陳鈺庭，唐嘉豪，孫嵩松

（210037 江蘇省 南京市 南京林業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院）

0 引言

隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及生活水平的提升，汽車已經(jīng)逐漸成為目前國內(nèi)數(shù)量最多、最普及、活動范圍最廣、運(yùn)輸量最大的現(xiàn)代化交通工具，也是與人類社會的發(fā)展最息息相關(guān)的交通工具[1-5]。作為汽車的“心臟”部位，發(fā)動機(jī)零部件可靠性的優(yōu)劣，直接影響著汽車的正常運(yùn)行與否。在目前的實(shí)際工程中，曲軸等大型汽車零部件的疲勞特性主要是通過疲勞試驗(yàn)法獲取，該類方法往往通過對零部件在不同載荷水平下的疲勞壽命進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而獲得零部件在給定服役壽命要求下的疲勞強(qiáng)度分布特性?；赟AFL 法處理疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，高鎮(zhèn)同[6-7]等詳細(xì)論述了疲勞試驗(yàn)的基本概念、定義和公式；周迅[8-9]、李舜酷[10]論述了曲軸疲勞試驗(yàn)方法的原理、特點(diǎn)并介紹失效數(shù)據(jù)的處理[8-10]；陳曉平[11]等利用極大似然法測定曲軸疲勞性能。但是應(yīng)用該方法在對大型零部件進(jìn)行疲勞試驗(yàn)時(shí)，由于傳統(tǒng)的QCI 通常由材料自身的抗拉強(qiáng)度和斷面收縮率計(jì)算獲取，而對于絕大多數(shù)零部件，這兩個(gè)參數(shù)都會因?yàn)槌叽缃Y(jié)構(gòu)、表面處理工藝等因素產(chǎn)生變化，因此直接采用材料的參數(shù)來計(jì)算零部件的QCI 點(diǎn)存在一定的不合理性。

針對上述不足，已有學(xué)者對傳統(tǒng)的零部件SAFL 疲勞試驗(yàn)方法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種新的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法[12]，對曲軸等零部件的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，獲得其在給定疲勞極限下的強(qiáng)度。本文基于改進(jìn)的SALF 法，進(jìn)行了疲勞試驗(yàn)在N0=107疲勞壽命下疲勞極限的正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布3 種分布形式下曲軸疲勞失效數(shù)據(jù)的分析，得到更符合工程實(shí)際的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。對比研究結(jié)果表明，相對于正態(tài)分布以及對數(shù)正態(tài)分布模型，采用三參數(shù)的威布爾分布得到的強(qiáng)度分布結(jié)果更符合工程實(shí)際的需求，具有更廣泛的實(shí)用價(jià)值。

1 曲軸疲勞極限分析

傳統(tǒng)工程應(yīng)用中一般利用疲勞極限統(tǒng)計(jì)分析法（SAFL-Statistical Analysis for Fatigue Limit）對曲軸的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，該方法的理論基礎(chǔ)為：將試件所受載荷及在此載荷下的壽命繪制在雙對數(shù)坐標(biāo)之中，兩者呈線性關(guān)系，且在存在一個(gè)符合這一lgS-lgN 線性關(guān)系的1/4 次循環(huán)斷裂點(diǎn)A（即QCI 點(diǎn)）[13]，原理如圖1 所示。

圖1 應(yīng)力-壽命在雙對數(shù)坐標(biāo)上的關(guān)系Fig.1 Relation between stress and life in couple log coordinate

如圖1 所示，設(shè)第i 號試件在載荷Si的作用下試驗(yàn)至Ni次時(shí)發(fā)生斷裂，將這一點(diǎn)表示在lgS-lgN 坐標(biāo)上為Bi點(diǎn)，連接QCI 點(diǎn)與Bi點(diǎn)，并延長至給定壽命的垂線N=N0（N0=107），交于Ci點(diǎn)，該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為用第i 個(gè)試件測得的母體疲勞極限估計(jì)值FSi，可由式（1）、式（2）確定：

式中：σb——抗拉極限；ψ——斷面收縮率。

實(shí)際工程中獲得抗拉極限和斷面收縮率這兩個(gè)參數(shù)的方式一般是通過對所選材料的標(biāo)準(zhǔn)試棒進(jìn)行拉伸試驗(yàn)獲得，但對于曲軸而言，其拉極限和斷面收縮率會隨著表面熱處理等加工工藝而發(fā)生變化，整體硬度和脆性都增大，導(dǎo)致使用標(biāo)準(zhǔn)試棒測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來計(jì)算曲軸QCI 點(diǎn)的應(yīng)力值時(shí)發(fā)生偏差，使得結(jié)果具有不合理性，因此采用上述方法對某曲軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，試驗(yàn)得到的QCI 點(diǎn)的疲勞壽命數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于理論QCI 對應(yīng)的壽命值。針對這一不足，一些研究者提出了一種改進(jìn)后的SAFL 法[12]。該方法主要分為兩步：（1）采用最小二乘法對已有的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以找出試件應(yīng)力值與壽命之間的對數(shù)線性關(guān)系；（2）根據(jù)擬合所得到的線性關(guān)系，選取某一低周疲勞壽命作為測定數(shù)據(jù)標(biāo)出QCI 點(diǎn)，將QCI 點(diǎn)依次連接試驗(yàn)點(diǎn)并延長至該垂線，得到若干交點(diǎn)，取其縱坐標(biāo)得到高周疲勞區(qū)曲軸應(yīng)力分布情況。計(jì)算公式為

式中：FSi，Ni，Si——用第i 個(gè)試件，測得的母體疲勞極限的一個(gè)估計(jì)值、載荷及疲勞壽命；SA——QCI 點(diǎn)的應(yīng)力值；NA——該應(yīng)力下構(gòu)件的疲勞壽命值。

2 不同分布方法對比研究

基于改進(jìn)的SALF 法[12]，借由參考文獻(xiàn)[13]提供的曲軸疲勞壽命實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到在N0=107下的疲勞極限。接著，對其進(jìn)行正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布這幾種形式下曲軸疲勞失效數(shù)據(jù)的分析。

表1 某曲軸疲勞壽命Tab.1 Fatigue limit of crankshaft

2.1 正態(tài)分布模型的統(tǒng)計(jì)回歸

在正態(tài)分布模型中，要將問題化為線性回歸問題，對試驗(yàn)數(shù)據(jù)做如下變換：

用變換后的xi和yi進(jìn)行最小方差擬合，得線性方程式

接著可以得到正態(tài)分布的均值和方差的估計(jì)值分別為

2.2 對數(shù)正態(tài)分布模型的統(tǒng)計(jì)回歸

與正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化方式類似，對數(shù)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)回歸首先要將疲勞極限的估計(jì)值取對數(shù)，再將問題化為線性回歸問題

對所得xi和yi擬合，得到線性方程(6)，進(jìn)而特征參數(shù)的估計(jì)值分別為

2.3 威布爾分布模型的統(tǒng)計(jì)回歸

三參數(shù)威布爾分布的函數(shù)表達(dá)為

由式（13）可以看出，威布爾分布需要對3個(gè)參數(shù)，即尺度參數(shù)η，形狀參數(shù)β和位置參數(shù)γ進(jìn)行估計(jì)，屬于非線性的曲線回歸問題。對于這種情況，可以應(yīng)用搜索尋優(yōu)的方法來計(jì)算γ的值，通過迭代法求解參數(shù)的估計(jì)值，在單次迭代中，問題就轉(zhuǎn)化為線性回歸問題。設(shè)在第1 次迭代中，位置參數(shù)的取值為

對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性化轉(zhuǎn)換為

迭代計(jì)算的實(shí)質(zhì)是獲得一個(gè)合適的γ估計(jì)值以實(shí)現(xiàn)對線性方程的最佳回歸。經(jīng)過比較后發(fā)現(xiàn)，采用單形調(diào)優(yōu)法（Nelder-Mead Method)得到的γ值效果更加理想，它可以用很短的計(jì)算時(shí)間獲得高精度的估計(jì)值。

在迭代結(jié)束之后，γ的估計(jì)值直接得到，根據(jù)最后一次迭代中的線性回歸結(jié)果，分別有

均值和方差分別為

式中：Г——伽瑪分布函數(shù)。

3 實(shí)際數(shù)據(jù)分析

表2 為曲軸彎曲疲勞試驗(yàn)極限彎矩分別在正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布下的統(tǒng)計(jì)回歸結(jié)果。對比3 種分布模型，從統(tǒng)計(jì)回歸的相關(guān)性上看，3 種分布方式都可以滿足誤差小于5%的精度要求。但從概率分布的合理性來看，正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布在載荷為零時(shí)失效概率都不為零，這顯然是與實(shí)際情況不相符的。而威布爾分布相比于前兩者能夠得出相對合理的零失效概率的疲勞極限點(diǎn)，更好地描述曲軸失效概率的分布情況。因此，綜合上述對比情況來看，用威布爾分布作為曲軸的疲勞失效數(shù)據(jù)的分析模型較正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布更為合理。

表2 3 種分布模型的統(tǒng)計(jì)回歸結(jié)果Tab.2 Statistical regression results of three distribution models

4 結(jié)論

本文基于改進(jìn)的SAFL 法，得到對某曲軸給定壽命下的疲勞極限，并進(jìn)行正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布3 種形式下曲軸疲勞失效數(shù)據(jù)的分析。結(jié)果表明，以威布爾分布作為處理曲軸疲勞壽命模型，其在統(tǒng)計(jì)的相關(guān)性和0 失效概率上都是相對合理的。