L-拓?fù)淇臻g廣義模糊半緊性

徐振國, 劉夢國

(1.國家科技基礎(chǔ)條件平臺中心，北京 100038; 2.沈陽市同澤高中，遼寧 沈陽 110011)

1 預(yù)備知識

文獻(xiàn)[1-2]在L-拓?fù)淇臻g中給出了一種新的緊性，該緊性是通過不等式來刻畫的且不依賴于格L的結(jié)構(gòu)，不要求L具有分配性.

文獻(xiàn)[3]中作者給出廣義半開L-集、廣義半閉L-集和廣義半不定映射的概念.

本文借助于廣義半開L-集和不等式，給出廣義模糊半緊性，這里L(fēng)是完備的de Morgan代數(shù)，這個定義不依賴于L的結(jié)構(gòu)，并且不要求L具有分配性.廣義模糊半緊性同樣可以借助廣義半閉L-集和不等式來刻畫.當(dāng)L是完全分配的de Morgan代數(shù)時(shí)，給出它的許多等價(jià)刻畫.

對于子集Φ?LX，2(Φ)記為Φ的所有有限子族之集.

定義1[3]令(X,T)是一個L-拓?fù)淇臻g且A∈LX.則A稱為廣義半閉L-集(簡記為gs-閉L-集)，如果對于滿足A≤U的半開L-集U，有cl(A)≤U.A稱為廣義半開的(簡記為gs-開)，如果A′是gs-閉的.

GSO(X) 和GSC(X) 分別記為X上所有廣義半開L-集和廣義半閉L-集之集.

定義3[1-2]令(X,T)是一個L-拓?fù)淇臻g且A∈LX.則G稱為模糊緊的，如果對于U?T，有

2 廣義模糊半緊L-集

定義4令(X,T)是L-拓?fù)淇臻g且G∈LX.則G稱為廣義模糊半緊的，如果對每族U?GSO(X)，有

顯然，G的廣義半開強(qiáng)a-shading是G的廣義半開a-shading.

由定義4和定義5有下面的結(jié)果.

定理1令(X,T)是L-拓?fù)淇臻g且G∈LX.則G是廣義模糊半緊的當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a∈L{1}，G每個廣義半開強(qiáng)a-shadingU有有限子族V是G的廣義半開強(qiáng)a-shading.

此外，由定義4和逆序?qū)蠈?yīng)有如下定理.

定理2令(X,T)是L-拓?fù)淇臻g且G∈LX.則G是廣義模糊半緊的當(dāng)且僅當(dāng)對每個子族P∈GSC(X)，有

顯然，G的廣義半閉強(qiáng)a-remote族是G的廣義半閉a-remote族，P是G的廣義半閉強(qiáng)a-remote族當(dāng)且僅當(dāng)P′是G的廣義半閉強(qiáng)a-shading.

由定理2，有下面的定理.

定理3令(X,T)是L-拓?fù)淇臻g且G∈LX.則G是廣義模糊半緊的當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a∈L{0}，G的每個廣義半閉強(qiáng)a-remote族P有有限子族F是G的廣義半閉強(qiáng)a-remote族.

定理4令L是完備的Heyting代數(shù).如果G和H是廣義模糊半緊的，則G∨H是廣義模糊半緊的.

證對任意的P∈GSC(X)，由定理2有

這證明了G∨H是廣義模糊半緊的.

定理5如果G是廣義模糊半緊L-集，H是廣義半閉L-集，則G∧H是廣義模糊半緊L-集.

證因?yàn)镚是廣義半閉L-集，對于任意的P∈GSC(X)，由定理2，有

這證明了G∧H是廣義模糊半緊L-集.

證對任意的P∈GSC(X)，由引理1和G的廣義模糊半緊性，有

3 廣義模糊半緊性的刻畫

這節(jié)中，假設(shè)L是完全分配的de Morgan代數(shù).給出廣義模糊半緊性的一些刻畫.

定理7令(X,T)是L-拓?fù)淇臻g且G∈LX.則下面條件是等價(jià)的.

(1)G是廣義模糊半緊的；

(2)對任意的a∈L{0}，G的每個廣義半閉強(qiáng)a-remote族P有有限子族F是G的廣義半閉強(qiáng)a-remote族；

(3)對任意的a∈L{0}，G的每個廣義半閉強(qiáng)a-remote族P有有限子族F是G的廣義半閉a-remote族；

(4)對任意的a∈L{0}，G的每個廣義半閉強(qiáng)a-remote族P有有限子族F和b∈β*(a)使得F是G的廣義半閉強(qiáng)b-remote族；

(5)對任意的a∈L{0}，G的每個廣義半閉強(qiáng)a-remote族P有有限子族F和b∈β*(a)使得F是G的廣義半閉b-remote族；

(6)對任意的a∈M(L)，G的每個廣義半閉強(qiáng)a-remote族P有有限子族F是G的廣義半閉強(qiáng)a-remote族；

(7)對任意的a∈M(L)，G的每個廣義半閉強(qiáng)a-remote族P有有限子族F是G的廣義半閉a-remote族；

(8)對任意的a∈M(L)，G的每個廣義半閉強(qiáng)a-remote族P有有限子族F和b∈β*(a)使得F是G的廣義半閉強(qiáng)b-remote族；

(9)對任意的a∈M(L)，G的每個廣義半閉強(qiáng)a-remote族P有有限子族F和b∈β*(a)使得F是G的廣義半閉b-remote族.

類似地，能夠證明(2)?(6)?(7)?(8)?(9)?(1).

4 結(jié) 論

(1)G是廣義模糊半緊的當(dāng)且僅當(dāng)對任意的P∈GSC(X)，有

(2)如果G和H是廣義模糊半緊的，則G∨H廣義模糊半緊的，這里L(fēng)是完備的Heyting代數(shù).

(3)如果G是廣義模糊半緊L-集，H是廣義半閉L-集，則G∧H是廣義模糊半緊L-集.

(4)廣義模糊半緊L-集在廣義不定映射下是保持的，這里L(fēng)是完備的Heyting代數(shù).