封濤
我們常說,數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活,它可以幫助我們解決生活中的許多問題。其中,軸對(duì)稱在生活中隨處可見,也是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。它不僅能帶來美的享受,而且有很多妙用。
一、剪紙
剪紙是中國(guó)最古老的民間藝術(shù)之一,在民間流傳極廣。將一個(gè)四邊形紙片依次按圖1、圖2的方式對(duì)折,然后沿圖3中的虛線裁剪成圖4樣式。將紙片展開鋪平,得到的圖形是( ? ?)。
對(duì)于此類剪紙問題,我們只要?jiǎng)邮植僮?,答案就?huì)很直觀地呈現(xiàn);如果不方便動(dòng)手操作,也可以將裁減順序反向思考,結(jié)合軸對(duì)稱知識(shí),畫出鏤空部分在原圖形中的對(duì)稱圖案即可。故選A。
二、折紙
折紙,即將一張完整的紙用折疊的方法折成各種人物、動(dòng)物或草木形態(tài),因?yàn)榉奖恪⒂腥?、燒腦,受到很多人的喜愛。折紙不僅具有藝術(shù)審美價(jià)值,還蘊(yùn)含數(shù)學(xué)運(yùn)算和空間幾何原理,包括軸對(duì)稱的知識(shí)。
張萌和小平兩人打算各用一張正方形的紙片折出一個(gè)等邊三角形,折法如下。張萌:如圖5,將紙片ABCD對(duì)折得到折痕EF,沿點(diǎn)B翻折紙片,使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)M處,連接CM,則△BCM即為所求;小平:如圖6,將紙片對(duì)折得到折痕EF,沿點(diǎn)B翻折紙片,使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)M處,連接BM,則△BCM即為所求。對(duì)于兩人的折法,正確嗎?
以張萌的折紙為例,由操作可知,△ABN≌△MBN,得AB=BM=BC,因?yàn)镋F垂直平分BC,可知BM=MC,三邊相等的三角形是等邊三角形。或者BM=2BF,在一個(gè)直角三角形中,如果斜邊是直角邊的兩倍,那么這條直角邊所對(duì)的銳角是30°,再推出∠MBF=60°,有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
三、臺(tái)球路徑
如圖7,在一個(gè)規(guī)格為4×8的球臺(tái)上,有兩個(gè)小球P和Q。若擊打小球P,經(jīng)球臺(tái)的邊AB反彈后恰好擊中小球Q,則小球P擊出時(shí),應(yīng)瞄準(zhǔn)AB邊上的( )。
A.點(diǎn)O1 B.點(diǎn)O2 C.點(diǎn)O3 D.點(diǎn)O4
如圖8,由物理學(xué)中鏡面反射原理(反射角等于入射角),再結(jié)合數(shù)學(xué)中軸對(duì)稱的性質(zhì),可知小球P擊出時(shí),應(yīng)瞄準(zhǔn)AB邊上的點(diǎn)O2。
四、最短距離
生活中常常會(huì)有尋找最短距離的問題,這些問題通常也可以通過軸對(duì)稱知識(shí)來解決。
如圖9,牧童在A處放牛,其家在B處,旁邊有一條小河,若牧童從A處將牛牽到河邊飲水后再回家,試問牛在何處飲水,牧童所走路程最短?
對(duì)于這類問題,我們可以通過軸對(duì)稱的知識(shí)來解決。先作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A′,然后連接A′B,A′B與河岸的交點(diǎn)P即為飲水處,如圖10。
同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn),解決“臺(tái)球路徑”問題和“最短距離”問題,運(yùn)用的方法是一致的?只是一個(gè)是從“角”的角度分析,另一個(gè)是從“邊”的角度解決。這是我們研究幾何的兩個(gè)重要角度,大家一定要銘記于心。
(作者單位:蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué))