尹力,王文龍
摘要:構(gòu)建一類合成毒品濫用者接受治療前后的傳染性模型.研究表明:當(dāng)R0<1時,時滯τ不影響無合成毒品濫用平衡點E0的穩(wěn)定性;當(dāng)R0>1時,合成毒品傳播平衡點E*產(chǎn)生純虛根條件.數(shù)值模擬驗證了此結(jié)論.
關(guān)鍵詞:合成毒品;時滯;穩(wěn)定性;純虛根
[中圖分類號]O175[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A
Dynamic Analysis of a Class of Synthetic Drug Propagation Model
YIN Li,WANG Wenlong
(College of Science,Northeast Forestry University,Harbin 150000,China)
Abstract:To model a class of synthetic drug abusers as infectious before and after treatment,Studies have shown that whenR0<1,the time delay τ does not affect the stability of equilibrium point E0 without synthetic drug abuse,and whenR0>1,the conditions for the production of pure imaginary roots of equilibrium point E* with synthetic drug propagation,The results are verified by numerical simulation.
Key words: synthetic drug;delay;stability;pure virtual root
毒品濫用狀況直接損害人類的身心健康.[1]自20世紀(jì)以來,國際上的毒品濫用狀況日漸嚴(yán)重,合成毒品逐漸滲入我國.[2]許多學(xué)者對傳統(tǒng)麻醉毒品模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究.2007年,White及Comiskey[3]建立了海洛因上癮傳染病模型.2011年,Samanta[4]等人建立了分布時滯的毒品模型.2013年,張玲和夏米西努爾[5]建立了隨機(jī)海洛因毒品傳播模型.2017年,李玉基和徐瑞[6]研究了一類具有分布時滯和飽和發(fā)生率的海洛因毒品傳播模型.劉朋燕[7]探究了一類考慮復(fù)吸的合成毒品傳播模型.
本文假設(shè)處于戒毒治療階段的合成毒品濫用者對易感者不具有傳染性,有吸毒史的易感者只有與合成毒品濫用者接觸才會發(fā)生復(fù)吸現(xiàn)象.為探究時間因素對復(fù)吸的影響,文中考慮接受治療合成毒品濫用者轉(zhuǎn)化成沒有接受治療合成毒品濫用者所需的時間,對劉朋燕[7]的模型添加時滯τ,得到如下模型:
S·=Λ-β1SI-μS
Q·=εI+δR-μQ-β2QI
I·=β1SI+β2QI+σR(t-τ)-b1I
R·=γI-b2R.(1)
其中,b1=ε+γ+μ,b2=δ+σ+μ.本文將分析轉(zhuǎn)化時間τ對系統(tǒng)的影響.
1平衡點的存在性
定義基本再生數(shù)為R0=b2β1Λμ(b1b2-γσ),則系統(tǒng)(1)始終存在無合成毒品濫用平衡點
E0=Λμ,0,0,0;若R0>1,系統(tǒng)(1)存在合成毒品傳播平衡點
E*=(S*,Q*,I*,R*)
其中,S*=Λβ1I*+μ,Q*=b2ε+δγb2(μ+β2I*)I*,R*=γb2I*,I*是存在且唯一的.
2平衡點穩(wěn)定性分析
2.1系統(tǒng)(1)在平衡點E0=Λμ,0,0,0的穩(wěn)定性
系統(tǒng)(1)在E0處線性化系統(tǒng)的特征方程為
(λ+μ)2λ2+b1+b2-β1Λμλ+b1b2-β1Λμb2-γσe-λτ=0.(2)
定理1如果R0<1,則對任意的τ≥0,系統(tǒng)(1)的平衡點E0=Λμ,0,0,0漸近穩(wěn)定.
證明將λ=iω0(ω0>0)代入特征方程(2)中解得:
ω0=12-β1Λμ-b12+b22+β1Λμ-b12+b222-4b1b2-β1Λμb22-γ2σ212
如果R0<1,則b1b2-β1Λμb2>γσ,從而特征方程(2)無純虛根,由參考文獻(xiàn)[8]可知,當(dāng)τ≥0時,方程(2)所有的根都具有負(fù)實部,即平衡點E0漸近穩(wěn)定,證畢.
2.2系統(tǒng)(1)在平衡點E*=(S*,Q*,I*,R*)的穩(wěn)定性
系統(tǒng)(1)在E*處線性化系統(tǒng)的特征方程為:
λ4+d3λ3+d2λ2+d1λ+d0+d4e-λτ=0.(3)
其中,A11=γσ,A12=γσA+γσB,A13=γσAB,A=β1I*+μ,B=μ+β2I*,C=β2I*γδ,
D=β2I*εb2,d0=ABb2b1-b2β1ΛB-2AC-2AD+Aβ2I*(C+D)B+β21I*ΛBb2A,
d1=Ab2b1-β1Λb2-A(C+D)B+ABb2+ABb1-β1ΛB-A(C+D)b2+Aβ2I*(C+D)b2B-Aβ2I*ε-
Bb2b1-β1ΛBb2A-2C-2D+β2I*(C+D)B+β21I*ΛBA+β21I*Λb2A,
d2=Ab2+Ab1-β1Λ-A(C+D)b2B+AB+b2b1-β1Λb2A-C+DB+Bb2+Bb1-β1ΛBA-C+Db2+
β2I*(C+D)b2B-β2I*ε+β22I*ΛA,
d3=A+B-C+Db2B-β1ΛA+b2+b1,
d4=-A11λ2+A12λ+A13.
將λ=iω0(ω0>0)代入特征方程(3)中:
Z4+f3X3+f2Z2+f1Z+f0=0.(4)
其中,Z=ω20;f3=d23-2d2;f2=d22+2d0-2d1d3-A211;f1=d21-2d0d2-A212+2A11A13;
f0=d20-A213.
運(yùn)用四次方程式的零點分布理論,得到以下結(jié)論:
引理1如果f0<0,則方程(4)至少有一個正根.
證明設(shè)F(Z)=Z4+f3Z3+f2Z2+f1Z+f0,f(0)=f0<0,并且limZ→∞f(Z)=∞,所以,存在Z0∈(0,∞),使得F(Z0)=0.
證畢.
引理2[9]假設(shè)f0≥0,
(1)如果G≥0,則方程(4)有正根,當(dāng)且僅當(dāng)Z1>0且F(Z1)<0;
(2)如果G<0,則方程(4)有正根,當(dāng)且僅當(dāng)至少存在一個Z*∈Z1,Z2,Z3,使Z*>0且F(Z*)≤0.
定理2(1)若R0>1且滿足引理1或引理2,則
a.當(dāng)τ=τj時,特征方程(3)存在一對純虛根±iω0,其中
τ0=1ω0arcsinA12ω0ω40-d2ω20+d0-d1ω0-d3ω30A13-A11ω20A212ω20+A11ω20+A132,
τj=1ω0ω0τ0+2jπ,j=1,2….
b.當(dāng)τ∈0,τ0時,系統(tǒng)(1)的平衡點E*(S*,Q*,I*,R*)局部漸近穩(wěn)定.
(2)如果不滿足引理1和引理2,那么方程(3)所有的根,當(dāng)τ≥0都具有負(fù)實部,平衡點E*(S*,Q*,I*,R*)全局漸近穩(wěn)定.
證明(1)a.由引理1和2可知,方程(3)至少存在一個正實根,那么對于方程(4)來說,當(dāng)F(Z0)≠0時,存在正根ω0=Z使得方程(3)有一對純虛根±iω0,得到時滯臨界點
τ0=1ω0arcsinA12ω0ω40-d2ω20+d0-d1ω0-d3ω30A13-A11ω20A212ω20+A11ω20+A132,
τj=1ω0ω0τ0+2jπ,j=1,2….
b.若假設(shè)成立,當(dāng)τ∈0,τ0,滿足引理1和引理2中的任意一個條件時,方程(4)有正實根,從而方程(3)有一對純虛根,平衡點E*(S*,Q*,I*,R*)局部漸近穩(wěn)定.
(2)如果不滿足引理1和引理2的條件,由參考文獻(xiàn)[9]的定理2.3可知,當(dāng)τ≥0,方程(3)都具有負(fù)實部,平衡點E*(S*,Q*,I*,R*)全局漸近穩(wěn)定.
證畢.
3數(shù)值模擬給出模型(1)的數(shù)值模擬,驗證結(jié)論.
由定理1可知,當(dāng)R0<1時,對于τ≥0,平衡點E0漸近穩(wěn)定.
取Λ=1,β1=0.01,μ=0.025,ε=0.01,
δ=0.9,β2=0.01,σ=0.000 02,γ=0.8,計算可得:R0=0.479 052,Λμ,0,0,0=(40,0,0,0),取初值為(1,0,0,0),取時間范圍[0,400],取
τ=0.3時,E0Λμ,0,0,0漸近穩(wěn)定,見圖1.
由引理2和定理2可知,若f0≥0,G≥0,當(dāng)且僅當(dāng)Z1>0且F(Z1)<0,平衡點E*(S*,Q*,I*,R*)局部漸近穩(wěn)定.
取Λ=1.2,β1=0.82,μ=0.025,ε=0.5,δ=0.9,β2=0.74,σ=0.000 02,γ=0.7,計算得:R0=32.131 009,f0=295.457 213,G=9.030 268,Z1=4 454.155 426,τ0=59.275,F(xiàn)(Z1)=-573 368 486 819 321,(S*,Q*,I*,R*)=(0.055 401,1.593 995,26.384 436,19.966 168)取初值為(2,0,0,0),取時間范圍為[0,400],取τ=5∈0,τ0時,平衡點E*(S*,Q*,I*,R*)局部漸近穩(wěn)定,見圖2.
由定理2可知,如果不滿足引理1和引理2,那么方程(3)所有的根,當(dāng)τ≥0都具有負(fù)實部,平衡點E*(S*,Q*,I*,R*)全局漸近穩(wěn)定.
取Λ=1.2,β1=0.01,μ=0.020 1,ε=0.001,δ=0.9,β2=0.001,σ=0.810 02,γ=0.99,通過計算可得:R0=1.090 25,f0=0.000 000 026 093,G=-0.037 7,Z1=-1.439 88,Z2=-3.972 748,F(xiàn)(Z1)=-4.632 551,F(xiàn)(Z2)=-52.823 798,Z3=-1.807 691,F(xiàn)(Z3)=-7.255 297,(S*,Q*,I*,R*)=(9.581,177.5,10.51,6.012)取初值為(2,2,0,0),取時間范圍為[0,800],取τ=20時,平衡點E*(S*,Q*,I*,R*)全局漸近穩(wěn)定,見圖3.
4結(jié)論
考慮合成毒品對人體的危害及復(fù)吸發(fā)生可能性的增加,構(gòu)建一類合成毒品濫用者接受治療
前后的傳染性模型.通過對系統(tǒng)的分析,分別給出無合成毒品濫用和合成毒品濫用平衡點的漸近穩(wěn)定和局部漸近穩(wěn)定的條件,模擬驗證了所得結(jié)論.從基本再生數(shù)的表達(dá)式中也可以看出,感染率會影響毒品濫用人數(shù),其數(shù)值越小,合成毒品濫用人數(shù)越少,有吸毒史但已經(jīng)戒毒的人數(shù)就會越多.因此,應(yīng)多鼓勵合成毒品濫用者接受治療,提高治療率,關(guān)注戒毒人員的心理狀態(tài),引導(dǎo)其健康的生活方式,防止復(fù)吸現(xiàn)象的發(fā)生.
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編輯:琳莉