李永紅，梁 振

(1.中南林業(yè)科技大學土木工程學院，湖南 長沙 410004；2.中南林業(yè)科技大學工程流變學湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410004)

許多工程實際問題常采用有限元法對結構進行分析。對結構進行優(yōu)化設計時，需多次對結構進行分析，采用實時計算方法分析可以減少計算時間。縮減基法(reduced basis method, RBM)作為一種實時計算方法，在20世紀70年代被提出[1]，該方法可在全局范圍內進行近似計算，并對計算結果的誤差范圍進行估計[2]。整個計算過程可以分為離線階段和在線階段，離線階段計算的量與設計參數無關，只需計算1次，可以先行計算完成。設計參數發(fā)生變化時，在線階段可以快速得到縮減基法結果[3]。近年來，縮減基法被用于各個領域。Jiang等[4]將縮減基法運用于聲學的多頻分析中，對復雜聲學散射等問題進行優(yōu)化，提高了系統(tǒng)運行效率。Feng等[5]應用縮減基法求解多元材料在熱荷載情況下的熱響應值，確定了各設計參數最優(yōu)解。Shi等[6]將縮減基法運用于電磁場中，把介質散射體參數化并對介質散射較強的電磁場高效建模，將其與邊界元法結合，對系統(tǒng)進行快速計算。李永紅等[7]將求逆縮減基法用于車架結構分析，并對誤差進行估計，計算量大大降低，結果也有很高的精度。張正等[8-9]將縮減基法應用在區(qū)間結構的可靠性分析，對參數域的失效范圍進行了快速求解；對減基空間的完備性也做了研究，以向量子空間夾角大小來檢查結構響應解的精確性。馬營利等[10]將線彈性算子中的部分參數顯示化，把結構劃分為敏感區(qū)和非敏感區(qū)，結合縮減基法實現了礦用車架的快速計算。

上述關于縮減基法的研究，需預先將設計參數從線彈性算子中分離出來。將線彈性算子分成多個與設計參數無關的矩陣，該步驟計算煩瑣且不易求解，影響了縮減基法的應用。本文將對縮減基法進一步改進，結合ANSYS分析設計參數與結構單元之間的聯系，分離線彈性算子中的設計參數，從而解決縮減基法應用瓶頸問題，同時將改進后的縮減基法應用到平面框架結構[11-12]。

1 縮減基法理論及改進

1.1 縮減基法基本理論

結構進行求解時，與自身幾何或者物理參數有關的結點位移組成高維解空間?？s減基法通過Galerkin映射，將解映射到低維解空間，在低維解空間擬合結果。

結構的平衡方程為如下形式：

K(μ)u(μ)=F?u(μ)∈X

(1)

式中：μ為結構的設計參數；K(μ)為結構剛度矩陣；u(μ)為結構的結點位移向量；F為結構荷載向量；X為真實的高維解空間。

對于大型復雜結構，求解式(1)會耗費大量時間。結構優(yōu)化設計時，每一次設計參數變化都要求解上式。因此，能快速求解結構并得到高精度結果對于優(yōu)化設計十分重要。

系統(tǒng)能量為

(2)

在設計參數變化范圍內，選M組設計參數為樣本參數，計算對應結構得到位移，組成的矩陣為

P=[u(μ1),u(μ2),…,u(μM)]

(3)

P中的第i項設計參數對應的結構，可以用有限元法求出對應的位移u(μi)。將這N組位移構成減基矩陣z，寫成如下形式：z=[u(μ1),u(μ2),…,u(μM)]。z矩陣中的解向量u(μi)(i=1,2,…,M)是線性無關的，真實解X中各項可以用減基矩陣z中的元素線性表達。當取新的設計參數μnew時，對應結構的位移可以看作是減基矩陣z中各項的線性組合，即

u(μnew)=za(μnew)

(4)

式中：a(μnew)為系數向量。將式(4)代入式(2)，系統(tǒng)能量可寫成

(5)

由能量最小原理并結合式(5)可得到

zTK(μnew)za(μnew)=zTF

(6)

令KN(μnew)=zTK(μnew)Z，FN=zTF，式(6)可寫成

KN(μnew)a(μnew)=FN

(7)

當結構中的設計參數改變時，用縮減基法求解，可以轉化為在低維的解空間求解式(7)。

對于線彈性問題，剛度矩陣K(μ)可以分解成兩部分，一部分與設計參數有關，另一部分與設計參數無關，表示為下列形式：

(8)

式中：σq(μ)為從剛度矩陣中分離出來的與設計參數有關的函數關系；Kq為剛度矩陣中與設計參數無關的矩陣；Q為剛度矩陣中設計參數能夠分離的項數，與求解的問題有關。

基于這種分解，縮減基法可以進行快速有效的實時計算。將式(8)代入式(6)，可寫成

(9)

(10)

1.2 縮減基法的參數分離

縮減基法將線彈性算子分離成與設計參數有關的部分和與設計參數無關的部分后，計算過程可分為離線階段和在線階段，但將設計參數從線彈性算子中分離并不容易實現。基于現有的研究基礎和成果，采用ANSYS建模提取相關信息，對設計參數與結構線彈性矩陣的關系進行分析研究，通過計算得到與設計參數無關的線彈性算子。

(11)

(12)

表示Q組設計參數與KN(μi)的關系式矩陣。

(13)

由式(13)可得到

(14)

2 數值算例

住宅樓和商住樓多采用框架結構。與磚混結構相比，框架結構在抗拉、抗剪、切抗變形能力上有很大的優(yōu)勢，有很好的剛度和強度，牢固性比較強，因此能抵抗外界環(huán)境發(fā)生變化所受的作用力(地震力、風荷載等)。以多層框架結構為例，取其中的一榀平面框架結構進行分析, 用梁單元劃分網格建立有限元模型，如圖1所示。該模型有540個單元，521個節(jié)點，每個節(jié)點具有3個自由度，整個結構共有1 563個自由度。在第一排架柱作用集中力N1，對該種荷載情況進行分析，如圖2所示。框架結構模型的剛度矩陣與梁單元彈性模量E、截面面積A、截面慣性矩I、長度l、泊松比ν、厚度h有關，且橫梁和柱的組合形式也會引起剛度矩陣的變化。

圖1 平面框架結構的有限元模型

圖2 結構荷載情況

該結構所選用的材料為鋼筋混凝土材料，泊松比為0.2，密度為2 500 kg/m3。本例首先取梁單元組成的一簡單結構進行分析，如圖3所示。利用ANSYS提取圖3結構的剛度矩陣等相關信息，對設計參數和剛度矩陣的變化進行分析，將設計參數從剛度矩陣中分離出來。

圖3 梁單元組成的簡單結構模型

平面框架結構選取的設計參數變化范圍如下：E=3.0～4.5 GPa，A=0.09～0.36 m2，I=0.24～0.96 m4，l=0.2～0.6 m。整個計算過程分成離線階段和在線階段。

在線階段：選取新設計參數時，算出σq(μnew)，代入式(10)求得a(μnew)，由式(4)求得應用改進縮減基法得到的位移解uGRBM(μnew)。

為了驗證改進縮減基法的計算精度，任意選取新設計參數如表1所示，采用有限元法求出位移結果u(μnew)，令s(μnew)=Fu(μnew)；用求逆縮減基法得到位移結果uGRBM(μnew)，令s′(μnew)=FuGRBM(μnew)。按式(15)計算并比較計算精度，μ1～μ8的誤差e分別為0.031、0.062、0.021、0.035、0.029、0.012、0.078、0.010。

表1 設計參數選取

(15)

為更明確地檢驗改進縮減基法的計算精度，以有限元結果為精確解，將改進縮減基法各節(jié)點位移結果按照最小二乘法計算相對誤差ε，μ1～μ8的相對誤差分別為0.043%、0.057%、0.039%、0.063%、0.031%、0.018%、0.059%、0.026%。

設計參數發(fā)生變化時，該算例用有限元方法做一次運算需72s，用改進縮減基法計算，在在線階段計算一次需要0.009 1 s，計算效率明顯提升。在結構的設計和優(yōu)化中，需要對結構進行多次分析，采用改進縮減基法優(yōu)勢明顯。

3 結 語

本文對縮減基法進行了改進，經過分析所求結構單元組成的簡單結構，得出該單元類型設計參數和線彈性算子的關系式。將多組設計參數對應的位移結果組成減基矩陣，采用改進縮減基法求出與設計參數無關的項。取新的設計參數時，可以實時得到與之對應的線彈性算子，并計算出結果。以一多層平面框架結構為例，驗證了計算結果的精度。與之前的縮減基法相比，改進的縮減基法無需預先知道設計參數與線彈性算子的分離關系，以相同單元類型的簡單結構為對象算出與設計參數無關的矩陣，為將縮減基法用到復雜結構提供了思路，對縮減基法的應用有重要的價值。