基于多項(xiàng)式擬合法的位場(chǎng)分離研究

李小娜

(成都理工大學(xué) 地球物理學(xué)院，成都 610059)

0 引言

重力異常是地下地質(zhì)體不均勻的密度分布的綜合反映。在需要解決所存在的地質(zhì)問(wèn)題時(shí)，人們總是希望能夠得到目標(biāo)地質(zhì)體的重力異常，從而進(jìn)行反演解釋?zhuān)?jì)算出地質(zhì)信息的目標(biāo)密度，這種從已知的重力異常中獲取目標(biāo)地質(zhì)體重力異常的過(guò)程通常稱(chēng)為重力異常分離(即位場(chǎng)分離)。在礦產(chǎn)資源勘查中，重力勘探是不可缺少的重要方法，人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐中已經(jīng)證明，數(shù)據(jù)處理是重力勘探中重要的環(huán)節(jié)之一，重力異常位場(chǎng)分離技術(shù)是重力異常數(shù)據(jù)處理中的一項(xiàng)重要工作。地下不同深度、不同形態(tài)、不同規(guī)模以及不同物性大小的地質(zhì)體引起的重力異常的“疊加”就是空間分布的重力異常，是一種體積效應(yīng)，其中包含了很多很寶貴的信息，若能從觀測(cè)數(shù)據(jù)中將目標(biāo)地質(zhì)體從重力異常中分離出來(lái)，就可以更進(jìn)一步地研究其地質(zhì)含義，較好地進(jìn)行重力異常解釋和反演。

目前重力異常的處理方法已由手動(dòng)轉(zhuǎn)變發(fā)展為自動(dòng)，且方法眾多。此處我們主要討論不改變剛量的分離方法(波數(shù)域[1]和空間域)—空間域法。被廣泛應(yīng)用的空間域方法包括平均場(chǎng)值法[2]、圓周法[3]、趨勢(shì)分析法[4]、插值法[5]等。平均場(chǎng)法是在一定剖面上或一定面積內(nèi)的重力異常可看做是線(xiàn)性變化的，其平均重力異常值可以看做是這一剖面或者平面中心點(diǎn)的區(qū)域異常值，這時(shí)對(duì)于局部異常來(lái)說(shuō)，它的范圍應(yīng)該小于或者等于所求的平均異常時(shí)所選用的范圍[6]。需要指出的是平均場(chǎng)法在應(yīng)用中會(huì)帶來(lái)“虛假異常”的問(wèn)題，人工用圖解法勾繪區(qū)域異常時(shí)，就可以避免這一問(wèn)題。最小二乘法是在一定長(zhǎng)度內(nèi)(剖面上)或一定面積內(nèi)(平面上)的重力異常圖中，一般將區(qū)域場(chǎng)看作是按照線(xiàn)性關(guān)系發(fā)生變化的，這時(shí)根據(jù)偏差平方和最小求出待定系數(shù)，就可得到區(qū)域場(chǎng)異常[7]。最小二乘法在運(yùn)行中速度快、簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，但是對(duì)于數(shù)據(jù)點(diǎn)多、復(fù)雜的多變量高次曲線(xiàn)，此方法使用的很少。插值法實(shí)質(zhì)是用受局部場(chǎng)干擾很小或完全不受局部場(chǎng)干擾的測(cè)點(diǎn)(稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn))上的場(chǎng)值來(lái)構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)，然后用這個(gè)插值函數(shù)來(lái)計(jì)算受到干擾地段的區(qū)域場(chǎng)值[8]。最后實(shí)測(cè)值與所求得的區(qū)域場(chǎng)值的差，即為局部場(chǎng)值。目前插值函數(shù)種類(lèi)繁多，近年來(lái)所提出的切割插值法具有劃分精度高、畸變小和處理速度快的優(yōu)點(diǎn)[9-10],但是在具體應(yīng)用時(shí)需要對(duì)局部場(chǎng)進(jìn)行定量，且具體深度會(huì)產(chǎn)生一定的誤差[11]。多項(xiàng)式擬合法(趨勢(shì)分析法)是目前重力資料數(shù)據(jù)處理中常用的方法，當(dāng)參數(shù)選擇恰當(dāng)時(shí)可以獲得比較理想的位場(chǎng)分離效果。多項(xiàng)式擬合是利用全區(qū)所有測(cè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)，趨勢(shì)分析法的坐標(biāo)原點(diǎn)是固定的而不是滑動(dòng)的，所以需要將所有待定系數(shù)都求出來(lái)，才可以獲得各測(cè)點(diǎn)上的趨勢(shì)值[12]。Agocs[13]提出多項(xiàng)式擬合法，至今已被很多研究者證實(shí)。自21世紀(jì)開(kāi)始，熊光楚[14]指出運(yùn)用自調(diào)節(jié)趨勢(shì)分析法實(shí)現(xiàn)位場(chǎng)的分離，該方法的優(yōu)勢(shì)在于能消除局部場(chǎng)對(duì)擬合區(qū)域場(chǎng)的多項(xiàng)式系數(shù)的影響；羊春華[11]用篩選-趨勢(shì)分析法進(jìn)行位場(chǎng)分離，認(rèn)為該方法在分離效果上較常規(guī)方法更準(zhǔn)確、更完全；周錫明等[15]提出變階滑動(dòng)迭代趨勢(shì)分析法，在應(yīng)用于某油田重力數(shù)據(jù)后表明其能有效地提取微重力異常，且反映出的地質(zhì)效果良好。另外，李春芳[16]、楊培勝[17]、 英高海[18]等都對(duì)多項(xiàng)式擬合法進(jìn)行了不同的研究。劉金釗，朱呂濤等[19]利用雙線(xiàn)性鞍狀函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合位場(chǎng)分離處理，并將其應(yīng)用在川滇地區(qū)的實(shí)測(cè)重力數(shù)據(jù)上，證明了該算法的實(shí)用性。

每種重力異常分離方法都有其相應(yīng)的條件，因此，選擇合適的位場(chǎng)分離方法，合理、正確地進(jìn)行位場(chǎng)分離，獲得與研究對(duì)象有關(guān)的異常，是解釋和反演重力數(shù)據(jù)的關(guān)鍵步驟。近年來(lái)，我國(guó)進(jìn)行了廣泛地面重力測(cè)量，獲得了大量的高精度重力數(shù)據(jù)，充分利用這些資料進(jìn)行局部構(gòu)造和區(qū)域構(gòu)造的研究，對(duì)進(jìn)行直接或間接勘探具有重要的意義。因此，筆者研究的多項(xiàng)式擬合位場(chǎng)分離方法具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。

1 算法原理

利用全區(qū)測(cè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)，根據(jù)測(cè)區(qū)內(nèi)某一小范圍內(nèi)的已知重力異常值的變化趨勢(shì)，建立一個(gè)擬合多項(xiàng)式，以一定階次的數(shù)學(xué)曲面來(lái)代表測(cè)區(qū)內(nèi)異常變化的趨勢(shì)，并且用這個(gè)趨勢(shì)作為區(qū)域異常來(lái)看待，然后從同一點(diǎn)的布格異常值中減掉這一區(qū)域異常即可獲得測(cè)區(qū)內(nèi)的局部異常，再用局部異常繪制局部異常平面圖或剖面圖。

在求區(qū)域異常時(shí)，必須求出擬合多項(xiàng)式的所有系數(shù)，以便利用它以及測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出各測(cè)點(diǎn)的趨勢(shì)值，亦即區(qū)域異常值(當(dāng)擬合多項(xiàng)式的階次不同時(shí)，多項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)目也不同)。

按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線(xiàn)，并采取二階多項(xiàng)式方程為擬合曲線(xiàn)的方法，稱(chēng)為最小二乘法。以二次曲面擬合說(shuō)明方法的基本原理[20]。設(shè)趨勢(shì)面為：

(1)

其中:aj(j=0,1,2，…，5)為待定系數(shù)。如果在測(cè)區(qū)中按一定的網(wǎng)格選取了n個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)為(xi+yi)相應(yīng)點(diǎn)上的布格異常值為gi(i=1,2,3，…，n)。則要是二次多項(xiàng)式所代表的曲面(趨勢(shì)面)能與重力異常的變化在最小二乘方的意義下得到最佳擬合，系數(shù)ai應(yīng)滿(mǎn)足：

min

(2)

根據(jù)多元函數(shù)求極值得的法則, 式(1)成立的條件是:

(3)

于是，可以得到一個(gè)包含有多項(xiàng)式待定系數(shù)aj(j=0,1,2，…，5)的線(xiàn)性方程組(4)。它的矩陣形式為：

ATAX=ATg

(4)

其中:AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣。式(4)中的列矢量矩陣分別是：

(5)

利用相應(yīng)的方法解出待定系數(shù)aj，然后利用式(1)，便可根據(jù)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)(xi,yi)。最后繪出趨勢(shì)異常(區(qū)域異常)圖和剩余異常圖。

2 模型搭建及分析

研究不同形狀的地質(zhì)體在地面產(chǎn)生的重力異常及其特征，是對(duì)實(shí)測(cè)異常進(jìn)行解釋的基礎(chǔ)。一般通過(guò)建立正演模型，并對(duì)其進(jìn)行處理和解釋來(lái)驗(yàn)證數(shù)據(jù)分析、地質(zhì)解釋和重力反演的理論方法是否正確。因此，研究正演是反演的基礎(chǔ)，位場(chǎng)正演計(jì)算，長(zhǎng)期以來(lái)一直都為地球物理工作者們所關(guān)注。根據(jù)正演理論，我們可以搭建不同的合成模型。趨勢(shì)分析法在建立正演合成模型時(shí)需要對(duì)用到的盆地基底進(jìn)行擴(kuò)邊處理，筆者對(duì)斷點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了外擴(kuò)，外擴(kuò)的范圍相對(duì)局部場(chǎng)很大，因此可以忽略邊界效應(yīng)。

根據(jù)最小二乘法，可用每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)x計(jì)算出該點(diǎn)的重力異常值g。然后求出局部異常，繪出趨勢(shì)異常(區(qū)域異常)和局部異常圖。

(6)

2.1 模型搭建

筆者建立了兩個(gè)不同的地質(zhì)模型來(lái)客觀評(píng)價(jià)多項(xiàng)式擬合位場(chǎng)分離方法的效果，如圖1所示。圖1(a)為模型一，其參數(shù)為：直立板狀體密度為0.3 g/cm3，直立板狀體在Z方向的頂?shù)咨疃确謩e為1 km和4 km;水平方向視厚度為10 km;頂界面中心橫坐標(biāo)為95 km;板狀體向下延伸的方向與X軸正方向所成角度為45°。盆地基地在X坐標(biāo)范圍為(0 km～200 km)上，每間隔5 km取一個(gè)點(diǎn)，共取41個(gè)點(diǎn)。

圖1(b)為模型二，其參數(shù)為：直立板狀體從1-3的密度依次為0.3 g/cm3、0.5 g/cm3、0.3 g/cm3，在Z方向的頂?shù)咨疃纫来畏謩e為1 km和3.1 km、1.5 km和4.7 km、2 km和4.1 km，水平方向視厚度依次為12 km、9 km、12 km,頂界面中心橫坐標(biāo)依次為160 km、30 km、100 km，板狀體向下延伸的方向與X軸正方向所成角度依次為90°、45°、90°。

圖1 模型Fig.1 Model(a)模型一;(b)模型二

2.2 模型分析

圖2(a)、圖3(a)分別為模型一與模型二的疊加異常，理論區(qū)域異常和理論局部異常，依次作為對(duì)照來(lái)分析經(jīng)過(guò)多項(xiàng)式擬合之后所得到的區(qū)域異常和局部異常的可靠性和有效性。由圖2(b)，圖3(b)可看出，當(dāng)測(cè)區(qū)范圍較小，基底起伏相對(duì)簡(jiǎn)單時(shí)，經(jīng)多項(xiàng)式擬合法得到的區(qū)域異常與理論異常相同，得到的圖1(c)局部異常與理論局部異常形態(tài)幾乎相同。

圖2 模型一重力異常Fig.2 Gravity anomaly in model 1(a)重力異常理論值;(b)理論區(qū)域異常與多項(xiàng)式擬合法得到的區(qū)域異常;(c)理論局部異常與多項(xiàng)式擬合法得到的局部異常

圖3 模型二重力異常Fig.3 Gravity anomaly in model 2(a)重力異常理論值;(b)理論區(qū)域異常與多項(xiàng)式擬合法得到的區(qū)域異常;(c) 理論局部異常與多項(xiàng)式擬合法得到的局部異常

圖4 模型一選擇低階多項(xiàng)式(2次)得到的重力異常Fig.4 Gravity anomalies obtained by selecting lower order polynomials of the model 1(a)理論區(qū)域異常與經(jīng)多項(xiàng)式擬合得到的區(qū)域異常;(b)理論局部異常與多項(xiàng)式擬合得到的局部異常;(c)理論疊加異常與多項(xiàng)式擬合得到的疊加異常

圖5 模型一選擇高階多項(xiàng)式(9次)得到的重力異常Fig.5 Gravity anomalies obtained by selecting higher order polynomials of the model 1(a)理論區(qū)域異常與經(jīng)多項(xiàng)式擬合得到的區(qū)域異常;(b)理論局部異常與多項(xiàng)式擬合得到的局部異常;(c)理論疊加異常與多項(xiàng)式擬合得到的疊加異常

圖6 模型二選擇低階多項(xiàng)式(5次)得到的重力異常Fig.6 Gravity anomalies obtained by selecting lower order polynomials of the model 2(a)理論區(qū)域異常與經(jīng)多項(xiàng)式擬合得到的區(qū)域異常;(b)理論局部異常與多項(xiàng)式擬合得到的局部異常;(c)理論疊加異常與多項(xiàng)式擬合得到的疊加異常

圖7 模型二選擇高階多項(xiàng)式(12次)得到后的重力異常Fig.7 Gravity anomalies obtained by selecting higher order polynomials of the model 2(a)理論區(qū)域異常與經(jīng)多項(xiàng)式擬合得到的區(qū)域異常;(b)理論局部異常與多項(xiàng)式擬合得到的局部異常;(c)理論疊加異常與多項(xiàng)式擬合得到的疊加異常

圖8 模型一選擇不同階次多項(xiàng)式得到的重力異常Fig.8 Gravity anomalies obtained by selecting polynomials of different order in Model 1(a)區(qū)域異常;(b)局部異常

當(dāng)測(cè)區(qū)范圍較大，基底起伏又復(fù)雜時(shí)需要的多項(xiàng)式階次就越高，其得到的局部場(chǎng)異常并不是越好，經(jīng)多項(xiàng)式擬合法得到的區(qū)域異常與理論異常在小波長(zhǎng)附近的吻合度較小，得到的圖3(a)局部異常與理論局部異常在長(zhǎng)波段形態(tài)相似。

圖4～圖7可看出，將相同直立板狀體(局部場(chǎng))放在相同盆地基底(區(qū)域場(chǎng))的不同位置，盆地基底(區(qū)域場(chǎng))本身的多項(xiàng)式擬合階次沒(méi)有變化，但是直立板狀體(局部場(chǎng))和疊加異常多項(xiàng)式階次發(fā)生很放大變化。不同直立板狀體(局部場(chǎng))放在相同、不同的盆地的相同位置其盆地基底(區(qū)域場(chǎng))本身的多項(xiàng)式階次沒(méi)有很大變化，但是直立板狀體(局部場(chǎng))和疊加異常度多項(xiàng)式階次仍然會(huì)發(fā)生很放大變化。當(dāng)盆地基底本身的起伏很大很復(fù)雜時(shí)，其自身的多項(xiàng)式階次就會(huì)很大。當(dāng)擬合的多項(xiàng)式的階次特別高時(shí)，擬合曲線(xiàn)會(huì)產(chǎn)生震蕩，扭曲區(qū)域場(chǎng)的形狀，獲得的局部異常分布會(huì)不精準(zhǔn)。

由8圖可以看出，模型1的盆地基地?cái)M合曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)7次后幾乎與原盆地基地曲線(xiàn)重合，直立板狀體擬合曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)8次后與原直立板狀體曲線(xiàn)很相近,在第9次擬合時(shí)出現(xiàn)了反向虛假異常。

由圖9可以看出，模型2的盆地基地?cái)M合曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)10次后幾乎與原盆地基地曲線(xiàn)重合，直立板狀體擬合曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)12次后才與原直立板狀體曲線(xiàn)很相近。

圖9 模型二選擇不同階次多項(xiàng)式得到的重力異常Fig.9 Gravity anomalies obtained by selecting polynomials of different order in Model 2(a)區(qū)域異常;(b)局部異常

由圖1～圖9可看出，相同直立板狀體(局部場(chǎng))放在相同、不相同的盆地基地(區(qū)域場(chǎng))的不同位置，盆地基地(區(qū)域場(chǎng))本身的曲線(xiàn)擬合次數(shù)幾乎沒(méi)有的變化，但是直立板狀體(局部場(chǎng))曲線(xiàn)擬合次數(shù)發(fā)生很放大變化。不同直立板狀體(局部場(chǎng))放在相同、不同的盆地的相同位置其盆地基地(區(qū)域場(chǎng))本身的曲線(xiàn)擬合次數(shù)沒(méi)有很大變化，但是直立板狀體(局部場(chǎng))曲線(xiàn)擬合次數(shù)仍然會(huì)發(fā)生很放大變化。當(dāng)盆地基地本身的起伏很大很復(fù)雜時(shí)，自身的擬合次數(shù)就會(huì)很大。

3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)用

這里實(shí)測(cè)重力剖面數(shù)據(jù)來(lái)自于遼寧省葫蘆島市楊家杖子鎮(zhèn)經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)黑魚(yú)溝某礦洞。該區(qū)域上構(gòu)造活動(dòng)強(qiáng)烈,主要為斷裂構(gòu)造,燕山期的巖漿活動(dòng)也很強(qiáng)烈,區(qū)域礦產(chǎn)資源豐富.由于構(gòu)造及虹螺山巖體巖漿熱液作用,區(qū)內(nèi)蝕變,礦化程度較強(qiáng),具有較好的成礦條件.礦體主要賦存于巖漿巖及地層的接觸帶(矽卡巖帶)內(nèi),區(qū)內(nèi)礦床類(lèi)型主要為矽卡巖型.蝕變破碎帶,矽卡巖化等是主要的找礦標(biāo)志。礦洞位于黑魚(yú)溝西山寒武系下方，是鉛鋅礦開(kāi)采礦洞。礦洞斷面為馬蹄形，水平延伸近50 m，可近似為一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的水平圓柱體。礦洞中心埋深為5 m，高和寬均約2 m(圖10)。在地面采集重力數(shù)據(jù)，重力觀測(cè)剖面垂直于礦洞走向。

圖10 礦洞位置及剖面形態(tài)Fig.10 Location and section shape of ore hole

觀測(cè)布格重力異常如圖11(a)中的實(shí)線(xiàn)。用多項(xiàng)式擬合法對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到區(qū)域(背景場(chǎng))場(chǎng)(圖11(a)中虛線(xiàn))；去掉區(qū)域場(chǎng)(背景場(chǎng))后得到的局部重力異常如圖11(b)所示。對(duì)比圖12[21]應(yīng)用非線(xiàn)性濾波分離法得到的局部重力異常，本文方法得到的位場(chǎng)分離效果與實(shí)際情況基本一致，可以應(yīng)用本文得到的位場(chǎng)分離效果確定場(chǎng)源、斷裂位置及密度界面。

圖11 實(shí)測(cè)重力數(shù)據(jù)異常分離Fig.11 Anomaly separation of measured gravity data(a)實(shí)測(cè)重力布格異常和經(jīng)多項(xiàng)式擬合得到的區(qū)域重力異常;(b)分離后得到的局部異常

圖12 石甲強(qiáng)Fig.12 Shi Jiaqiang(a)實(shí)測(cè)布格重力異常和分離的區(qū)域(背景)場(chǎng);(b) 局部重力異常(實(shí)線(xiàn))及去噪后的局部重力異常(虛線(xiàn))；(c)基于向下延拓Milne法的重力歸一化總梯度剖面

4 結(jié)論及建議

場(chǎng)分離結(jié)果的好壞直接影響著最終解釋結(jié)果。筆者依據(jù)正演模型，對(duì)多項(xiàng)式擬合法在位場(chǎng)分離中的應(yīng)用進(jìn)行分析，得出以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

1)在利用趨勢(shì)分析法劃分區(qū)域異常和局部異常的效果，主要取決于所建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際區(qū)域重力異常分布的近似程度，但測(cè)區(qū)的范圍比較大，地質(zhì)條件又比較復(fù)雜時(shí)，它的區(qū)域異常就不一定能用某個(gè)固定的多項(xiàng)式來(lái)表示，所以應(yīng)用本方法時(shí)必須結(jié)合區(qū)域地質(zhì)條件，對(duì)測(cè)區(qū)的區(qū)域異常進(jìn)行分析。

2)多項(xiàng)式擬合法在建立正演模型時(shí)要進(jìn)行擴(kuò)邊處理，并要將邊界效應(yīng)降低到可忽略不計(jì)。

3)在對(duì)同一組模型采用多項(xiàng)式擬合算法，并不是擬合次數(shù)越多，相對(duì)誤差越小，效果越好。相反，當(dāng)擬合次數(shù)很大時(shí)，擬合得到的曲線(xiàn)會(huì)產(chǎn)生震蕩。多項(xiàng)式階次的選擇，原則上應(yīng)視區(qū)域場(chǎng)的復(fù)雜程度來(lái)定。階次太高，會(huì)出現(xiàn)趨勢(shì)值受局部場(chǎng)的影響較大的現(xiàn)象，因而會(huì)削弱局部異常的劃分，同時(shí)也使趨勢(shì)面畸變。因?yàn)殡A次增加時(shí)，方程組解的誤差會(huì)急劇增加。

4)雖然在這里的模型試驗(yàn)中利用多項(xiàng)式擬合法進(jìn)行位場(chǎng)分離的效果較好，但是由于位場(chǎng)分離涉及到的實(shí)際地質(zhì)情況較為復(fù)雜，多項(xiàng)式擬合法對(duì)于短波長(zhǎng)的異?？坍?huà)仍存在問(wèn)題，下一步將融合其他方法進(jìn)行進(jìn)一步研究。

致謝

感謝吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院肖鋒副教授和石甲強(qiáng)同學(xué)向本文作者提供實(shí)測(cè)重力數(shù)據(jù)！感謝成都理工大學(xué)圖書(shū)館為我們提供討論場(chǎng)所和文獻(xiàn)資源！