楊 悅，杜奕秋

(吉林師范大學(xué) 研究生院,吉林 長(zhǎng)春 130000)

1976年,Herstein I N[1]提出了如果R是2-扭自由素環(huán),d為環(huán)上的導(dǎo)子,對(duì)于R中任意的x,y,若滿足[d(x),d(y)]=0,則R為交換環(huán).1991年,Brear[2]提出了更具一般性的導(dǎo)子的概念.豐富了環(huán)上導(dǎo)子的相關(guān)研究成果.受Brear的啟發(fā),(θ,φ)-導(dǎo)子、(θ,θ)-導(dǎo)子等衍生導(dǎo)子相繼出現(xiàn).

在本文中R是結(jié)合環(huán),在環(huán)R中,所有與R的全體元素可交換的元素的集合,稱為環(huán)R的中心,記為Z(R).設(shè)R是素環(huán),如果對(duì)于aRb=0,有a=0或b=0,a,b∈R,則稱R為素環(huán).設(shè)R是結(jié)合環(huán),若aRa=0,a∈R有a=0,則R是半素環(huán).設(shè)R是結(jié)合環(huán),d是R到R的加性映射,若對(duì)任意的x,y∈R都有d(xy)=d(x)y+xd(y),則d是R上的導(dǎo)子.若環(huán)R的可加子群U,滿足[u,r]∈U,u∈U,r∈R,則稱U為環(huán)R的Lie理想.若環(huán)R的可加子群J,滿足u°r∈U,u∈J,r∈R,則稱J為環(huán)R的Jordan理想.設(shè)F是環(huán)R上的可加映射,若存在R上的導(dǎo)子d,使得對(duì)任意的x,y∈R,均有F(xy)=F(x)y+xd(y),則稱可加映射F為R上的廣義導(dǎo)子,d為R上的伴隨導(dǎo)子.?x,y∈R有x°y=xy+yx,[x,y]=xy-yx.設(shè)R是環(huán),若映射φ：R→R滿足：(i)φ(a)?R,a∈R,(ii)φ(a+b)=φ(a)+φ(b),a,b∈R,(iii)φ(ab)=φ(a)φ(b),a,b∈R,則稱φ是R的自同構(gòu).令θ，φ是環(huán)R的自同態(tài)映射,若滿足d(xy)=d(x)θ(y)+φ(x)d(y),任意的x,y∈R,則可加映射成為(θ，φ)-導(dǎo)子.若(θ，φ)-導(dǎo)子存在的情況下,滿足F(x,y)=F(x)θ(y)+φ(x)d(y),d:R→R,任意x,y∈R,可稱可加映射F:R→R為廣義(θ，φ)-導(dǎo)子.設(shè)R是結(jié)合環(huán),δ:R→R是加性映射,θ是R上的自同構(gòu).若存在R上導(dǎo)子δ,對(duì)任意的x,y∈R,都滿足δ(xy)=θ(x)δ(y)+θ(y)δ(x),則稱δ為R上的左(θ,θ)-導(dǎo)子.設(shè)R是結(jié)合環(huán),δ:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同構(gòu).若存在R上導(dǎo)子δ,對(duì)任意的x,y∈R,都滿足δ(xy)=θ(x)δ(y)+φ(y)δ(x),則稱δ為R上的左(θ,φ)-導(dǎo)子.

已有一些相關(guān)學(xué)者[3]證明了素環(huán)或半素環(huán)的交換性定理,并且這些素環(huán)和半素環(huán)在對(duì)應(yīng)的R子集上導(dǎo)子是中心化的或可交換的.在特征不為二的情況下,Oukhtite[4]等人證明了具有對(duì)合環(huán)的Posner[5]第二定理：設(shè)R是2-扭自由*-素環(huán),U是R的平方封閉*-Lie理想,若R的非零導(dǎo)子d,d以U為中心,則U?Z.最近,學(xué)者推廣到Jordan理想的廣義導(dǎo)子,得到了Jordan理想的廣義導(dǎo)子的交換性的結(jié)果.在本文中,將上面的結(jié)論再推廣到σ-素環(huán)上,研究廣義導(dǎo)子在σ-素環(huán)上的性質(zhì).

1 主要結(jié)果

引理1[6]設(shè)R是σ-素環(huán),I是R的非零σ-理想,若a,b在R上滿足aIb=0=aIσ(b)=0,則a=0或b=0.

引理2 設(shè)I是R的非零σ-理想,d是R的導(dǎo)子且d≠0,d與σ可交換,若[x,a]Id(x)=0,則a=0或b=0.

定理1 設(shè)R是2-扭自由σ-素環(huán),I是R的非零σ-理想,設(shè)F,G是R上的廣義導(dǎo)子,d,g是它們的伴隨導(dǎo)子,且與σ可交換,若F(x°y)=F(x)°y-d(y)°x,x,y∈I,則R是可交換的.

證明由題設(shè)有

F(x°y)=F(x)°y-d(y)°x,x,y∈I，

(1)

在(1)式用yx替換y得到

F(x°yx)=F(x)°yx-d(yx)°x,x,y∈I，

則有

F(x°y)x+(x°y)d(x)=(F(x)°y)x-y[F(x),x]-(d(y)°x)x-y(d(x)°x)+[y,x]d(x)，

在(1)右乘x得到

F(x°y)x=(F(x)°y)x-(d(y)°x)x,x,y∈I，

將上面作差可得

(x°y)d(x)=-y[F(x),x]-y(d(x)°x)+[y,x]d(x),x,y∈I，

(2)

用ry替換y得到

(x°ry)d(x)=-ry[F(x),x]-ry(d(x)°x)+[ry,x]d(x),x,y∈I，

即

r(x°y)d(x)+[x,r]yd(x)=-ry[F(x),x]-ry(d(x)°x)+r[y,x]d(x)+[r,x]yd(x),

r∈R,x,y∈I.

在(2)式左乘r

r(x°y)d(x)=-ry[F(x),x]-ry(d(x)°x)+r[y,x]d(x),x,y∈I,

作差得到

2[x,r]yd(x)=0,r∈R,x,y∈I.

因?yàn)镽是2-扭自由的,所以

[x,r]yd(x)=0,r∈R,x,y∈I,

[x,r]Id(x)=0,r∈R,x∈I.

因?yàn)镮是σ-理想且gσ=σg,y∈I∩Saσ(R),由引理2得到

[x,r]=0或d(x)=0,x∈I,

由已知可得

x+σ(x)∈Saσ(R)∩I,x∈I,

則[x+σ(x),r]=0或d(x+σ(x))=0,r∈Rx∈I.

因此得出[x,r]=0或d(x)=0,r∈Rx∈I.

現(xiàn)在對(duì)兩種情況進(jìn)行討論.

(i)顯然[x+σ(x),r]=0,且x-σ(x)∈Saσ(R)∩I,可得

[x-σ(x),r]=0或d(x-σ(x))=0,r∈Rx∈I,

若[x-σ(x),r]=0,則有

0=[x-σ(x),r]+[x+σ(x),r]=2[x,r]=0,

因?yàn)镽是2-扭自由的,即[x,r]=0,r∈Rx∈I,若d(x-σ(x))=0,r∈R,則

d(x)=d(σ(x))=σ(d(y)),

由引理2可證得[x,r]=0或d(x)=0.

(ii)若d(x+σ(x))=0,x∈I,則d(x)=-d(σ(x))=-σ(d(x)),并且有

[x,r]Id(x)=0=[x,r]Iσ(d(x)),r∈Rx∈I.

由引理2可得[x,r]=0或d(x)=0,r∈Rx∈I.

若d(x)=0,則

xd(r)=0,r∈Rx∈I,

即

Id(r)=IRd(r)=0=σ(I)Rd(r)=0,r∈R.

因?yàn)镮≠0,R是σ-素環(huán),得出

d(R)=0,

即d=0,與題意矛盾.

下面設(shè)[x,r]=0,有

0=[sx,r]=[s,r]x=[s,r]I=[s,r]RI=[s,r]Rσ(I)=0,r∈R,

因?yàn)镮≠0,R是σ-素環(huán),得出[s,r]=0,r,s∈R.

因此R是可交換的.

2 結(jié)語(yǔ)

在一些學(xué)者對(duì)環(huán)上導(dǎo)子相關(guān)研究成果的基礎(chǔ)上,沿著素環(huán),*-素環(huán)方向繼續(xù)推廣到了σ -素環(huán)上,對(duì)其廣義導(dǎo)子性質(zhì)進(jìn)行探究,從而得到了更為有意義的結(jié)果.并完善了σ -素環(huán)上更為廣泛性的結(jié)論.