng)與正能態(tài)發(fā)生交疊,從而產(chǎn)生正電粒子對(duì).

基于研究得出的寬場(chǎng)下多光子躍遷結(jié)論,討論了外場(chǎng)較窄情況下的多光子躍遷效應(yīng).通過(guò)改變外場(chǎng)的寬度可以看出,多光子躍遷過(guò)程在寬場(chǎng)和窄場(chǎng)中躍遷模式發(fā)生了明顯的變化.首先在寬場(chǎng)模型中,觀察粒子在能量上的分布概率可以看出,單光子躍遷的概率要遠(yuǎn)大于其他更高數(shù)量的光子躍遷過(guò)程,在粒子產(chǎn)量中占主要地位.且由于空間變化緩慢,動(dòng)量守恒的對(duì)稱躍遷更易發(fā)生,占主要地位.另外,通過(guò)在負(fù)能量上對(duì)躍遷過(guò)程進(jìn)行截?cái)嗫捎^察到,對(duì)于三光子躍遷過(guò)程中,躍遷前后的能量完全在負(fù)能連續(xù)態(tài)中的光子對(duì)整個(gè)躍遷過(guò)程而言是不可或缺的,會(huì)直接影響到躍遷過(guò)程的發(fā)生.而當(dāng)外場(chǎng)寬度減小到更接近康普頓波長(zhǎng)時(shí),雙光子躍遷過(guò)程的概率明顯增加,甚至與單光子躍遷概率達(dá)到同一量級(jí).而在寬場(chǎng)機(jī)制下,單光子躍遷的概率比雙光子躍遷高兩個(gè)數(shù)量級(jí),可見(jiàn)在窄場(chǎng)中雙光子躍遷的概率明顯提升.這是因?yàn)?在寬場(chǎng)下只有近似滿足能量對(duì)稱的躍遷才可以發(fā)生;而在窄場(chǎng)中,這一限制被打破,符合雙光子能量的躍遷都可以發(fā)生.而雙光子過(guò)程可發(fā)生的能譜范圍大于單光子過(guò)程,因此產(chǎn)量明顯增加.可見(jiàn),在窄場(chǎng)條件下多光子躍遷的數(shù)量會(huì)明顯增大,這一結(jié)論同樣適用于能量較低的多光子躍遷過(guò)程.對(duì)于頻率無(wú)法超越 2c2,只能通過(guò)雙光子或者更高階效應(yīng)產(chǎn)生粒子的激光場(chǎng),可通過(guò)將激光束進(jìn)一步聚焦,減小場(chǎng)寬來(lái)增加產(chǎn)生率.另外,相較于單峰結(jié)構(gòu)的對(duì)稱躍遷,窄場(chǎng)下躍遷模式更為復(fù)雜,與之對(duì)應(yīng)的產(chǎn)生粒子能量分布也呈現(xiàn)出多峰結(jié)構(gòu).比如,在雙光子躍遷時(shí)分裂出兩個(gè)峰,分別對(duì)應(yīng)從不同負(fù)能態(tài)到正能態(tài)的躍遷過(guò)程.寬場(chǎng)下的躍遷模式較為單一,而窄場(chǎng)下的躍遷模式則較為多樣化.可見(jiàn),當(dāng)外場(chǎng)寬度變窄時(shí),產(chǎn)生正負(fù)電子對(duì)的躍遷過(guò)程與寬場(chǎng)時(shí)存在很多不同的效應(yīng),有待進(jìn)一步的探索.