黃小林，鐘德月，劉思奇，魏耿忠

（桂林電子科技大學(xué) 建筑與交通工程學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引 言

碳納米管（carbon nanotubes，CNTs）于1991年被S.Lijima［1］發(fā)現(xiàn)后，以其低密度、高剛度、高強(qiáng)度等優(yōu)異的力學(xué)性能引起了研究者關(guān)注。研究表明，基體中摻入CNTs，可以極大提高復(fù)合材料的力學(xué)性能。因此，以CNTs作為增強(qiáng)相的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，在材料性能要求更高的航天、航海等工業(yè)領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。

自SHEN H S［2］研究了熱環(huán)境下功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料（carbon nanotube reinforced composite，CNTRC）板的非線性彎曲以來，CNTRC結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析一直是功能梯度復(fù)合材料結(jié)構(gòu)研究的 熱 點(diǎn) 之 一［3-5］。G.Formica等［6］基 于Mori-Tananka的等效連續(xù)介質(zhì)模型研究了CNTRC板的振動特性，結(jié)果表明，碳納米管沿荷載方向均勻排列時對基體的增強(qiáng)效應(yīng)最強(qiáng)；ZHU P等［7］采用有限元方法研究了FG-CNTRC板的自由振動特性。軸向移動梁、板等系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于機(jī)械、交通等領(lǐng)域，其動力特性也是研究者們關(guān)注的焦點(diǎn)［8］。劉金堂等［9］應(yīng)用微分求積法計算了四邊簡支軸向運(yùn)動薄板的臨界速度和固有頻率，并分析了板材料剛度、長寬比和軸向運(yùn)動速度對板橫向振動臨界速度和固有頻率的影響；黃小林等［10］用Galerkin法求解不同邊界條件下軸向運(yùn)動FGM板自由振動與屈曲特性，結(jié)果表明，邊界條件對板的臨界屈曲速度和臨界屈曲荷載有明顯影響。但關(guān)于軸向運(yùn)動CNTRC板的自由振動鮮有研究。

本文基于經(jīng)典復(fù)合薄板理論推導(dǎo)出運(yùn)動方程，用伽遼金法研究軸向運(yùn)動碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板的自由振動特性，并討論運(yùn)動速度、寬厚比、碳納米管的體積分?jǐn)?shù)和分布方式因素對自由振動頻率的影響。

1 基本理論與求解過程

如圖1所示，碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板長為a，寬為b，厚度為h，在X方向作速度為V的勻速運(yùn)動，X，Y板邊界上分別有面內(nèi)荷載N1，N2，壓力為正，拉力為負(fù)。

圖1 軸向運(yùn)動碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板示意圖Fig.1 Schematic figure of the axially moving CNTRC plate

1.1 本構(gòu)方程

碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系為［11］

式中：σ和ε分別為應(yīng)力和應(yīng)變；Q為剛度矩陣。

式 中：Q11=E11/（1-ν12ν21）；Q12=Q21=ν21E11/（1-ν12ν21）；Q22=E22/1-ν12ν21，Q12=ν21E11/（1-ν12ν21）；Q44=G23；Q55=G13；Q66=G12。E11和E22為CNTRC板的彈性模量；G12，G13，G23為該板的剪切模量；ν12和ν21為泊松比，且有［12］

1.2 碳納米管在基體中的分布

考慮碳納米管在基體中沿板厚方向梯度分布，4種分布模式分別為FG-O、UD、FG-V和FGX［13］，如圖2所示。

圖2 碳納米管分布模式Fig.2 Configurations of various CNTs

每種分布模式碳納米管的體積分?jǐn)?shù)為

1.3 碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板的運(yùn)動方程

基于Halmiton變分原理，可以推導(dǎo)出軸向運(yùn)動碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板的小撓度運(yùn)動方程

其中，轉(zhuǎn)動慣量I1定義為

其中，Dij為復(fù)合材料板的剛度系數(shù)［14］。

式（7）為高階偏微分方程，其解表示為

式中，φm（x）φ（y）為梁振動的本征函數(shù)，其具體形式由邊界條件確定［15］。

將式（8）代入式（7），且兩邊同時乘φm（x）φ（y），并在板域內(nèi)進(jìn)行Galerkin積分，可得到關(guān)于wmn（t）的二階線性常微分方程組，

式中：M，C和K分別為板的廣義質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，w（{t}）=［w11（t），w12（t），…］T，變量頂部的圓點(diǎn)表示對時間的偏導(dǎo)。

為求解板的自由振動頻率，令

式中：｛a｝=[a11，a12，…]T，為振幅；為自由振動頻率。

將式（10）代入式（9），可得

由式（11）即可求得各階自由振動頻率。

2 算例比較

目前，國內(nèi)外關(guān)于軸向運(yùn)動碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板振動的研究成果較少，因此，本文通過與相關(guān)復(fù)合材料板或各向同性板的計算結(jié)果對比驗證本文的計算方法。碳納米管材料（SWCNT）和基體材料（PMMA）的物性參數(shù)、效率參數(shù)見表1～2［13］。表3計算了四邊簡支碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板的歸一化基頻，并與文獻(xiàn)［13］進(jìn)行對比。由表3可以看出，本文與文獻(xiàn)［13］的計算結(jié)果比較接近。

表1 SWCNT與PMMA的物性參數(shù)Tab.1 Material properties of the SWCNT and the PMMA

表2 SWCNT的效率參數(shù)Tab.2 SWCNT efficiency parameters

表3 碳納米增強(qiáng)復(fù)合材料板的歸一化基頻（a=b，h=0.002 m）Tab.3 Dimensionless natural frequency of CNTRC plate（a=b，h=0.002 m）

將本文四邊簡支軸向運(yùn)動各向同性薄板的基頻隨軸向運(yùn)動速度v的變化曲線與文獻(xiàn)［16］進(jìn)行比較。各向同性薄板的物性參數(shù)為E=2.0×1011Pa，μ=0.3，ρ=7.8 g/cm3，幾何尺寸h=0.003 m，b=0.25 m，a=1 m，面內(nèi)力N1=4.0×104N/m2。由圖3可以看出，自由振動頻率隨軸向運(yùn)動速度的變化曲線與文獻(xiàn)［16］的結(jié)果非常接近。

圖3 自由振動ω隨軸向運(yùn)動速度v的變化曲線Fig.3 Variation of natural frequencyωwith velocity v

3 參數(shù)分析

將碳納米管的體積分?jǐn)?shù)和分布模式、寬厚比、運(yùn)動速度及邊界條件等因素對歸一化基頻的影響結(jié)果繪制在圖4～6中。其中，SSSS，SCSC，SSSC分別為四邊固支、兩對邊固支和兩對邊簡支、三邊固支和一邊簡支的邊界條件。除特別說明外，碳納米管分布模式為四邊簡支的FG-V體積分?jǐn)?shù)=0.14，板的軸向運(yùn)動速度v=10 m/s，a=b，h=0.002 m。

圖4分析了邊界條件和邊厚比對歸一化的影響。由從圖4可以看出，歸一化基頻隨邊厚比b/h的增大而減小，SSS，SCSC和SSSC，3種邊界條件中，SSSS的ω最小，SCSC的ω最大。

圖4 不同邊界條件下的歸一化基頻Fig.4 Dimensionless frequency under different boundary conditions

圖5顯示了不同碳納米管分布模式下，歸一化基頻隨運(yùn)動速度的變化曲線。由圖5可以看出，自由振動頻率隨運(yùn)動速度的增加而減小。在UD，F(xiàn)G-V，F(xiàn)G-X和FG-O 4種分布中，F(xiàn)G-O的ω最小，F(xiàn)G-O的ω最大，說明軸向運(yùn)動速度減小了板的有效剛度。在碳納米管的4種分布模式中，F(xiàn)G-X的增強(qiáng)效果最為顯著，F(xiàn)G-O的增強(qiáng)效果最弱。

圖5 不同碳納米管分布方式下的歸一化基頻Fig.5 Dimensionless frequency under different carbon nanotube distributions

圖6顯示了碳納米管的體積分?jǐn)?shù)對歸一化基頻的影響。由圖6可知，體積分?jǐn)?shù)越大，板的自由振動頻率也就越高。這是因為碳納米管的彈性模量遠(yuǎn)大于基體材料的彈性模量，其體積分?jǐn)?shù)增大會顯著提高板的整體剛度。

圖6 不同碳納米管體積分?jǐn)?shù)下的歸一化基頻Fig.6 Dimensionless frequency with different carbon nanotube volume fractions

表4 不同軸向速度下面內(nèi)力對歸一化基頻的影響Tab.4 Effect of internal force on dimensionless frequency under different axial speeds

4 結(jié) 論

（1）碳納米管顯著提高了板的整體剛度，板的自由振動頻率隨碳納米管含量的增加而增大。在碳納米管的4種分布方式中，F(xiàn)G-X分布提高最為明顯，而FG-O分布提高最小。

（2）軸向運(yùn)動降低了板的有效剛度，其自由振動頻率隨軸向運(yùn)動速度的增大而減?。幻鎯?nèi)拉力增大板的自振頻率，面內(nèi)壓力降低板的自由振動頻率。

（3）邊界條件對板的自由振動頻率有較大影響。在各種分析邊界條件中，兩端固支兩端簡支的自由振動頻率最大，而四邊簡支的自由振動頻率最小。