王玲玲，毋飛龍

(1.海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264000; 2.海軍91213部隊(duì)， 山東 煙臺(tái) 264000)

1 引言

直升機(jī)是一種利用旋翼提供升力和推進(jìn)力的飛行器，與固定翼飛機(jī)相比，它可以實(shí)現(xiàn)低空、低速飛行，并能垂直起降和空中懸停，因此直升機(jī)在軍用和民用方面有了很大的發(fā)揮空間[1]。而且由于直升機(jī)是一種多輸入多輸出的非常復(fù)雜的被控對(duì)象，其對(duì)控制理論的研究和應(yīng)用有著重要的工程意義，因此直升機(jī)也同樣成為控制理論研究中的一種廣泛研究對(duì)象。本文所研究的對(duì)象是三自由度直升機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，它是一種由2個(gè)水平旋翼提供升力，與另一側(cè)的平衡塊構(gòu)成的一種飛行器實(shí)驗(yàn)裝置，可以圍繞立柱模擬飛行器俯仰、偏轉(zhuǎn)姿態(tài)，同時(shí)通過2個(gè)水平旋翼提供的升力差模擬飛行器的傾斜姿態(tài)，如圖1所示。

圖1 三自由度直升機(jī)系統(tǒng)示意圖Fig1.Diagram of 3-DOF helicopter system

目前，對(duì)該對(duì)象的研究多用來解決對(duì)飛行姿態(tài)的控制，采用的算法多為PID控制算法，如文獻(xiàn)[2-3]；或是對(duì)PID算法的改進(jìn)[4]，如模糊PID[5-8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID等[9-10]。理想條件下PID的相關(guān)控制算法已經(jīng)能夠達(dá)到較好的控制效果。而當(dāng)參數(shù)變化時(shí)或者受到外界不確定性干擾時(shí)，為了保證較好的控制效果，國內(nèi)外研究學(xué)者也做了若干研究，如U.Pérez-Ventura[11]研究的當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的電壓變化時(shí)，采用連續(xù)螺旋算法確?？刂频聂敯粜裕籝ANG Qiwei[12]則是通過對(duì)系統(tǒng)控制輸入輸出解耦，對(duì)各自解耦的部分采用非奇異終端滑模控制來保證魯棒性；Hicham Chaoui[13]則是針對(duì)結(jié)構(gòu)性和非結(jié)構(gòu)性不確定性分別設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制和參考模型，來應(yīng)對(duì)不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響。本文研究在跟蹤頻率變化信號(hào)或者惡劣噪聲環(huán)境下，如何改善傳統(tǒng)PID算法中的微分項(xiàng)對(duì)控制效果帶來的不利影響。本文以積分重構(gòu)的思想，用控制量的積分代替被控量的誤差微分估計(jì)，即采用廣義比例積分控制算法(GPI)來實(shí)現(xiàn)飛行器的角度控制[14-15]，對(duì)姿態(tài)控制抗外界干擾的研究具有一定的參考價(jià)值。

2 數(shù)學(xué)模型

對(duì)圖1系統(tǒng)中的俯仰軸、橫側(cè)軸、旋轉(zhuǎn)軸分別進(jìn)行力矩分析，忽略重力矩和干擾力矩，建立三軸模型為：

(1)

式(1)中：ε、p分別為俯仰軸、橫側(cè)軸角度；γ為旋轉(zhuǎn)軸角速度；Je、Jp、Jt分別為俯仰軸、橫側(cè)軸、旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Kc為螺旋槳電機(jī)的升力常數(shù)；l1為螺旋槳到俯仰軸支點(diǎn)的距離；lp為螺旋槳到橫側(cè)軸支點(diǎn)的距離；Us為2個(gè)電機(jī)電壓之和；Ud為2個(gè)電機(jī)電壓之差；G3為2個(gè)螺旋槳的等效重力。參數(shù)建模示意如圖2所示。

圖2 參數(shù)建模示意圖Fig.2 Diagram of modeling

由式(1)可知，俯仰軸、橫側(cè)軸、旋轉(zhuǎn)軸的被控對(duì)象傳遞函數(shù)依次為：

(2)

(3)

(4)

式(2)～(4)中，各常變量參數(shù)的含義及取值如表1所示。

表1 三自由度直升機(jī)系統(tǒng)參數(shù)

3 基于GPI的飛行器姿態(tài)控制

設(shè)計(jì)GPI控制器來完成姿態(tài)控制，指標(biāo)要求如表2所示。

表2 各通道姿態(tài)控制的指標(biāo)要求

3.1 俯仰通道GPI算法設(shè)計(jì)

由前文俯仰通道的模型可知，俯仰角ε與控制輸入電壓Us之間的關(guān)系式為：

(5)

式(5)中，d為常值干擾信號(hào)。

(6)

由式(5)～式(6)可得：

(7)

(8)

(9)

將式(9)代入式(8)有：

(10)

仍然延續(xù)PID控制律的設(shè)計(jì)思路，此時(shí)，可以令控制輸入的誤差eUs為[14-17]：

(11)

即控制輸入仍然是通過被控量誤差的比例積分微分控制。

將式(11)代入式(7)，此時(shí)可以求出控制律下的特征多項(xiàng)式方程，即：

(12)

(13)

(14)

易得復(fù)數(shù)域下的特征方程為：

s4+λ3s3+λ2s2+λ1s+λ0=0

(15)

繼續(xù)對(duì)式(9)求導(dǎo)，得：

(16)

(17)

同時(shí)對(duì)式(12)求二階導(dǎo)，并將式(16)和式(17)代入后有：

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行拉氏變換，得：

(19)

由此便得到控制輸入和俯仰角偏差之間的傳遞關(guān)系為：

(20)

3.2 橫側(cè)通道的GPI算法設(shè)計(jì)

由前文橫側(cè)通道的模型可知，簡(jiǎn)化后的橫側(cè)角p與控制輸入電壓Ud之間的關(guān)系式，和俯仰角ε與控制輸入電壓Us的關(guān)系式類似，都是二階關(guān)系，因此，與上述過程同理設(shè)計(jì)可得橫側(cè)通道的GPI控制律，有：

(21)

以及GPI控制下的特征方程為：

s4+β3s3+β2s2+β1s+β0=0

(22)

同理，亦可得到控制輸入eUd和橫側(cè)角偏差ep之間的傳遞關(guān)系為：

(23)

3.3 旋轉(zhuǎn)通道的GPI算法設(shè)計(jì)

(24)

(25)

由式(24)～式(25)可得：

(26)

對(duì)式(26)積分可得：

(27)

令

(28)

此時(shí)，設(shè)計(jì)GPI控制律，有：

(29)

將式(29)代入式(26)，有：

(30)

對(duì)式(30)求二次導(dǎo)，有：

(31)

對(duì)式(26)和式(28)分別求導(dǎo)，可得：

(32)

將式(32)代入式(30)可得：

(33)

對(duì)式(33)進(jìn)行拉普拉斯變換，得：

(1+τ3)s3+τ2s2+τ1s+τ0=0

(34)

則式(34)就是旋轉(zhuǎn)通道GPI控制下的特征方程，通過配置τi(i=0，1，2，3)使系統(tǒng)穩(wěn)定且達(dá)到指標(biāo)要求。

繼續(xù)對(duì)式(28)求導(dǎo)，有：

(35)

對(duì)式(29)求二階導(dǎo)，并將式(35)代入后，有：

(36)

對(duì)式(36)進(jìn)行拉氏變換得：

(37)

(38)

3.4 參數(shù)設(shè)計(jì)

根據(jù)指標(biāo)要求可以繪制出3個(gè)通道期望的閉環(huán)零極點(diǎn)范圍。由于俯仰通道和橫側(cè)通道的期望一致，因此可以繪制這2個(gè)通道的閉環(huán)零極點(diǎn)范圍，如圖3所示。同時(shí)根據(jù)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以設(shè)置一對(duì)遠(yuǎn)離虛軸的負(fù)實(shí)極點(diǎn)，對(duì)旋轉(zhuǎn)通道來說，由于是三階系統(tǒng)，可以設(shè)置一個(gè)遠(yuǎn)離虛軸的負(fù)實(shí)極點(diǎn)，則3個(gè)通道的系統(tǒng)響應(yīng)完全可以由各自的一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)來決定。

圖3 極點(diǎn)配置示意圖Fig.3 Diagram of poles distribution

由此，式(15)、式(22)所表征的四階系統(tǒng)，式(34)所表征的三階系統(tǒng)，都降階為二階系統(tǒng)進(jìn)行討論。

對(duì)于俯仰通道來說，假設(shè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)為s1，2，負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)為s3，4，則有：

(s-s1)(s-s2)(s-s3)(s-s4)=

s4+λ3s3+λ2s2+λ1s+λ0=0

由此可確定控制律參數(shù)λi(i=1，2，…，4)，同理可確定橫側(cè)通道控制律參數(shù)βi(i=1，2，…，4)以及旋轉(zhuǎn)通道控制律參數(shù)τi(i=0，1，2，3)。

3.5 仿真分析

3.5.1俯仰通道仿真分析

根據(jù)式(20)可以得到俯仰通道GPI控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖4。

圖4 俯仰通道結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Block diagram of pitching channel

而λi已由極點(diǎn)配置決定，接下來就是調(diào)整λi去滿足指標(biāo)要求。

在階躍輸入下，根據(jù)極點(diǎn)配置，調(diào)整一組GPI控制參數(shù)至最佳響應(yīng)，當(dāng)λ0=153，λ1=730.2，λ2=948.17，λ3=60.8時(shí)，同時(shí)根據(jù)相近的極點(diǎn)配置，設(shè)置PID參數(shù)分別為Kp=4.154 2，Kd=5.293 7，Ki=0.876 6，得到PID的響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖5 相近極點(diǎn)配置下俯仰軸的階躍響應(yīng)曲線Fig.5 Step response of pitch axis with similar poles assignment

同樣，在階躍輸入下，βi不變，在恰好滿足指標(biāo)需求的條件下，取一組PID參數(shù)，得到響應(yīng)曲線如圖6，此時(shí)PID參數(shù)分別為Ki=0.001，Kp=2，Kd=0.8。

圖6 調(diào)整PID參數(shù)至最佳時(shí)俯仰軸的階躍響應(yīng)曲線Fig.6 Step response of pitch axis when PID parameters are adjusted to the best

圖7 相近極點(diǎn)配置下俯仰軸的正弦響應(yīng)曲線Fig.7 Sine response of pitch axis with similar poles assignment

圖8 調(diào)整PID參數(shù)至最佳時(shí)俯仰軸的正弦響應(yīng)曲線Fig.8 Sine response of pitch axis when PID parameters are adjusted to the best

通過以上仿真曲線可以看出，PID在相近極點(diǎn)配置下，并沒有滿足性能指標(biāo)要求，而在能夠滿足指標(biāo)要求的參數(shù)搭配下，由于其提高了快速性，降低了超調(diào)量，而喪失了一定的對(duì)頻率快速變化信號(hào)的跟蹤能力，如果系統(tǒng)中一旦出現(xiàn)高頻干擾，其跟蹤性能將會(huì)進(jìn)一步喪失，這一點(diǎn)從PID算法的抗干擾分析中也可以看出。而且我們從GPI和PID這2個(gè)控制器附加的開環(huán)零極點(diǎn)也能看出，GPI比PID多增加了一個(gè)位于左半平面遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)，相應(yīng)地，其快速性指標(biāo)要優(yōu)于PID控制，跟蹤不同信號(hào)下的適應(yīng)性更好。

在橫側(cè)通道和旋轉(zhuǎn)通道中，應(yīng)用GPI和PID控制也有類似的結(jié)論，因此后續(xù)只討論GPI作用下的姿態(tài)控制和角速度控制，不再對(duì)GPI控制與PID控制做分析比較。

3.5.2橫側(cè)通道仿真分析

根據(jù)式(23)可以得到橫側(cè)通道GPI控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖9。

圖9 橫側(cè)通道結(jié)構(gòu)圖Fig.9 Block diagram of transverse channel

圖10 橫側(cè)軸的階躍響應(yīng)曲線Fig.10 Step response of transverse axis

圖11 橫側(cè)軸的正弦響應(yīng)曲線Fig.11 Sine response of transverse axis

3.5.3旋轉(zhuǎn)通道仿真分析

根據(jù)式(38)可以得到旋轉(zhuǎn)通道GPI控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖12。

圖12 旋轉(zhuǎn)通道GPI控制結(jié)構(gòu)圖Fig.12 Block diagram of GPI control for roll channel

圖13 旋轉(zhuǎn)角速度的階躍響應(yīng)曲線Fig.13 Step response of rotational angular velocity

圖14 旋轉(zhuǎn)角速度的正弦響應(yīng)曲線Fig.14 Sine response of rotational angular velocity

3.5.4橫側(cè)通道和旋轉(zhuǎn)通道的串級(jí)GPI控制

由式(1)知，改變直升機(jī)橫側(cè)軸的傾斜角大小可以控制直升機(jī)的旋轉(zhuǎn)速度。如此根據(jù)橫側(cè)軸及旋轉(zhuǎn)軸之間的相關(guān)性，可以將其設(shè)計(jì)為串級(jí)控制，其中，旋轉(zhuǎn)通道的橫側(cè)角輸出作為橫側(cè)通道橫側(cè)角的期望值，橫側(cè)與旋轉(zhuǎn)的串級(jí)控制如圖15所示。

階躍下的旋轉(zhuǎn)角速度響應(yīng)曲線如圖16，階躍下的橫側(cè)軸橫側(cè)角響應(yīng)曲線如圖17。

圖16 串級(jí)控制旋轉(zhuǎn)軸角速度響應(yīng)曲線Fig.16 Angular velocity response of cascade control in roll channel

圖17 串級(jí)控制下的橫側(cè)角響應(yīng)曲線Fig.17 Transverse angle response with cascade control

通過以上3個(gè)通道的仿真實(shí)驗(yàn)，不難看出，在相同極點(diǎn)配置下，PID并沒有滿足性能指標(biāo)要求。雖然其有自身的一套參數(shù)可以滿足，但由于其提高了快速性，降低了超調(diào)量，而喪失了一定的對(duì)頻率快速變化信號(hào)的跟蹤能力，因此相對(duì)于PID來說，本文設(shè)計(jì)的GPI控制具有更好的跟蹤適應(yīng)性。

4 結(jié)論

本文以三自由度直升機(jī)為研究對(duì)象，在姿態(tài)控制中，當(dāng)跟蹤頻率變換較快的信號(hào)或系統(tǒng)當(dāng)中充滿高頻信號(hào)時(shí)，常規(guī)的PID算法中的微分項(xiàng)對(duì)此類信號(hào)較為敏感，造成算法的參數(shù)適應(yīng)性較差，不易滿足指標(biāo)要求等問題，本文在積分重構(gòu)思想基礎(chǔ)上，以控制量的積分代替被控量的誤差微分估計(jì)，并通過高階求導(dǎo)，使被控量的誤差微分估計(jì)等于其實(shí)際值，從而使控制算法可以實(shí)際可操作。如此設(shè)計(jì)的廣義比例積分算法可以使被控對(duì)象在惡劣噪聲環(huán)境下實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制，滿足指標(biāo)要求，且具有較高的適應(yīng)性。