基于多項式回歸分析的機械臂架系統(tǒng)計算模型構建

朱 奇

ZHU Qi

(湖南工業(yè)職業(yè)技術學院 機械工程學院,長沙 410208)

0 引言

臂架是挖掘機、起重機、混凝土泵車等諸多工程機械裝備中常用的一種重要結構形式[1]。臂架系統(tǒng)的臂架長度、臂架結構重量、臂架靜、動態(tài)總彎矩等主要參數(shù)決定著產(chǎn)品的整機重量、整機穩(wěn)定性及其他主要部件的設計，在超長臂架混凝土泵車、長臂架舉高消防車、長臂架高空作業(yè)平臺等高端裝備的設計開發(fā)中，臂架系統(tǒng)的主要參數(shù)尤為重要。目前此類工程機械產(chǎn)品常規(guī)的設計思路是從臂架系統(tǒng)的詳細設計開始，然后根據(jù)臂架系統(tǒng)的主要參數(shù)確定整機參數(shù)與整機方案，最后進行其他部件的設計。這種方法在產(chǎn)品設計初期，由于臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的未知，會導致總體方案與其他部件方案設計時存在較大的不確定性，后期反復修改的可能性較大；而且在臂架系統(tǒng)設計時不能同時進行其他部件以及液壓與電控方案的設計，使得產(chǎn)品設計開發(fā)周期較長，設計人員工作量較大。其實這些產(chǎn)品在很多企業(yè)都是系列化產(chǎn)品，如果在已有系列化臂架系統(tǒng)數(shù)據(jù)的基礎上，提前預測新臂架系統(tǒng)的參數(shù)，為整機方案及其他部件方案的設計提供依據(jù)和參考，將會大大縮短產(chǎn)品的設計開發(fā)周期。

回歸分析是指一種利用所觀測的數(shù)據(jù)來擬合系統(tǒng)反映系統(tǒng)固有規(guī)律的數(shù)學模型的方法。它尋求存在于兩個（或多個）變量之間的關系，解決或者預測生產(chǎn)、生活等存在的問題和規(guī)律。回歸分析方法廣泛應用于各個領域，在工業(yè)設計中在產(chǎn)品的概念設計階段，特別是在已經(jīng)系列化產(chǎn)品設計中，設計人員如果能根據(jù)已有產(chǎn)品的各種性能參數(shù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學模型，找出系統(tǒng)滿足的固有規(guī)律，然后預測待設計產(chǎn)品的各種性能參數(shù)，對于設計工作有重要的指導意義。多項式回歸分析是研究一個因變量與一個或多個自變量間多項式關系的一種回歸分析方法（polynomial regression）[2]。本文根據(jù)臂架系統(tǒng)的特點使用多項式回歸分析方法建立機械臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的數(shù)學模型，預測臂架系統(tǒng)中臂架長度、臂架重量、臂架靜態(tài)彎矩等參數(shù)的內(nèi)在規(guī)律，并與常規(guī)精確設計方法得到的臂架系統(tǒng)參數(shù)進行對比，驗證模型的可靠性，為工程設計人員進行臂架系統(tǒng)設計、產(chǎn)品總體方案設計、整機性能評估及其他主要部件設計提供參考和依據(jù)。

1 多項式回歸模型的構建

根據(jù)Taylor公式任何函數(shù)f(x)多可展開為一個關于x的多項式，為了簡化計算過程在實際應用中多利用多項式來擬合實驗數(shù)據(jù)[2，3]。從數(shù)據(jù)集中取N個數(shù)據(jù)樣本（xi，yi）（i=1，2，…，N）中擬合k階多項式的回歸觀測值可表示為：

則樣本點i殘差可表示為：

假設resi～N（0，бi）即樣本點i 殘差滿足均值為ц=0 方差б=бi正態(tài)分布且相互獨立，則（res1，res2，...，resn）的聯(lián)合概率密度為：

要使函數(shù)L取最大值，即要求式(2)最小化，由于

當取бi=1進行等權重擬合，最后估計參數(shù)b的矩陣形式可表示為：

其中

殘差平方和可表示為

擬合的標準偏差為：

其中df=n-（k+1）

可根據(jù)式(8)中的sd判斷所得多項的優(yōu)劣。

臂架系統(tǒng)中有臂架長度、臂架重量、臂架靜、動態(tài)彎矩等主要參數(shù)。在工程實際應用中，一般最關心臂架長度與臂架重量、臂架長度與臂架靜態(tài)彎矩的關系，如果要對這些參數(shù)進行回歸分析，必須建立起多變量測量的數(shù)學模型。若已知臂架長度與臂架重量，臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩的若干組數(shù)據(jù)xi，yi（i=0，1，2，...，n）的值，則可以求出多項式的系數(shù)ai（i=0，1，2，...，n），從而可以分別得到近似的表示臂架長度與臂架重量，臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩的多項式表達式：y=f（x）=a0+a1x+a2x2+...+anxn，模型中可以通過增加x的高次項對實測點進行逼近，直至滿意為止。

2 臂架系統(tǒng)多項式回歸分析

本文將根據(jù)某A、B兩公司提供的各種型號臂架數(shù)據(jù)，分別擬合兩公司的臂架長度與臂架結構重量、臂架長度與靜態(tài)總彎矩的數(shù)學模型，并利用所得模型預測新型號混凝土泵車臂架結構重量及靜態(tài)總彎矩，并使用擬合的標準偏差和判定系數(shù)評判數(shù)學模型的最優(yōu)化。

2.1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)組成

混凝土泵車臂架系統(tǒng)主要由臂節(jié)、油缸、連桿、輸送管組成。臂節(jié)是臂架系統(tǒng)的主要部分，一般用高強鋼板焊接而成箱梁式結構，臂架系統(tǒng)從底部向上各節(jié)臂分別命名為1節(jié)臂至第N節(jié)臂，第1節(jié)臂支撐在轉臺上。臂架工作工況是由各節(jié)臂在空間中所處位置確定的，如圖1所示，其俯仰運動由一套舉臂油缸來完成，泵車臂架在工作中所受的載荷主要是外部載荷和自身質量[4]。

圖1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)組成

2.2 混凝土泵車臂架系統(tǒng)主要參數(shù)

表1、表2分別為A、B公司不同型號混凝土泵車臂架長度、臂架結構重量、臂架靜態(tài)彎矩（結構件重量+混凝土重量）的數(shù)據(jù)表。

表1 A公司各型號泵車臂架系統(tǒng)參數(shù)

表2 B公司各型號泵車臂架系統(tǒng)參數(shù)

圖2、圖3分別為兩公司混凝土泵車臂架系統(tǒng)三個主要參數(shù)的變化分布圖，從圖中可以看出，臂架系統(tǒng)的三個主要參數(shù)之間并不滿足典型的線性關系，如果要依據(jù)現(xiàn)有臂架系統(tǒng)主要參數(shù)為參考開發(fā)新產(chǎn)品，需要對各參數(shù)進行數(shù)學建模和擬合分析。

圖2 A公司各型號泵車臂架系統(tǒng)參數(shù)變化

圖3 B公司各型號泵車臂架系統(tǒng)參數(shù)變化

2.3 混凝土泵車臂架系統(tǒng)回歸分析

在origin中分別對兩公司的臂架長度與臂架重量、臂架靜態(tài)總彎矩進行多項式擬合分析和建模。表3為臂架公司臂架長度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩三階多項式擬合表，表中擬合出了前三階函數(shù)。從表中可看出，2階臂架重量函數(shù)標準偏差為280.8546，為三階臂重函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.99605，為階臂重函數(shù)中最高，說明2階臂架重量函數(shù)為臂架長度與臂架重量最佳擬合模型。同樣，2階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)標準偏差為280.8546，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.99605，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最高，說明2階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)為臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩最佳擬合模型。圖4為A公司臂長—臂重關系曲線與二階擬合曲線；圖5為A公司臂長—臂架靜態(tài)總彎矩關系與二階擬合曲線。

圖4 臂長—臂重關系曲線與二階擬合曲線

圖5 臂長—臂架靜態(tài)總彎矩關系與二階擬合曲線

表3 A公司臂架長度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩多項式擬合表

表4為B公司臂架長度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩三階多項式擬合表，表中擬合出了前三階函數(shù)。從表中可看出，3階臂架重量函數(shù)標準偏差為116.15187，為三階臂重函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.9989，為階臂重函數(shù)中最高，說明3階臂架重量函數(shù)為臂架長度與臂架重量最佳擬合模型。同樣，3階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)標準偏差為4168.9138，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.99701，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最高，說明3階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)為臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩最佳擬合模型。圖6為B公司臂長—臂重關系曲線與三階擬合曲線；圖7為B公司臂長—臂架靜態(tài)總彎矩關系與三階擬合曲線。

表4 B公司臂架長度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩多項式擬合表

圖6 臂長—臂重關系曲線與三階擬合曲線

圖7 臂長—臂架靜態(tài)總彎矩關系與三階擬合曲線

從以上擬合方程和擬合曲線可看出，由于A、B兩公司設計理念、臂架結構形式、臂架風格不同，導致兩公司臂架系統(tǒng)擬合方程不同，最佳擬合方程的階數(shù)也不同，但臂架系統(tǒng)擬合曲線趨勢相同非常接近，標準差、判定系數(shù)差別也非常小。

3 實例驗證分析

根據(jù)市場需求，以開發(fā)一款臂架長度45100mm的混凝土泵車新產(chǎn)品為例，使用上述建立的數(shù)學模型根據(jù)給定的臂架長度分別計算預測A、B兩公司臂架重量、臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩等主要參數(shù)，然后與使用精確設計方法得到的臂架系統(tǒng)參數(shù)進行對比分析。

3.1 回歸分析臂架系統(tǒng)參數(shù)

根據(jù)A公司二階臂架系統(tǒng)的臂架重量、臂架靜態(tài)總彎矩數(shù)學模型，使用回歸分析可計算出，當臂架長度為45100mm時，臂架重量為12287kg，臂架靜態(tài)總彎矩為204695kgm。

根據(jù)B公司三階臂架系統(tǒng)的臂架重量、臂架靜態(tài)總彎矩數(shù)學模型，使用回歸分析可計算出，當臂架長度為45100mm時，臂架重量為11020kg，臂架靜態(tài)總彎矩為240667kgm。

從回歸分析的計算數(shù)據(jù)可看出，在臂架長度相同的情況下，B公司臂架結構重量比A公司重量稍輕，但臂架靜態(tài)總彎矩卻比A公司大很多，說明B公司臂架重量主要集中在后面臂節(jié)上。從兩公司產(chǎn)品的實際使用情況來看，A公司臂架系統(tǒng)的設計理念、臂架結構形式更加適應市場需求。

3.2 臂架系統(tǒng)精確設計參數(shù)

臂架系統(tǒng)的精確設計思路是首先在軟件中建立臂架的三維模型，使用動力學分析軟件建立各相鄰臂節(jié)之間鉸點系統(tǒng)的仿真模型，分析臂架在不同工況下臂節(jié)加速度和受力的變化規(guī)律，找出臂架計算需要的邊界條件和決策依據(jù)；然后使用計算軟件從末節(jié)臂架開始進行有限元分析和結構優(yōu)化設計，直到計算完所有臂節(jié)，確定臂架結構；最后從模型中提取相關數(shù)據(jù)進行臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的計算[6～8]。目前，隨著對混凝土泵車臂架系統(tǒng)設計計算及優(yōu)化水平的提高，臂架系統(tǒng)朝輕量化方向發(fā)展。本文使用A公司臂架結構形式進行臂架長度為45100mm的完整臂架系統(tǒng)設計，圖8～圖10所示為臂架系統(tǒng)中1節(jié)臂的計算結果，圖11是完整的臂架系統(tǒng)三維模型，表5是臂架系統(tǒng)參數(shù)表。

圖8 1節(jié)臂臂架應力變化云圖

圖9 1節(jié)臂臂架變形云圖

圖10 1節(jié)臂臂架屈曲模態(tài)圖

表5 臂架系統(tǒng)精確設計參數(shù)表

圖11 混凝土泵車臂架系統(tǒng)三維模型

表5 可看出，按照精確設計流程，臂架長度為45100mm時，臂架總重量為12634kg（每節(jié)臂架重量已包含其他相關部件重量），臂架靜態(tài)總彎矩為208520kg·m。數(shù)據(jù)與A公司回歸分析得出的參數(shù)非常接近，因此利用回歸分析得到的數(shù)學模型是可信的。

4 結語

本文利用臂架系統(tǒng)已有的各種數(shù)據(jù)對臂架長度與臂架重量，臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩進行多項式回歸分析及研究，結果表明：

1）采用多項式回歸數(shù)學模型擬合混凝土泵車臂架系統(tǒng)中的臂架長度與臂架結構重量，臂架長度與靜態(tài)總彎矩是可行的、有效的。從標準偏差分析可以看出，利用二項式回歸分析建立的數(shù)學模型是最優(yōu)的，也就是說臂架長度與臂架結構重量、臂架長度與靜態(tài)總彎矩滿足二次關系。

2）采用多項式回歸數(shù)學模型，預測臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的變化趨勢，可以為混凝土泵車新產(chǎn)品的開發(fā)提供重要依據(jù)，也可以為具有類似臂架結構的高端裝備的開發(fā)研究提供科學準確參考。