鄭 泓，段忠東

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）土木與環(huán)境工程學(xué)院，廣東深圳518055）

引言

土木工程結(jié)構(gòu)在服役期間容易受到環(huán)境腐蝕、車(chē)輛荷載、自然災(zāi)害等的共同作用而出現(xiàn)功能退化，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)?dǎo)致結(jié)構(gòu)失效而引發(fā)災(zāi)難性事故。為保證人員生命和財(cái)產(chǎn)安全，有必要對(duì)在役結(jié)構(gòu)的狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測(cè)［1-2］。近幾十年來(lái)，基于振動(dòng)的結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警方法已成為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)（Structural Health Monitoring，SHM）的重要手段［3-5］。該方法認(rèn)為損傷會(huì)改變結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)（如模態(tài)頻率等），通過(guò)比較損傷前后這些參數(shù)的變化可以識(shí)別損傷。但是，環(huán)境因素（如溫度、車(chē)載等）的改變也會(huì)引起結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)的變化［6-9］，這種變化往往會(huì)掩蓋結(jié)構(gòu)的真實(shí)損傷。如果不消除損傷預(yù)警過(guò)程中環(huán)境因素的影響，SHM的可信度將大打折扣。為此，考慮環(huán)境影響的損傷預(yù)警方法開(kāi)始受到學(xué)者的關(guān)注。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)這一問(wèn)題開(kāi)展了大量研究。Sohn和Farrar［10］將 消 除 環(huán) 境 因 素 影 響 的 過(guò) 程 稱(chēng) 為“數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化（Data Normalization）”。根據(jù)是否需要測(cè)量環(huán)境信息，該過(guò)程分為基于模型的方法和非模型的方法。前者需要借助采集的環(huán)境信息建立結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)與環(huán)境變量之間相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型，以量化環(huán)境因素對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)的影響。Peeters和De Roeck［6］采 用ARX模 型 建 立 了Z24橋 的 環(huán) 境 溫度與模態(tài)頻率的關(guān)系；文獻(xiàn)［11-12］先后采用支持向量回歸模型（Support Vector Regression，SVR）和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Artificial Neural Network，ANN）量化溫度對(duì)香港汀九橋模態(tài)頻率的影響。Yang等［13］采用線(xiàn)性回歸方法建立潤(rùn)揚(yáng)長(zhǎng)江大橋的模態(tài)頻率和溫度的回歸關(guān)系。基于模型的方法為理解環(huán)境因素如何影響結(jié)構(gòu)物理特性的機(jī)理奠定了基礎(chǔ)，但實(shí)際工程中某些環(huán)境變量很難測(cè)量，準(zhǔn)確建立環(huán)境因素和結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)之間的關(guān)系難度很大。非模型的方法無(wú)需利用環(huán)境信息，而是將環(huán)境變量當(dāng)作隱藏變量，通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)的手段從大量樣本中找出環(huán)境因素影響的內(nèi)在規(guī)律［14］?；谥鞒煞址治觯≒rinciple Component Analysis，PCA）的方法［15］假定環(huán)境因素改變是結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)出現(xiàn)變化的主要原因，采用PCA可以將環(huán)境因素以主成分的形式分離出來(lái)。林友新等［16］認(rèn)為結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率受環(huán)境源和損傷源控制，通過(guò)盲源分離（Blind Source Separation，BSS）將二者分開(kāi)后，可以根據(jù)損傷源信號(hào)是否發(fā)生突變識(shí)別損傷。刁延松和任紅［17］對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)建立自回歸模型，利用因子分析（Factor Analysis）去除溫度對(duì)自回歸系數(shù)的影響。Santos等［18-19］采用改進(jìn)的高斯混合模型學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率在不同環(huán)境條件下的概率分布規(guī)律，利用聚類(lèi)后的簇群表示不同環(huán)境因素的影響。邱雷等［20］利用GMM建立導(dǎo)波監(jiān)測(cè)特征參數(shù)在環(huán)境因素影響下的概率模型，采用KL距離衡量基準(zhǔn)GMM和待測(cè)GMM的遷移趨勢(shì)，從而實(shí)現(xiàn)損傷預(yù)警。

近幾年，基于協(xié)整理論的損傷預(yù)警方法得到了快速發(fā)展。Cross等［21-22］最早對(duì)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中的非平穩(wěn)數(shù)據(jù)進(jìn)行協(xié)整研究，發(fā)現(xiàn)模態(tài)頻率存在的協(xié)整關(guān)系不會(huì)因?yàn)榄h(huán)境條件的改變而發(fā)生變化，但損傷的出現(xiàn)會(huì)破壞這種均衡關(guān)系，通過(guò)協(xié)整殘差可以對(duì)損傷進(jìn)行定量。刁延松等［23］提出基于自回歸模型系數(shù)和協(xié)整的結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警方法，并通過(guò)海洋平臺(tái)振動(dòng)臺(tái)模型驗(yàn)證該方法的有效性。Huang等［24］將結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率之間的協(xié)整系數(shù)作為卡爾曼濾波的狀態(tài)向量，通過(guò)觀(guān)察協(xié)整關(guān)系的改變實(shí)現(xiàn)在線(xiàn)損傷預(yù)警。李秀娟等［25］將協(xié)整理論引入到壓電阻抗法中，對(duì)溫度變化影響下的阻抗譜峰值頻率進(jìn)行協(xié)整，利用協(xié)整殘差的突變識(shí)別損傷。基于協(xié)整理論的方法從非平穩(wěn)時(shí)間序列分析入手，利用協(xié)整關(guān)系消除環(huán)境因素引起的數(shù)據(jù)非平穩(wěn)性，相比于傳統(tǒng)復(fù)雜的數(shù)據(jù)分析算法具有原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。然而，實(shí)際工程中的協(xié)整關(guān)系往往具有一定的非線(xiàn)性［21］，采用傳統(tǒng)的線(xiàn)性協(xié)整理論往往無(wú)法描述真實(shí)的協(xié)整關(guān)系，因此需要發(fā)展基于非線(xiàn)性協(xié)整的損傷預(yù)警方法［26-27］。

本文結(jié)合高斯混合模型的聚類(lèi)算法和協(xié)整理論進(jìn)行非線(xiàn)性環(huán)境因素影響下的損傷預(yù)警研究。該方法以結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率作為協(xié)整變量，利用高斯混合模型對(duì)不同環(huán)境條件下的頻率樣本進(jìn)行概率分布擬合，然后依據(jù)高斯后驗(yàn)概率將這些樣本分為不同的簇群；根據(jù)分段線(xiàn)性化思想，如果簇群的數(shù)量（聚類(lèi)數(shù)）取值合理，那么相同簇群里的樣本近似滿(mǎn)足線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系，采用Johansen檢驗(yàn)可求出各個(gè)簇群的協(xié)整方程；對(duì)于待測(cè)樣本，同樣采用高斯后驗(yàn)概率確定其簇群歸屬，之后代入相應(yīng)的協(xié)整方程求出協(xié)整殘差，通過(guò)X-bar控制圖［28］實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警。

1 高斯混合聚類(lèi)

高斯混合模型是高斯模型的簡(jiǎn)單擴(kuò)展［29］。假設(shè)隨機(jī)向量x∈Rl×1服從多元高斯分布，其概率密度函數(shù)可由均值向量μ∈Rl×1和協(xié)方差矩陣Σ∈Rl×l決定，具體表達(dá)式為

由此可以定義GMM的概率密度函數(shù)為

式中m代表高斯分量的個(gè)數(shù)；αi代表第i個(gè)高斯分量的混合系數(shù)，滿(mǎn)足代表第i個(gè)高斯分量的概率密度函數(shù)，其均值向量和協(xié)方差矩陣分別為μi和Σi。

GMM聚類(lèi)算法［29］采用多個(gè)高斯分布的線(xiàn)性組合作為數(shù)據(jù)分布的概率密度函數(shù)，通過(guò)概率模型對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)概率確定簇群的劃分。如果樣本集X=[x1x2…xs]由式（2）所表示的GMM生成，引入新的隨機(jī)變量zj∈{1，2，…，m}代表生成樣本xj的高斯分量，顯然其先驗(yàn)概率p(zj=i)=αi。根據(jù)貝葉斯定理，zj的后驗(yàn)概率可以表示為

采用期望最大（Expectation Maximization，EM）算法求出GMM的未知參數(shù)后，可根據(jù)式（3）計(jì)算出后驗(yàn)概率最大的高斯分量作為xj的歸屬。相比于傳統(tǒng)的K均值聚類(lèi)，GMM聚類(lèi)產(chǎn)生的簇群形狀可以是任意的橢圓，實(shí)際應(yīng)用范圍更廣。

2 協(xié)整理論

協(xié)整最早用于解決非平穩(wěn)時(shí)間序列建模時(shí)引起的虛假回歸問(wèn)題。其核心思想是利用多個(gè)非平穩(wěn)變量之間存在的長(zhǎng)期均衡（協(xié)整）關(guān)系，通過(guò)線(xiàn)性組合的方式將非平穩(wěn)性時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列。

如果非平穩(wěn)時(shí)間序列yt(t=1，2，…)經(jīng)過(guò)d次差分之后剛好成為平穩(wěn)時(shí)間序列，則稱(chēng)yt具有d階單整性，記為yt～I(xiàn)(d)。顯然，平穩(wěn)時(shí)間序列的單整性為I(0)。假定隨機(jī)向量yt={y1t y2t…ylt}T的每個(gè)分量都具有1階單整性［30］，而且存在l維向量β={β1β2…βl}T使得yt的線(xiàn)性組合變?yōu)槠椒€(wěn)時(shí)間序列，即βTyt～I(xiàn)(0)，那么yt存在協(xié)整關(guān)系，其協(xié)整方程表示為

式中β為協(xié)整向量；εt為協(xié)整殘差。

目前，協(xié)整性檢驗(yàn)主要分為EG（Engle-Granger）兩步法和Johanson法。EG檢驗(yàn)［31］是以殘差為基礎(chǔ)的檢驗(yàn)方法，首先采用最小二乘法對(duì)變量進(jìn)行回歸建模，再通過(guò)回歸殘差的平穩(wěn)性檢驗(yàn)確定協(xié)整關(guān)系是否成立。以隨機(jī)向量yt為例，選擇y1t作為因變量建立如下回歸方程

Johanson檢驗(yàn)［31］是以向量誤差修正（Vector Error Correction，VEC）模型為基礎(chǔ)的多變量協(xié)整性檢驗(yàn)方法。VEC模型不僅包含變量間的長(zhǎng)期協(xié)整關(guān)系，而且考慮了變量短期波動(dòng)對(duì)協(xié)整方程的影響。因此，Johanson法在協(xié)整向量的估計(jì)精度上要高于采用簡(jiǎn)單回歸分析的EG法。仍以隨機(jī)向量yt建立如下VEC模型

式中Π∈Rl×l代表長(zhǎng)期均衡矩陣，與變量協(xié)整關(guān)系相關(guān)；Ψi∈Rl×l代表短期動(dòng)態(tài)矩陣，與變量瞬時(shí)波動(dòng)特征相關(guān)；Δyt∈Rl×1為yt的差分項(xiàng)；p為滯后階次；ut為l維白噪聲向量。矩陣Π由修正矩陣A∈Rl×r（協(xié)整殘差對(duì)Δyt的修正速度）和協(xié)整向量矩陣B∈Rl×r（每一列代表一個(gè)協(xié)整向量）組成，其中r代表矩陣Π的秩（r=0說(shuō)明yt不存在協(xié)整關(guān)系）。因?yàn)閥t～I(xiàn)(1)，則Δyt，Δyt-i～I(xiàn)(0)，式（6）中的所有變量都具有平穩(wěn)性，采用極大似然法估計(jì)協(xié)整向量矩陣B，然后選擇第一列協(xié)整向量（對(duì)應(yīng)特征值最大、平穩(wěn)性最強(qiáng)［31］）建立協(xié)整方程。

3 結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警方法

結(jié)構(gòu)各階模態(tài)頻率受環(huán)境因素影響存在協(xié)整關(guān)系［30］，損傷的出現(xiàn)將破壞這種關(guān)系而導(dǎo)致協(xié)整殘差出現(xiàn)突變，通過(guò)比較損傷前后的協(xié)整殘差可以實(shí)現(xiàn)損傷預(yù)警。但是，環(huán)境因素影響往往存在一定的非線(xiàn)性，協(xié)整變量間難以保證較好的線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系，導(dǎo)致基于線(xiàn)性協(xié)整理論的損傷預(yù)警方法精度不高。為解決上述問(wèn)題，本文根據(jù)分段線(xiàn)性化思想，利用GMM聚類(lèi)將非線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系轉(zhuǎn)化為多個(gè)線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系，彌補(bǔ)協(xié)整理論無(wú)法處理非線(xiàn)性環(huán)境因素影響的問(wèn)題。

3.1 幾何解釋

為說(shuō)明GMM聚類(lèi)結(jié)合線(xiàn)性協(xié)整理論具有處理非線(xiàn)性環(huán)境因素影響的能力，以模態(tài)頻率f1和f2組成的二維樣本為例。如圖1所示，由于環(huán)境因素的影響，f1和f2存在明顯的雙線(xiàn)性關(guān)系［32］，線(xiàn)性協(xié)整理論無(wú)法準(zhǔn)確描述二者的非線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系。本文采用GMM聚類(lèi)將這些頻率樣本分割成簇群1和簇群2。根據(jù)分段線(xiàn)性化思想，假定聚類(lèi)后每個(gè)簇群都不存在非線(xiàn)性特征，采用Johanson法建立兩個(gè)線(xiàn)性協(xié)整方程近似原來(lái)的非線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系。

圖1 非線(xiàn)性環(huán)境因素影響下模態(tài)頻率f1和f2的散點(diǎn)分布圖Fig.1 Scatter plot of modal frequencies f1 and f2 under nonlinear environmental effects

對(duì)于損傷樣本點(diǎn)A0，計(jì)算其后驗(yàn)概率可確定其簇群歸屬：如果A0屬于簇群1的概率較大，那么利用協(xié)整方程1求出協(xié)整殘差（線(xiàn)段A0A1的長(zhǎng)度）作為損傷指標(biāo)；反之，如果A0屬于簇群2的概率較大，那么根據(jù)協(xié)整方程2求得協(xié)整殘差（線(xiàn)段A0A2的長(zhǎng)度）作為損傷指標(biāo)。

3.2 損傷預(yù)警流程

土木工程結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生的損傷千差萬(wàn)別，而且在服役期間的大部分時(shí)段都處于正常狀態(tài)，缺少或很難建立起完整的損傷樣本庫(kù)，無(wú)法通過(guò)樣本匹配的方式確定未知樣本是否屬于某類(lèi)損傷樣本。最常用的方法是將損傷樣本看作離群點(diǎn)，采用X-bar控制圖［28］實(shí)現(xiàn)損傷預(yù)警。針對(duì)正態(tài)分布的樣本總體，X-bar控制圖根據(jù)小概率事件原理確定警戒線(xiàn)，對(duì)異常事件進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和報(bào)警。

假定結(jié)構(gòu)無(wú)損傷（參考）樣本的協(xié)整殘差滿(mǎn)足正態(tài)分布，根據(jù)99%置信度確定控制上限（Upper Control Limit，UCL）和 控 制 下 限（Lower Control Limit，LCL）分別為

式中CL和σ分別代表協(xié)整殘差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)待測(cè)樣本的協(xié)整殘差落在上下控制限范圍之外，則說(shuō)明結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷。

因?yàn)镚MM聚類(lèi)得到的不同簇群可能存在不同的離散程度（即不同簇群的樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ存在差異），如圖1中簇群2的樣本離散性大于簇群1，導(dǎo)致根據(jù)式（7）確定的控制上下限也會(huì)出現(xiàn)不同：采用簇群2對(duì)應(yīng)的X-bar控制圖進(jìn)行損傷預(yù)警，由于其控制上下限之間的區(qū)域較寬，某些歸屬于簇群1的損傷樣本可能會(huì)被誤認(rèn)為無(wú)損樣本；反之，采用簇群1對(duì)應(yīng)的X-bar控制圖會(huì)導(dǎo)致某些歸屬于簇群2的健康樣本被誤判為損傷樣本。因此，需要消除不同簇群的樣本離散性對(duì)X-bar控制圖的影響，最簡(jiǎn)單的方法是對(duì)歸屬于簇群i的協(xié)整殘差樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，處理后的協(xié)整殘差可表示為

式中σ()i為簇群i所有參考樣本的協(xié)整殘差標(biāo)準(zhǔn)差。理論上，標(biāo)準(zhǔn)化后所有參考樣本的協(xié)整殘差都滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），可采用統(tǒng)一的X-bar控制圖對(duì)不同簇群的待測(cè)樣本進(jìn)行監(jiān)測(cè)。

綜上，基于GMM聚類(lèi)和協(xié)整理論（簡(jiǎn)寫(xiě)為GMM-CI）的損傷預(yù)警方法分為以下4步。

Step 1：模態(tài)參數(shù)識(shí)別。采集無(wú)損傷結(jié)構(gòu)在不同環(huán)境條件下的振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，并采用運(yùn)行模態(tài)分析技術(shù)［33］（如隨機(jī)子空間法、頻域分解法等）識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率作為協(xié)整變量。

Step 2：GMM聚類(lèi)。將Step 1得到的頻率樣本作為參考樣本，利用GMM聚類(lèi)對(duì)其進(jìn)行聚類(lèi)分析。其中，聚類(lèi)數(shù)m，可根據(jù)貝葉斯信息準(zhǔn)則［34］（Bayesian Information Criterion，BIC）確定，其表達(dá)式為

式中L（m）為似然函數(shù)；n(m)為待估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)；s為參考樣本數(shù)量。隨著聚類(lèi)數(shù)k的增加，BIC值會(huì)先減少后增大，選擇BIC最小值對(duì)應(yīng)的m值作為最佳聚類(lèi)數(shù)。

Step 3：估計(jì)協(xié)整方程。對(duì)聚類(lèi)后相同簇群的參考樣本進(jìn)行Johansen檢驗(yàn)，選擇最大特征值對(duì)應(yīng)的協(xié)整向量建立如式（4）所示的協(xié)整方程，同時(shí)獲得該簇群的協(xié)整殘差樣本。

Step 4：建立X-bar控制圖。計(jì)算每個(gè)簇群協(xié)整殘差樣本的標(biāo)準(zhǔn)差σ()i，并按照式（8）對(duì)樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，之后根據(jù)式（7）確定X-bar控制圖的控制上下限。

Step 5：損傷預(yù)警。對(duì)于結(jié)構(gòu)未知狀態(tài)的振動(dòng)響應(yīng)，首先按照Step 1得到其頻率樣本，然后通過(guò)式（3）計(jì)算GMM后驗(yàn)概率確定簇群歸屬，之后利用對(duì)應(yīng)的協(xié)整方程求出協(xié)整殘差，最后根據(jù)式（8）對(duì)協(xié)整殘差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，如果標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)整殘差沒(méi)有落在X-bar控制圖上下限的范圍內(nèi)，則說(shuō)明結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷。

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述方法的有效性，將其應(yīng)用于瑞士Z24橋的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。該橋?yàn)轭A(yù)應(yīng)力混凝土箱梁橋，主跨30 m，兩邊跨均為14 m，如圖2（a）所示。為研究環(huán)境因素以及損傷對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)的影響，從1997年11月11日 到1998年9月11日，Z24橋 安 裝的健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)采集了結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)和包括環(huán)境溫濕度、風(fēng)速、風(fēng)向等在內(nèi)的環(huán)境數(shù)據(jù)。布置的16個(gè)加速度傳感器在監(jiān)測(cè)過(guò)程中只有8個(gè)（編號(hào)3，5，6，7，10，12，14，16）保持正常工作，如圖2（b）和（c）所示。結(jié)構(gòu)漸進(jìn)破壞試驗(yàn)持續(xù)了一個(gè)月（1998年8月9日到1998年9月9日），設(shè)置的損傷［32］依次是橋墩沉降、混凝土脫落、墩臺(tái)滑坡、混凝土鉸接失效、錨頭失效和鋼筋破裂。

圖2 瑞士Z24橋及其加速度傳感器分布［32］Fig.2 Switzerland Z24 bridge and the layout of acceleration sensors［32］

Peeters和De Roeck［6］采 用 隨 機(jī) 子 空 間 法 識(shí) 別Z24橋的前4階模態(tài)頻率，其變化如圖3所示。因?yàn)榄h(huán)境因素的影響，即使結(jié)構(gòu)沒(méi)有出現(xiàn)損傷（樣本點(diǎn)1到3470），其模態(tài)頻率仍出現(xiàn)不同程度的波動(dòng)，而且高階模態(tài)頻率的波動(dòng)性明顯大于低階模態(tài)。漸進(jìn)破壞試驗(yàn)（樣本點(diǎn)3471到3932）導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各階模態(tài)頻率均呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)。

圖3 瑞士Z24橋前4階模態(tài)頻率的變化趨勢(shì)Fig.3 Variations of the first four modal frequencies of the Z24 Bridge

Z24橋的模態(tài)頻率隨著橋梁路面瀝青層溫度的升高而降低，同時(shí)存在明顯的雙線(xiàn)性關(guān)系（如圖4所示），其原因［32］可解釋為：當(dāng)溫度大于0℃時(shí)，路面瀝青的彈性模量改變對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響起主導(dǎo)作用，溫度越高彈性模量越低，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率隨著溫度升高而降低；當(dāng)溫度小于0℃時(shí)，結(jié)冰引起的結(jié)構(gòu)邊界條件改變起主導(dǎo)作用，低溫增強(qiáng)了邊界約束，同時(shí)也增大結(jié)構(gòu)剛度，出現(xiàn)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率隨著溫度降低而增大的現(xiàn)象。從協(xié)整理論的角度看，以模態(tài)頻率作為協(xié)整變量至少存在兩種均衡關(guān)系，是一種非線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系。

圖4 結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率和溫度的雙線(xiàn)性關(guān)系Fig.4 Bi-linear relationship between structural modal frequency and temperature

4.1 損傷預(yù)警結(jié)果

以f1和f2作為協(xié)整變量，將圖3中編號(hào)1到3000的樣本作為參考（訓(xùn)練）樣本，編號(hào)3001到3932的樣本作為待測(cè)樣本（其中編號(hào)3001到3470的樣本是無(wú)損傷樣本，編號(hào)3471到3932的樣本是損傷樣本），采用本文所提基于高斯混合聚類(lèi)和協(xié)整理論的損傷預(yù)警方法預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)損傷。

首先采用BIC準(zhǔn)則確定高斯混合聚類(lèi)的最佳聚類(lèi)數(shù)。如圖5所示，聚類(lèi)數(shù)為3時(shí)的BIC值達(dá)到最小。因此，采用包含3個(gè)高斯分量的GMM對(duì)參考樣本進(jìn)行聚類(lèi)，其結(jié)果如圖6所示。根據(jù)各簇群樣本對(duì)應(yīng)的環(huán)境溫度數(shù)據(jù)（見(jiàn)圖7）可知，簇群1（對(duì)應(yīng)的環(huán)境溫度大于0℃）和簇群3（對(duì)應(yīng)的環(huán)境溫度小于0℃）代表上述兩種由溫度主導(dǎo)的均衡機(jī)制；簇群2（既有大于0℃的樣本，也有小于0℃的樣本）可能是其他環(huán)境因素（風(fēng)速或車(chē)載等）主導(dǎo)的均衡機(jī)制。

圖5 BIC準(zhǔn)則確定GMM聚類(lèi)數(shù)Fig.5 BIC criterion to determine the cluster number

圖6 參考樣本GMM聚類(lèi)結(jié)果Fig.6 GMM clustering results of reference samples

圖7 各簇群模態(tài)頻率與溫度對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.7 Relationship between modal frequencies and temperature in each cluster

對(duì)各簇群的參考樣本進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，設(shè)定置信水平為5%置信水平，則p＜5%（或者t-統(tǒng)計(jì)量小于-1.941）代表變量是平穩(wěn)時(shí)間序列。從表1可出，模態(tài)頻率f1和f2是非平穩(wěn)時(shí)間序列，但其一階差分是平穩(wěn)時(shí)間序列，即模態(tài)頻率f1和f2都具有一階單整性。

表1 模態(tài)頻率f1和f2及其一階差分的ADF檢驗(yàn)結(jié)果（5%置信水平）Tab.1 ADF test for modal frequencies f1，f2 and their first differences（5% confidence level）

確定模態(tài)頻率f1和f2都滿(mǎn)足一階單整條件后，采用Johanson檢驗(yàn)計(jì)算各簇群對(duì)應(yīng)的協(xié)整方程，其表達(dá)式為

利用上式可得不同簇群參考樣本的協(xié)整殘差，之后根據(jù)式（8）對(duì)協(xié)整殘差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，最后確定X-bar控制圖的控制上下限。

對(duì)于待測(cè)樣本，根據(jù)式（3）計(jì)算其屬于不同簇群的概率，選擇最大概率值對(duì)應(yīng)的簇群作為最終歸屬，之后將樣本代入式（10）中對(duì)應(yīng)簇群的協(xié)整方程，求得協(xié)整殘差并按照式（8）對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，最后通過(guò)X-bar控制圖進(jìn)行損傷預(yù)警，結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看出：參考樣本的協(xié)整殘差不存在明顯的變化趨勢(shì)（樣本點(diǎn)1500附近的異常突變與圖6中畫(huà)圈部分樣本的模態(tài)識(shí)別偏差有關(guān)），說(shuō)明采用本文所提方法能夠有效消除非線(xiàn)性環(huán)境因素的影響；待測(cè)損傷樣本的協(xié)整殘差隨損傷的累積有變大的趨勢(shì)，說(shuō)明協(xié)整殘差能體現(xiàn)損傷的相對(duì)嚴(yán)重程度。需要指出的是，待測(cè)樣本中有4.89%的無(wú)損傷樣本被誤判為損傷樣本，2.38%的損傷樣本被誤判為無(wú)損傷樣本。為進(jìn)一步分析造成上述誤差的原因，圖9給出了歸屬于簇群1的參考樣本以及所有待測(cè)樣本的分布情況（待測(cè)樣本的聚類(lèi)結(jié)果均為簇群1）。從圖中可以看出，出現(xiàn)誤判的待測(cè)樣本主要位于警戒線(xiàn)2附近：對(duì)于待測(cè)無(wú)損傷樣本，理論上99%置信度確定的X-bar控制圖會(huì)有1%的樣本均勻分布在兩條警戒線(xiàn)之外，而實(shí)際位于警戒線(xiàn)2以下的樣本有19個(gè)，位于警戒線(xiàn)1以上的樣本只有4個(gè)，其原因最有可能是局部樣本的頻率識(shí)別誤差過(guò)大，導(dǎo)致位于警戒線(xiàn)2以下的誤判樣本遠(yuǎn)超過(guò)位于警戒線(xiàn)1以上的樣本；至于損傷樣本，由于漸進(jìn)破壞試驗(yàn)初期損傷引起的協(xié)整殘差變化不明顯，再加上測(cè)量噪聲引起的樣本不確定性，導(dǎo)致個(gè)別損傷樣本被誤認(rèn)為無(wú)損傷樣本。

圖8 基于GMM-CI方法的損傷預(yù)警結(jié)果（以f1和f2作為協(xié)整變量）Fig.8 Damage alert results based on GMM-CI method（using f1 and f2 as cointegration variables）

圖9 參考樣本與待測(cè)樣本的散點(diǎn)分布Fig.9 Scatter distribution of reference sample and samples to be tested

4.2 不同協(xié)整方法比較結(jié)果

為比較不同協(xié)整方法的結(jié)果，圖10給出了傳統(tǒng)基于線(xiàn)性協(xié)整理論的損傷預(yù)警結(jié)果。由于線(xiàn)性協(xié)整模型無(wú)法完全消除非線(xiàn)性環(huán)境因素的影響，損傷樣本的誤判率高達(dá)41.77%，在識(shí)別精度上遠(yuǎn)低于本文所提的基于GMM聚類(lèi)相結(jié)合的協(xié)整理論的損傷預(yù)警方法。

圖10 基于線(xiàn)性協(xié)整理論的損傷預(yù)警結(jié)果Fig.10 Damage alert using linear co-integration theory

圖11為Shi等［31］提出的基于區(qū)制轉(zhuǎn)移的非線(xiàn)性協(xié)整方法的損傷預(yù)警結(jié)果。該方法利用環(huán)境溫度信息識(shí)別出模態(tài)頻率之間存在兩種協(xié)整關(guān)系（以0.98℃為界），通過(guò)待測(cè)樣本對(duì)應(yīng)的溫度信息劃分其協(xié)整關(guān)系歸屬，之后根據(jù)對(duì)應(yīng)的協(xié)整方程求得協(xié)整殘差作為損傷指標(biāo)。由于考慮了溫度信息，基于區(qū)制轉(zhuǎn)移的非線(xiàn)性協(xié)整方法的誤判率（無(wú)損傷樣本為2.77%，損傷樣本為1.51%）均低于本文所提方法。但是，考慮環(huán)境因素的監(jiān)測(cè)難度以及成本控制（比如邊界條件、車(chē)載等），本文所提方法無(wú)需借助環(huán)境信息，更易于實(shí)際應(yīng)用。

圖11 基于區(qū)制轉(zhuǎn)移的非線(xiàn)性協(xié)整方法得到的協(xié)整殘差（利用f1-f4和溫度數(shù)據(jù)）Fig.11 Cointegration residuals based on regime-switching cointegration approach（using f1-f4 and temperature data）

4.3 聚類(lèi)個(gè)數(shù)對(duì)損傷預(yù)警結(jié)果的影響

BIC準(zhǔn)則作為理想的模型選擇方法，在實(shí)際應(yīng)用中易受樣本分布和測(cè)量噪聲的影響，很有可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果，有必要研究不同聚類(lèi)數(shù)對(duì)損傷預(yù)警精度的影響，并提出合理的聚類(lèi)數(shù)建議。如圖12所示，當(dāng)聚類(lèi)數(shù)取2時(shí)，待測(cè)損傷樣本的誤判率較大，出現(xiàn)欠擬合現(xiàn)象；當(dāng)聚類(lèi)數(shù)取3，4和5時(shí)，損傷預(yù)警的誤判率均處于5%附近。顯然，欠擬合會(huì)大大降低本文所提方法的損傷預(yù)警能力，必須設(shè)法避免聚類(lèi)數(shù)取值過(guò)小導(dǎo)致?lián)p傷預(yù)警失效。

圖12 不同聚類(lèi)數(shù)對(duì)損傷預(yù)警精度的影響Fig.12 Influences of different cluster numbers on damage alert accuracy

考慮GMM聚類(lèi)的目的是將非線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系轉(zhuǎn)化為多個(gè)線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系的組合，因此聚類(lèi)數(shù)的選擇理論上應(yīng)保證聚類(lèi)后各個(gè)簇群都不存在非線(xiàn)性特征。圖13（a）中，簇群2由于聚類(lèi)數(shù)不足仍具有非線(xiàn)性特征，采用線(xiàn)性協(xié)整理論進(jìn)行建模必然會(huì)有誤差。根據(jù)分段線(xiàn)性化思想，簇群數(shù)越多（分段數(shù)越多）越能近似非線(xiàn)性特征，比如圖13（b）簇群1，4和5相比于圖13（a）簇群1有更多細(xì)節(jié)上的線(xiàn)性特征，因此聚類(lèi)數(shù)取4或5仍能較為準(zhǔn)確地預(yù)警損傷。但是，聚類(lèi)數(shù)取值太大不僅會(huì)造成過(guò)擬合現(xiàn)象，而且嚴(yán)重影響GMM聚類(lèi)的計(jì)算效率和精度。所以本文建議在BIC準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，借助交叉驗(yàn)證［35］方法產(chǎn)生多個(gè)備選聚類(lèi)數(shù)，選擇較大者作為最終聚類(lèi)數(shù)。

圖13 不同聚類(lèi)數(shù)對(duì)GMM聚類(lèi)結(jié)果的影響Fig.13 GMM clustering results with different cluster numbers

4.4 多協(xié)整變量的損傷預(yù)警

高維數(shù)據(jù)一般存在多種協(xié)整關(guān)系，不同的協(xié)整關(guān)系對(duì)損傷預(yù)警精度的影響很大。實(shí)際應(yīng)用中可以采 用 主成分分 析［36］（Principle Component Analysis，PCA）將高維數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，通常以第一主成分和第二主成分作為新的協(xié)整變量，利用二維數(shù)據(jù)協(xié)整關(guān)系的唯一性特點(diǎn)避開(kāi)高維數(shù)據(jù)協(xié)整關(guān)系的選擇難題。除此之外，降維不僅能夠簡(jiǎn)化GMM聚類(lèi)的復(fù)雜度，而且二維空間便于人工判斷BIC準(zhǔn)則確定的聚類(lèi)數(shù)以及GMM聚類(lèi)結(jié)果是否合理。

以 模 態(tài) 頻 率f1，f2和f3為 例，同 樣 選 擇 圖3前3000個(gè)數(shù)據(jù)作為參考樣本，采用PCA對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，將得到的第一主成分P1和第二主成分P2作為新的協(xié)整變量，然后采用GMM聚類(lèi)對(duì)降維后的參考樣本進(jìn)行聚類(lèi)，其結(jié)果如圖14所示。相比于圖6，其簇群分布顯得更加緊湊，但依然能夠區(qū)分出3種協(xié)整關(guān)系。對(duì)于待測(cè)樣本，同樣需要經(jīng)過(guò)PCA降維，再確定其簇群歸屬。

圖14 PCA降維后參考樣本的GMM聚類(lèi)結(jié)果Fig.14 GMM clustering results of reference samples after PCA

表2為各聚類(lèi)參考樣本的ADF檢驗(yàn)結(jié)果。從表中可以看出，主成分P1和P2是非平穩(wěn)時(shí)間序列，但其一階差分是平穩(wěn)時(shí)間序列，說(shuō)明PCA分析得到的P1和P2都具有一階單整性。

表2 主成分P1和P2及其一階差分的ADF檢驗(yàn)結(jié)果（5%置信水平）Tab.2 ADF test for principle components P1，P2 and their first differences（5% confidence level）

確定主成分P1和P2都滿(mǎn)足一階單整條件后，采用Johanson檢驗(yàn)計(jì)算出各簇群對(duì)應(yīng)的協(xié)整方程，其表達(dá)式為

之后的損傷預(yù)警參考4.1節(jié)。

圖15和16分別給出了未采用PCA和采用PCA后本文所提方法的損傷預(yù)警結(jié)果。前者以最小特征值對(duì)應(yīng)的協(xié)整向量建立各簇群的協(xié)整方程，無(wú)損傷樣本和損傷樣本的誤判率分別為3.40%和2.60%；后者利用PCA降維技術(shù)避開(kāi)協(xié)整向量的選擇問(wèn)題，無(wú)損傷樣本和損傷樣本的誤判率分別為2.98%和3.03%。二者誤判率相差不大，說(shuō)明采用PCA對(duì)多維協(xié)整變量進(jìn)行降維處理對(duì)損傷預(yù)警精度的影響不大。

圖15 基于GMM-CI方法的損傷預(yù)警結(jié)果（最小特征值對(duì)應(yīng)的協(xié)整向量）Fig.15 Damage alert results based on GMM-CI method（using the cointegration vector corresponding to the smallest eigenvalue）

圖16 基于PCA-GMM-CI方法的損傷預(yù)警結(jié)果Fig.16 Damage alert results based on PCA-GMM-CI method

最后，圖17給出了基于線(xiàn)性協(xié)整方法的損傷預(yù)警結(jié)果。由于未采用GMM聚類(lèi)對(duì)非線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系進(jìn)行線(xiàn)性化處理，其損傷樣本的誤判率仍有42.64%。需要說(shuō)明的是，無(wú)論是基于GMM-CI的方法，還是基于線(xiàn)性協(xié)整的方法，都存在協(xié)整向量的選擇問(wèn)題。如果選擇最大特征值對(duì)應(yīng)的協(xié)整方程進(jìn)行損傷預(yù)警，兩種方法的損傷樣本誤判率均高達(dá)90%以上。其原因可解釋為：雖然最大特征值對(duì)應(yīng)的協(xié)整方程平穩(wěn)性最強(qiáng)，但也說(shuō)明這種協(xié)整狀態(tài)很難被損傷打破（或者說(shuō)對(duì)損傷不敏感），比如基于線(xiàn)性協(xié)整的方法中對(duì)應(yīng)于最大特征值的協(xié)整方程為

圖17 基于線(xiàn)性協(xié)整方法的損傷預(yù)警結(jié)果（最小特征值對(duì)應(yīng)的協(xié)整向量）Fig.17 Damage alert results based on linear cointegration method（using the cointegration vector corresponding to the smallest eigenvalue）

根據(jù)圖3可知，f2對(duì)損傷最為敏感，但式（12）中其權(quán)重只有0.73，導(dǎo)致?lián)p傷引起的協(xié)整殘差εt變化過(guò)小而被噪聲覆蓋。

5 結(jié)論

為解決傳統(tǒng)線(xiàn)性協(xié)整理論無(wú)法消除非線(xiàn)性環(huán)境因素影響的問(wèn)題，本文將高斯混合聚類(lèi)引入到基于協(xié)整的損傷預(yù)警方法。該方法以結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的協(xié)整關(guān)系為基礎(chǔ)，采用高斯混合聚類(lèi)對(duì)存在非線(xiàn)性協(xié)整關(guān)系的協(xié)整變量進(jìn)行分段線(xiàn)性化處理，聚類(lèi)后相同簇群的樣本便可采用線(xiàn)性協(xié)整理論進(jìn)行建模。對(duì)于待測(cè)樣本，先通過(guò)計(jì)算GMM后驗(yàn)概率確定其簇群歸屬，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的協(xié)整方程求得協(xié)整殘差，最后利用X-bar控制圖監(jiān)測(cè)協(xié)整殘差是否出現(xiàn)異常進(jìn)行損失預(yù)警。

通過(guò)Z24橋的長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和破壞試驗(yàn)對(duì)上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：（1）采用高斯混合聚類(lèi)將協(xié)整變量間的非線(xiàn)性關(guān)系轉(zhuǎn)化為多個(gè)線(xiàn)性關(guān)系的集合，從而將基于協(xié)整理論的損傷預(yù)警方法擴(kuò)展到非線(xiàn)性協(xié)整理論；（2）利用主成分分析對(duì)協(xié)整變量進(jìn)行降維處理可以在保證損傷預(yù)警精度的前提下，避開(kāi)高維數(shù)據(jù)協(xié)整關(guān)系的選擇問(wèn)題，同時(shí)簡(jiǎn)化高斯混合模型的復(fù)雜度；（3）本文所提方法不需要測(cè)量環(huán)境信息，能夠有效消除實(shí)際工程中非線(xiàn)性環(huán)境因素對(duì)損傷預(yù)警的影響，降低損傷預(yù)警的誤判率。

GMM聚類(lèi)采用EM算法估計(jì)模型參數(shù)，聚類(lèi)結(jié)果易受EM算法的初值影響，導(dǎo)致?lián)p傷預(yù)警結(jié)果產(chǎn)生顯著變化，如何提高GMM聚類(lèi)的精度和穩(wěn)定性是未來(lái)重點(diǎn)研究方向。

致謝感謝比利時(shí)魯汶大學(xué)的Guido De Roeck教授提供Z24橋的模態(tài)頻率和環(huán)境溫度數(shù)據(jù)。