基于電路控制的梯度折射率曲面聲學(xué)透鏡研究

陳 峰,廉 盟,曹 暾,

(1.大連理工大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，遼寧 大連 116024;2.大連理工大學(xué) 光電工程與儀器科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引言

聲學(xué)超材料可以實(shí)現(xiàn)自然界中不常見的材料聲學(xué)性能，為新型聲學(xué)器件研發(fā)提供了可能，如隱身斗篷[1-3]，波前轉(zhuǎn)換器[4-5]，聲學(xué)聚焦透鏡[6-9]等。其中，聲學(xué)梯度折射率(GRIN,gradient index)透鏡[10-14]是一種特殊的聲學(xué)超材料，因其折射率在介質(zhì)中的空間分布狀態(tài)不斷變化，可改變聲束的傳播路徑，具有衍射極限以下超聲成像等應(yīng)用潛力，為醫(yī)療器械、秘密通信、聲學(xué)檢測(cè)等領(lǐng)域提供了無(wú)限可能。國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究機(jī)構(gòu)已經(jīng)利用聲子晶體與聲學(xué)超材料設(shè)計(jì)多種類型的聲學(xué)GRIN透鏡，通過(guò)改變單元的結(jié)構(gòu)參數(shù), 實(shí)現(xiàn)不同的梯度折射率的聲學(xué)效果。如2016年袁保國(guó)[15]等人提出了一種二維聲學(xué)麥克斯韋魚眼透鏡，該透鏡采用空間螺旋形聲學(xué)超材料，成功地將聲波從其表面的點(diǎn)源輻射到透鏡直徑相反的一側(cè)。2020年J. Hyun等人[16]提出了一種由填充分?jǐn)?shù)不同的圓柱體組成的對(duì)稱GRIN聲子晶體結(jié)構(gòu)，以調(diào)整空間聲折射率，從而使聲波向目標(biāo)中心區(qū)域的任何方向聚焦。

盡管聲學(xué)GRIN透鏡具有新型而奇異的特性，但由于其梯度折射率的實(shí)現(xiàn)全部依賴于幾何陣列結(jié)構(gòu)的漸變，制造復(fù)雜、成本較高。相比于以上基于聲子晶體和卷曲空間的結(jié)構(gòu)型變折射率材料來(lái)實(shí)現(xiàn)聲學(xué)透鏡的方式，近年來(lái)，在電磁波，水面波，彈性波等領(lǐng)域已經(jīng)提出了采用不同常規(guī)材料組成非均勻介質(zhì)的GRIN透鏡裝置。2015年王振宇等人[17]將通過(guò)逐漸改變水深來(lái)控制水面波傳播，實(shí)現(xiàn)線性水面波所需的梯度折射率，以控制水波的彎曲、定向發(fā)射和聚焦。2016年Mitchell-Thomas等人[18]利用在金箔表面不同厚度的有機(jī)玻璃在GHz波段制作了表面電磁波隱身斗篷。通過(guò)合適的折射率曲面修正了由于曲率引起的面波陣面形狀的畸變。然而上述GRIN透鏡模型只能實(shí)現(xiàn)一種特殊的波導(dǎo)現(xiàn)象，不具備功能調(diào)諧性。如果一種透鏡能夠在人為操縱下實(shí)現(xiàn)兩種及以上的聲學(xué)現(xiàn)象，將為復(fù)雜的聲波成像器件提供新思路。

本文提出了一種基于折射率可調(diào)諧材料的聲學(xué)透鏡，采用有限元數(shù)值方法，基于多層變折射率愛(ài)因斯坦環(huán)形的RineHart曲面殼體結(jié)構(gòu)[19]，建立RineHart曲面折射率模型，調(diào)控外部電路控制改變材料折射率的梯度分布[20]狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)聲波傳播路徑的操控，形成功能可切換的波形轉(zhuǎn)換聲學(xué)器件。

1 三維聲學(xué)GRIN透鏡結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

變換聲學(xué)理論提出一種二維平面聲學(xué)透鏡，通過(guò)改變二維平面空間聲學(xué)折射率分布來(lái)控制聲波的傳播路徑。受愛(ài)因斯坦環(huán)的啟發(fā)，本文采用不同聲折射率層介質(zhì)彎曲聲束代替引力場(chǎng)環(huán)彎曲光束的方式，構(gòu)造三維曲率空間聲學(xué)透鏡，實(shí)現(xiàn)聲波的重匯聚。三維曲面聲學(xué)透鏡的結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，由一系列直徑不同的圓環(huán)層沿z軸疊加組成，圓環(huán)材料聲折射率沿z向發(fā)生梯度變化，實(shí)現(xiàn)波形操控。

圖1 Rinehart曲面聲學(xué)透鏡幾何和數(shù)學(xué)模型

三維聲學(xué)透鏡的梯度折射率N(ρ)分布如圖1(b)所示，其中ρ是截面圓環(huán)的半徑，球形表面上任意臨近的A、B兩點(diǎn)之間距離dL，根據(jù)微分三角形可表示為：

dL2=ds2+ρ2dθ2

(1)

式中，s是z向頂點(diǎn)到沿母線C任意點(diǎn)S對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，θ是S點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面圓環(huán)的中心角。將dL乘以折射率n，得到A、B兩點(diǎn)之間的聲程dφ：

dφ2=n2(ds2+ρ2dθ2)

(2)

以自定義曲面坐標(biāo)系代替柱面坐標(biāo)系，將便于曲面上聲程的計(jì)算，其中曲面坐標(biāo)系的3個(gè)自變量為s，ρ和θ。如果以曲面坐標(biāo)系的ρ和θ作為自變量，公式(2)可寫為:

dφ2=N(ρ)2(s'(ρ)2dρ2+ρ2dθ2)

(3)

如果以曲面坐標(biāo)系的s和θ作為自變量，公式(2)可寫為:

dφ2=n(s)2(ds2+ρ(s)2dθ2)

(4)

(5)

(6)

式中，R為RineHart曲面底部邊界(z=0)上的點(diǎn)，sR為z向頂點(diǎn)到R點(diǎn)對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)。

Nρ=n(r)r

(7)

(8)

N(s)=n(r)[f(s) ]f(s)/ρ(s)

(9)

(10)

將公式(10)代入式(9)中，可以得到三維曲面透鏡的折射率分布為

N(ρ)=n(r)[F(ρ) ]F(ρ)/ρ

(11)

本文中三維曲面透鏡采用了RineHart曲面，對(duì)應(yīng)的s與ρ關(guān)系為s=0.5ρ+0.5sin-1ρ。將s代入公式(10)，則曲面的折射率分布是與ρ和n(r)有關(guān)的變量，n(r)是二維平面透鏡各種聲學(xué)現(xiàn)象對(duì)應(yīng)的梯度折射率分布，如表1所示。ρ是歸一化變量，相當(dāng)于r/R。因此，根據(jù)二維透鏡的梯度折射率分布狀態(tài)即可以設(shè)計(jì)出具有相同功能的三維聲學(xué)透鏡折射率分布狀態(tài)。

表1 平面聲學(xué)透鏡折射率分布公式

2 聲學(xué)GRIN透鏡性能調(diào)控方法

根據(jù)上文曲面聲學(xué)透鏡的理論設(shè)計(jì)，證明了不同聲學(xué)器件效果可以通過(guò)改變曲面殼體不同層段的折射率實(shí)現(xiàn)，而折射率又可以通過(guò)介質(zhì)間的聲速比值表示。因此本文將關(guān)注于如何實(shí)現(xiàn)制備材料聲速可調(diào)控的曲面聲學(xué)透鏡。瓊脂糖水凝膠材料是一種溫敏材料，當(dāng)溫度發(fā)生變化時(shí)瓊脂糖水凝膠中的結(jié)合水和自由水會(huì)相互轉(zhuǎn)換，材料特性會(huì)變化，實(shí)現(xiàn)了聲速可控。通過(guò)在低溫區(qū)域?qū)繛?5%的瓊脂糖水凝膠的聲速進(jìn)行測(cè)試，獲得對(duì)應(yīng)的聲速與溫度的變化關(guān)系。測(cè)試方法如下：預(yù)先將含水量為65%的溫敏水凝膠用液氮進(jìn)行低溫冷卻至-30 ℃；然后，在溫敏水凝膠材料側(cè)壁粘貼溫度傳感器；最后，停止液氮噴射，在20 ℃室溫環(huán)境下，實(shí)時(shí)測(cè)量溫敏水凝膠材料升溫過(guò)程中的聲速，聲速曲線如圖2所示，為了獲得合適的仿真數(shù)據(jù)，采用最小二乘法對(duì)超聲聲速曲線進(jìn)行了擬合，擬合公式如下：

圖2 低溫區(qū)域水凝膠的聲速變化曲線

v=0.693 7t2-12.782t+2 054.1

(12)

根據(jù)上文的平面透鏡折射率分布和公式(11)、(12)，將不同聲學(xué)功能對(duì)應(yīng)的梯度聲速和溫度分布通過(guò)電路裝置調(diào)控在曲面聲學(xué)透鏡上實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的聲學(xué)器件?？紤]到瓊脂糖水凝膠的低溫梯度調(diào)控的可實(shí)現(xiàn)性，需要先將制備好的曲面聲學(xué)透鏡統(tǒng)一降溫處理，再按梯度聲速分布對(duì)不同位置的片段升溫，形成低溫區(qū)域的溫度梯度分布。本文選取了室溫20 ℃條件下溫敏水凝膠的聲速作為曲面聲學(xué)透鏡的梯度分布下界值vb，其數(shù)值為2 000 m/s，對(duì)應(yīng)折射率分布上界值nb為0.74。

電路溫控方法如圖3所示，首先，將曲面聲學(xué)透鏡放置在內(nèi)置溫度傳感器的可拆卸封閉腔內(nèi)中，PLC控制器通過(guò)開關(guān)電磁閥來(lái)控制液氮管道中液氮的流通。預(yù)設(shè)環(huán)境溫度為-35 ℃，腔內(nèi)溫度傳感器將溫度轉(zhuǎn)換為電信號(hào)發(fā)送至上位機(jī)對(duì)PLC控制器進(jìn)行反饋[22]。

圖3 曲面聲學(xué)透鏡的調(diào)控測(cè)試圖

然后，為控制曲面聲學(xué)透鏡的溫度分布，本文在不同溫敏水凝膠片段內(nèi)表面上粘貼了導(dǎo)電電極片和溫度傳感器，利用熱電阻電路對(duì)聲學(xué)透鏡材料進(jìn)行加熱。通過(guò)電路控制器改變恒流源的電流值[23]，使熱電阻電路末端的導(dǎo)電電極片獨(dú)立加熱相連的水凝膠片段。最后，我們根據(jù)測(cè)試所得的低溫區(qū)域水凝膠材料聲速變化規(guī)律，在軟件系統(tǒng)設(shè)置曲面聲學(xué)透鏡需要的溫度參數(shù)。PLC控制器會(huì)預(yù)先設(shè)定好環(huán)境參數(shù)，電路控制器會(huì)將溫度輸入轉(zhuǎn)換為電流輸出，使曲面聲學(xué)透鏡在電路系統(tǒng)控制下實(shí)現(xiàn)低溫區(qū)域的聲速梯度分布。

3 仿真結(jié)果

本文采用有限元多物理場(chǎng)耦合軟件COMSOL Multiphysics模擬三維曲面透鏡的聲學(xué)特性。透鏡幾何參數(shù)分別為：襯底采用長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)為400 mm，寬為300 mm，高度為4 mm。底板上方有近似于橢球形的殼體，半徑為100 mm，高度為63.2 mm，層厚為4 mm。仿真主要實(shí)現(xiàn)3個(gè)聲學(xué)現(xiàn)象，即隱身斗篷、呂內(nèi)堡透鏡、魚眼透鏡。

3.1 隱身斗篷

根據(jù)二維隱身斗篷聲學(xué)器件的折射率分布以及公式(11)，計(jì)算得到三維聲學(xué)透鏡折射率分布公式為:

(13)

計(jì)算得出的N(ρ)離散分布值對(duì)應(yīng)的梯度聲速分布如圖4(a)所示。圖4(b)顯示了平面波在70 kHz時(shí)隱形斗篷的性能。由于該折射率梯度分布，聲束在曲面透鏡上兩點(diǎn)之間傳播的聲程與對(duì)應(yīng)平面透鏡上投影點(diǎn)之間的聲程相同，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)曲面透鏡左右的平面波傳播方向、振動(dòng)相位均不發(fā)生改變，聲波在傳播過(guò)程中因材料特性與傳播方式會(huì)有些許能量衰減。經(jīng)仿真分析波長(zhǎng)越大，衰減程度越低。即以俯視視角看三維曲面透鏡上的聲波傳播路徑，與平面波在二維平面上的傳播效果保持一致，證明了在此梯度折射率分布下曲面透鏡可以將物體隱藏在凹凸處而不被發(fā)現(xiàn)。

圖4 70 kHz隱身斗篷的仿真結(jié)果

3.2 呂內(nèi)堡透鏡

由于設(shè)計(jì)的RinHart曲面的特殊性，根據(jù)二維呂內(nèi)堡聲學(xué)透鏡的折射率分布以及公式(11)，計(jì)算得到折射率分布N(ρ)恰好為常數(shù)，因此本文三維透鏡折射率分布N(ρ)統(tǒng)一設(shè)置為nb，得出對(duì)應(yīng)的梯度聲速分布如圖5(a)所示。圖5(b)顯示了平面波在70 kHz轉(zhuǎn)換為柱面波的現(xiàn)象，RineHart曲面結(jié)合材料折射率會(huì)對(duì)平面波的傳播方向與振動(dòng)相位進(jìn)行調(diào)控，經(jīng)過(guò)曲面透鏡后的聲波能量聚焦在曲面邊界的一點(diǎn)上，以柱面波的方式向右側(cè)傳播。證明了在此梯度折射率分布下曲面透鏡可以實(shí)現(xiàn)平面波與柱面波的波前變換，且保證振動(dòng)聲壓近乎不變。同樣的，如果以柱面波源在此曲面透鏡上進(jìn)行傳播，也會(huì)得到相應(yīng)的平面波。

圖5 70kHz呂內(nèi)堡透鏡的仿真結(jié)果

3.3 魚眼透鏡

針對(duì)柱面波特性，本文根據(jù)魚眼功能二維聲學(xué)透鏡的折射率分布以及公式(11)，計(jì)算得到三維魚眼透鏡折射率分布公式為:

(14)

計(jì)算得出的N(ρ)離散分布值對(duì)應(yīng)的梯度聲速分布如圖6(a)所示。圖6(b)顯示了柱面波在70 kHz時(shí)的對(duì)稱魚眼現(xiàn)象。由于該折射率梯度分布，RineHart曲面結(jié)合材料折射率分布會(huì)對(duì)柱面波的傳播方向與振動(dòng)相位進(jìn)行調(diào)控，使經(jīng)過(guò)曲面透鏡后的聲波波前匯聚成點(diǎn)，在曲面透鏡底部右側(cè)邊界產(chǎn)生一個(gè)對(duì)應(yīng)左側(cè)點(diǎn)聲源的偽點(diǎn)聲源，并以此在透鏡右側(cè)以柱面波方式傳播，在傳播過(guò)程中因聚焦偽點(diǎn)聲源導(dǎo)致曲面透鏡左右兩側(cè)振動(dòng)聲壓一致，證明了在此梯度折射率分布下曲面透鏡可以實(shí)現(xiàn)兩側(cè)對(duì)稱的魚眼幻像。

圖6 70 kHz魚眼透鏡的仿真結(jié)果

4 透鏡效果的影響因素分析

為了驗(yàn)證RineHart曲面透鏡梯度參數(shù)分布的離散化程度對(duì)上述曲面透鏡功能的影響，本文以魚眼透鏡為例探究了聲速梯度離散水平對(duì)該現(xiàn)象的影響，圖7(a)、(b)、(c)左側(cè)圖分別為6、9、12層離散化魚眼透鏡的梯度聲速分布，右側(cè)圖則分別說(shuō)明了入射聲波(f=70 kHz時(shí))在被分為6、9、12層的曲面透鏡模型上的聲波傳播效果?？梢杂^察到，當(dāng)聲速梯度以圖6(a)左側(cè)圖分布時(shí)，6層結(jié)構(gòu)的離散水平也可以實(shí)現(xiàn)魚眼效果，但曲面透鏡上兩點(diǎn)之間的聲程與由N(ρ)計(jì)算得到的聲程存在一定誤差，柱面波波前畸變嚴(yán)重。反之層數(shù)越多波形畸變?cè)叫。娌úㄇ霸节吔谄交?，呈現(xiàn)的魚眼透鏡效果也越好。特別當(dāng)層數(shù)達(dá)到9層以上時(shí)，效果改善程度較不明顯。因此，所以綜合考慮9層梯度折射率聲學(xué)曲面透鏡是一個(gè)較合理的選擇。

圖7 梯度聲速分布離散化對(duì)曲面透鏡的影響

此外，本文還探討了不同頻率的聲波在RineHart曲面透鏡上的傳播效果，計(jì)算了透鏡的寬帶。同樣以魚眼透鏡為例，本文探究了不同頻率的超聲對(duì)魚眼透鏡的影響，圖8(a)、(b)、(c)說(shuō)明了入射聲波在9層模型上頻率分別為35 kHz、70 kHz和105 kHz的聲束傳播軌跡。當(dāng)入射聲波的頻率低于23 kHz時(shí)，聲波波長(zhǎng)不再遠(yuǎn)小于空間特征尺寸，無(wú)法明顯觀測(cè)聲學(xué)透鏡的呈現(xiàn)效果，估算頻率寬帶的下界為23 kHz。當(dāng)入射聲波的頻率高于115 kHz時(shí)，柱面波的波前也不再平滑，聲能量損失過(guò)多，呈現(xiàn)效果低于預(yù)期。依照此思路對(duì)透鏡適用的頻率寬帶上界進(jìn)行了估計(jì)，約為118 kHz左右，驗(yàn)證了其頻率寬帶特性。如果將三維梯度折射率聲學(xué)透鏡應(yīng)用于其他頻率聲波操控中，可以通過(guò)改變透鏡模型幾何尺度或者改變梯度折射率分布的上下界范圍來(lái)實(shí)現(xiàn)。

圖8 Rinehart曲面透鏡在不同頻率下的仿真結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文提出了一種基于電路控制的三維Rinehart曲面聲學(xué)透鏡。通過(guò)電路控制系統(tǒng)與液氮控制器的溫度控制技術(shù)實(shí)現(xiàn)曲面聲學(xué)透鏡上折射率與聲速的梯度分布呈不同規(guī)律時(shí)，可控制透鏡具有不同的聲學(xué)功能效果，為聲學(xué)路徑操控提供了新的方法，仿真實(shí)現(xiàn)了隱身斗篷，呂內(nèi)堡透鏡，魚眼透鏡等功能。此方法不同于以往的基于聲子晶體或聲學(xué)超材料的傳統(tǒng)梯度折射率透鏡，聲學(xué)透鏡結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造難度低，且具有快速可調(diào)換的多功能特性，為多功能聲學(xué)透鏡的設(shè)計(jì)制造提供了新思路。