艦船往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算公式的推導(dǎo)、檢驗和修正

張 會, 王 安, 程 健, 屈澤均

(1.海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266199；2.青島大學(xué) 自動化學(xué)院, 山東 青島 266071)

搜索行動決策是艦船海上作戰(zhàn)行動決策的重要內(nèi)容。根據(jù)任務(wù)背景和行動策略的不同，艦船海上搜索行動主要有檢查搜索、應(yīng)召搜索和巡邏搜索3種。直線往返搜索作為巡邏搜索的一種基本樣式，因為組織簡單，在部隊演習(xí)訓(xùn)練和海上封控行動籌劃中運用廣泛。而作為作戰(zhàn)雙方博弈的重點，更復(fù)雜的巡邏搜索樣式和搜索策略則是作戰(zhàn)決策理論研究的重點。

可靠的搜索效能評估是搜索行動優(yōu)化決策的基礎(chǔ)。艦船搜索效能評估方法主要包括仿真方法和解析方法兩類。已有的艦船搜索行動效能分析方法包括單艦船往返搜索發(fā)現(xiàn)概率計算的仿真方法[1]、單艦船往返搜索發(fā)現(xiàn)概率計算的解析方法[2]，以及其他樣式的搜索行動效能評估的仿真和解析方法[3-4]。

隨著協(xié)同作戰(zhàn)和無人集群系統(tǒng)技術(shù)的發(fā)展，編隊和協(xié)同搜索行動決策成為搜索行動決策技術(shù)研究的熱點。為降低研究難度，一般使用仿真方法構(gòu)建編隊和協(xié)同搜索效能評估系統(tǒng)[5-6]，采用這種方法可實現(xiàn)對編隊樣式和協(xié)同策略的靈活設(shè)計。由于仿真方法計算復(fù)雜度高，當(dāng)搜索平臺數(shù)量較多時只能通過人為的模式將搜索優(yōu)化限制在相對很小的空間內(nèi)，難以保證方案優(yōu)化結(jié)果的可靠。

為實現(xiàn)高效的編隊和協(xié)同搜索行動效能評估，出現(xiàn)了以單平臺搜索效能計算解析方法為基礎(chǔ)的多平臺協(xié)同搜索效能評估和方案優(yōu)化方法[7]，這種方法的研究對單平臺解析計算方法的可靠性提出了更高的要求。已有單平臺搜索行動效能解析計算方法多為近似方法，計算結(jié)果的可靠性沒有保證，因此限制了其在編隊和協(xié)同搜索行動效能評估和方案優(yōu)化方法研究中的應(yīng)用。

作為多平臺搜索效能評估方法研究的基礎(chǔ)，本文建立模型進行單艦船往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算公式推導(dǎo)，并使用仿真方法對其正確性進行檢驗。

1 單艦船往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算模型

攔截搜索，也稱線搜索，即在作戰(zhàn)海區(qū)設(shè)置攔截陣地，艦船在陣地內(nèi)按照一定的樣式機動搜索，意圖發(fā)現(xiàn)從該作戰(zhàn)海區(qū)經(jīng)過的目標(biāo)。為便于分析，進行攔截搜索效能分析時可將搜索者的機動過程簡化為分段的勻速直線運動。

攔截搜索是一種常見的對運動目標(biāo)的搜索行動。如果事先能根據(jù)目標(biāo)任務(wù)方向、類型和作戰(zhàn)海區(qū)水文條件等確定目標(biāo)的機動方向、機動速度以及目標(biāo)的通過位置和通過時間范圍，則可將攔截搜索效能分析問題抽象為一種典型的攔截搜索效能分析問題，即目標(biāo)航向和速度已知，目標(biāo)通過位置和通過時間均在一定區(qū)間內(nèi)均勻分布情形下的攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算問題，稱為典型攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算問題。針對典型攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算問題所進行的研究，可在一定程度上揭示攔截搜索行動的一般規(guī)律。

對于典型攔截搜索，當(dāng)搜索樣式為單兵力往返搜索時，有一個常用的效能計算公式[2]，本文使用“基于有效相對搜索區(qū)分析” 的方法對該公式的計算原理進行分析，并編制仿真計算程序?qū)ζ溥M行檢驗，發(fā)現(xiàn)其計算結(jié)果誤差較大。為消除或減小計算誤差，通過進一步分析對計算公式進行修正，使用仿真方法驗證修正后公式的正確性。最后對使用“基于有效相對搜索區(qū)分析” 的方法進行一般樣式或多艦船協(xié)同的攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算的難點進行分析，給出了開展研究工作的思路。

所謂經(jīng)典往返攔截搜索，指的是搜索者的搜索線為一條與目標(biāo)機動方向相垂直的直線段，搜索者在搜索線上往返機動，搜索者搜索線覆蓋范圍與目標(biāo)通過搜索線的位置范圍一致，搜索者搜索時間范圍覆蓋目標(biāo)通過搜索線時間，目標(biāo)通過位置和通過時間均在各自可能取值范圍內(nèi)均勻分布的一種攔截搜索情形。

經(jīng)典往返攔截搜索的搜索過程如圖1所示，目標(biāo)以某速度自上向下機動，設(shè)置一條與目標(biāo)機動方向垂直、長度為L的搜索線AB，搜索艦船以某速度在搜索線AB上往返機動，搜索艦船發(fā)現(xiàn)目標(biāo)當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)在某個時刻進入艦船探測扇面。作為經(jīng)典搜索，假設(shè)目標(biāo)通過搜索線的位置在搜索線AB上均勻分布，通過時間在區(qū)間[Tx,Ts]內(nèi)均勻分布，其中Tx、Ts分別為目標(biāo)通過搜索線的最早和最晚時間。

圖1 往返巡邏攔截搜索過程示意圖

2 基于有效搜索區(qū)分析的單艦船往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算方法

運用相對運動原理，可以將典型情形下的攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算轉(zhuǎn)化為求“搜索艦船有效相對搜索區(qū)面積與目標(biāo)可能位置區(qū)域面積的比值”，然后通過對搜索者有效搜索區(qū)分析得到攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率的解析計算公式。

2.1 基于有效搜索區(qū)分析的搜索發(fā)現(xiàn)概率計算原理

將搜索者的探測范圍簡化為一個圓形區(qū)域，則搜索者機動一個直航段，其探測圓掃過的區(qū)域為一個膠囊形區(qū)域，稱為搜索者該直航段的搜索區(qū)，如圖2所示。圖2中，搜索者對目標(biāo)的探測距離為ds，直線段P1P2為搜索者的一個直線航跡段。搜索者航段P1P2的搜索區(qū)為一個半徑為ds的半圓Q1W1Q2、一個寬度為2ds的矩形Q1Q2Q3Q4和一個半徑為ds的半圓Q3W2Q4組成的膠囊型區(qū)域。

圖2 單航段搜索區(qū)示意圖

搜索艦船機動多個直航段，所形成的搜索區(qū)就是所有其單航段搜索區(qū)的并，如果是多艦船聯(lián)合搜索，則搜索區(qū)就是全部艦船的所有單航段搜索區(qū)的并。

顯然，不論是單艦船搜索還是多艦船聯(lián)合搜索，如果目標(biāo)不動，搜索者能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)位于搜索者搜索區(qū)內(nèi)。如果目標(biāo)靜止不動且位置在某個區(qū)域內(nèi)均勻分布，則搜索者發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率等于“搜索者搜索區(qū)位于目標(biāo)可能位置區(qū)域內(nèi)部分的面積”與“目標(biāo)可能位置區(qū)域面積”的比值。為簡潔，以下稱“搜索者搜索區(qū)位于目標(biāo)可能位置區(qū)域內(nèi)部分”為“搜索者的有效搜索區(qū)”。

2.2 單艦船往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算公式推導(dǎo)

為了將搜索區(qū)概念用于攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算，運用相對運動原理對攔截搜索過程進行分析。具體就是“將目標(biāo)看成不動，分析搜索者的相對運動所形成的搜索區(qū)，即相對搜索區(qū)”。

(1)往返攔截搜索相對搜索區(qū)和目標(biāo)可能位置區(qū)域

以圖1中情形為例，將搜索者某次位于搜索線左端點時刻定義為0時刻，將目標(biāo)看成在其0時刻位置不動，繪制出搜索者的相對機動航跡段及各航段搜索區(qū)如圖3所示。圖3左側(cè)從下向上的兩個相對運動速度合成三角形，分別為搜索者從左向右機動和從右向左機動時的搜索者相對運動速度合成三角形，其中，Vw、Vm、Vx分別為搜索者運動速度向量、目標(biāo)運動速度向量和搜索者的相對運動速度向量。

從0時刻開始，搜索者從左向右機動時，由相對運動速度合成三角形可以得到，其相對運動方向為oA1方向，到達右端點后，搜索者改為由右向左機動，相對運動方向變?yōu)锳1A2方向，然后搜索者再從左向右機動，……，如此往復(fù)，搜索者的相對搜索區(qū)為由這些直航段所形成的膠囊型區(qū)域組成的多個膠囊型區(qū)域的并。從0時刻開始的3個搜索單程，搜索者的相對運動航跡為折線oA1A2A3，相對搜索區(qū)域則為圖3中的3個膠囊型區(qū)域的并。

圖3 相對有效搜索區(qū)和目標(biāo)可能位置區(qū)域示意圖

如圖3所示，以搜索線左端點為坐標(biāo)原點，以水平向右的方向為x軸正向，建立平面直角坐標(biāo)系，則目標(biāo)0時刻位置橫坐標(biāo)取值范圍為[0,L]，再由目標(biāo)通過巡邏線時刻范圍[Tx,Ts]推算目標(biāo)0時刻位置縱坐標(biāo)范圍為[VmTx,VmTs]，故目標(biāo)0時刻的可能位置區(qū)域為一個矩形，如圖3中矩形oE1E3E2所示，該矩形面積為

S=L(Ts-Tx)Vm

(1)

由對典型攔截搜索目標(biāo)通過位置和通過時間的假設(shè)可知，目標(biāo)0時刻位置在矩形oE1E3E2內(nèi)均勻分布。

如果目標(biāo)通過時間范圍區(qū)間長度為其一個巡邏單程時間的m倍，則搜索艦船一個巡邏單程對應(yīng)的目標(biāo)可能位置區(qū)域為

(2)

式中T為搜索艦船一個巡邏單程時間。

(2)往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算公式推導(dǎo)

下面分析搜索者的有效搜索區(qū)面積，也就是相對搜索區(qū)位于目標(biāo)可能位置區(qū)域內(nèi)的面積。觀察搜索者0時刻后的第一個搜索單程的相對搜索區(qū)，即相對運動航跡線段oA1的搜索區(qū)，其位于目標(biāo)可能位置區(qū)域內(nèi)的部分為圖4中的曲邊多邊形區(qū)域D1C1B2D2C4B3。該圖形面積近似等于矩形B1B2B4B3的面積，事實上，矩形B1B2B4B3比有效搜索區(qū)D1C1B2D2C4B3多了兩個面積相等的三角形oB1D1和A1D2B4，少了兩個面積相等的扇形oC1B2和A1C4B3，鑒于三角形的面積和扇形的面積相差不大，將偏差忽略。

圖4 單航段有效相對搜索區(qū)面積估算原理示意圖

矩形B1B2B4B3的面積為直線段oA1的搜索區(qū)的矩形部分，即

(3)

綜合以上分析可得，當(dāng)m為整數(shù)時典型攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率的解析計算公式為

(4)

整理得

(5)

這是一個經(jīng)常被使用的攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算公式[2]。該公式被用于進行多平臺線式搜索發(fā)現(xiàn)概率估算和搜索方案優(yōu)化決策[5]。

3 往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算公式仿真檢驗和修正

因為編程原理簡單、不易出錯，仿真方法經(jīng)常被用于計算效率要求不高情形下各種搜索行動的效能分析以及其他方法的正確性檢驗[1,3，6-8]。為檢驗式(5)計算結(jié)果的可靠性，編制計算機程序進行攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率仿真計算對比。

(1)仿真檢驗

取目標(biāo)速度18節(jié)(≈33.3 km/h)，搜索艦船速度8節(jié)(≈14.8 km/h)、搜索線長度12海里(≈22.2 km)、對目標(biāo)探測距離3海里(≈5.6 km)。取目標(biāo)可能通過位置范圍與艦船巡邏線覆蓋位置范圍一致，用式(5)計算得到的艦船發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率為0.547 2。取目標(biāo)通過時間范圍為0～72 h，樣本容量10 000，仿真時間步長10 s，仿真結(jié)果為0.471 0，二者偏差較大，式(5)的計算結(jié)果偏大。

取目標(biāo)速度8節(jié)(≈14.8 km/h)，其他參數(shù)值保持不變，用式(5)計算得到的發(fā)現(xiàn)概率為0.707 1，而仿真結(jié)果為0.582 2，式(5)的計算結(jié)果還是偏大。

(2)計算公式修正

為找出式(5)計算結(jié)果偏大的原因，對圖3中搜索者有效搜索區(qū)進行仔細觀察發(fā)現(xiàn)，除了前面提及的計算單航段有效搜索區(qū)面積所用矩形面積實際上比搜索者單航段有效搜索面積略大外，搜索者相鄰兩個單程搜索區(qū)之間還有重疊，進行多階段搜索有效搜索區(qū)面積計算時，沒有將重疊部分的面積減去?？紤]這兩點，對單航程有效搜索區(qū)面積計算公式進行以下兩項修正：

最后得到，一個巡邏單程搜索艦船的有效搜索面積實際為

(6)

目標(biāo)可能位置區(qū)域不變，故攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率應(yīng)該為

(7)

針對前述的計算情形1，使用式(7)得到的發(fā)現(xiàn)概率計算結(jié)果為0.472 3，與仿真結(jié)果相吻合。針對計算情形2，使用式(7)得到的發(fā)現(xiàn)概率計算結(jié)果0.582 2，與仿真結(jié)果同樣吻合。

取目標(biāo)速度18節(jié)(≈33.3 km/h)，搜索者搜索速度8節(jié)(≈14.8 km/h)、對目標(biāo)探測距離3海里(≈5.6 km)、巡邏線長度范圍10～20海里(≈18.52～37.04 km)，使用式(5)、式(7)以及仿真分別計算得到不同巡邏線長度時搜索者發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率值，并將計算結(jié)果繪制成曲線，如圖5所示。圖5中，橫坐標(biāo)為巡邏線長度，單位海里(1海里≈1.852 km)，縱坐標(biāo)為搜索者發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率，取值較大的紅色光滑曲線為式(5)的計算結(jié)果，值較小的綠色光滑曲線為式(7)的計算結(jié)果，值較小的藍色非光滑曲線為仿真法所得結(jié)果。由圖5可以看出，修正后的式(7)計算結(jié)果與仿真結(jié)果吻合，說明其是正確的。

圖5 不同方法計算所得發(fā)現(xiàn)概率曲線比較圖

4 計算公式及研究思路的適應(yīng)性分析

式(7)是假設(shè)目標(biāo)速度和航向確定情況下的往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算公式。實際的作戰(zhàn)行動決策過程中，會遇到目標(biāo)速度和目標(biāo)航向同樣具有不確定性以及平臺搜索樣式更加靈活的情形，能否將該公式用于這些情況下的發(fā)現(xiàn)概率估算，或者是否可將該公式的研究方法推廣應(yīng)用于這些情形下的發(fā)現(xiàn)概率計算公式推導(dǎo)呢？為回答這個問題，進行計算公式對目標(biāo)信息不確定性的適應(yīng)性和研究思路對攔截搜索樣式變化適應(yīng)性的分析。

(1)計算公式對目標(biāo)信息不確定性的適應(yīng)性分析

假設(shè)除了目標(biāo)通過位置和通過時間的不確定性外，目標(biāo)速度和航向也是不能完全確定的[9-10]。將目標(biāo)速度和目標(biāo)航向均描述為隨機變量，使用仿真確定搜索行動發(fā)現(xiàn)概率，與使用式(7)計算所得結(jié)果進行比較。

取巡邏線長度10海里(≈18.52 km)，其他參數(shù)同前，假設(shè)目標(biāo)速度和航向均服從均勻分布，取不同的目標(biāo)速度分布均方差和目標(biāo)航向分布均方差，得到的發(fā)現(xiàn)概率計算偏差隨目標(biāo)速度散布均方差變化曲線如圖6所示，發(fā)現(xiàn)概率計算偏差隨目標(biāo)航向散布均方差變化曲線如圖7所示。

由圖6和圖7可以看出，當(dāng)目標(biāo)速度均方差和目標(biāo)航向散布均方差較小時，計算結(jié)果偏差較小，故一定情況下仍可使用式(7)進行發(fā)現(xiàn)概率計算。

比較圖6和圖7還可發(fā)現(xiàn)，對比計算偏差隨目標(biāo)速度均方差的變化，計算偏差隨目標(biāo)航向均方差的變化率更大，且偏差值為正值，即目標(biāo)航向不確定情形下式(7)的計算結(jié)果偏大，分析其原因，是因為部分樣本對應(yīng)的目標(biāo)0時刻位置超出理論分析所使用的目標(biāo)可能位置區(qū)域，理論計算所使用的目標(biāo)可能位置區(qū)域小于實際的目標(biāo)位置區(qū)域，因此所得概率值偏大。

圖6 發(fā)現(xiàn)概率計算偏差隨目標(biāo)速度散布均方差變化曲線

圖7 發(fā)現(xiàn)概率計算偏差隨目標(biāo)航向散布均方差變化曲線

(2)研究思路對攔截搜索樣式變化的適應(yīng)性

為滿足戰(zhàn)法設(shè)計靈活性的需要，需要給出任意樣式的攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算的方法，以及更多情形下的多實體協(xié)同搜索效能分析方法[11-13]。若使用本文所用“基于有效相對搜索區(qū)分析” 的方法進行任意樣式的攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算，需要進行數(shù)量較多且相互關(guān)系多樣的單航段搜索區(qū)合并圖形面積的計算。

由本文對單艦船往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率公式的推導(dǎo)和修正過程可以看出，由于涉及不同航段搜索區(qū)合并圖形面積的計算，即便是對單艦船的非常簡單的搜索樣式，攔截搜索效能計算公式的推導(dǎo)也是比較困難且極易出錯的。相比往返搜索，其他樣式搜索的搜索區(qū)更為復(fù)雜，而多艦船聯(lián)合搜索時，包含的不同直線航段數(shù)更多，形成的聯(lián)合搜索區(qū)更難以直接給出面積計算公式。

要實現(xiàn)對任意樣式攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率的高效計算，需要研究專門的聯(lián)合搜索區(qū)面積計算算法或設(shè)法提高仿真方法的計算效率。任意樣式攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算方法研究是下一步的一項重點工作。

5 結(jié)論

攔截搜索是反潛戰(zhàn)中重要的搜索樣式，本文使用“基于有效相對搜索區(qū)分析” 的方法對常用的單艦船往返攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算公式進行了理論推導(dǎo)和仿真檢驗，并根據(jù)檢驗結(jié)果和進一步的理論分析對其進行修正，得到更為精確的計算公式，為任意樣式攔截搜索發(fā)現(xiàn)概率計算公式推導(dǎo)和算法設(shè)計提供了思路。根據(jù)戰(zhàn)場實際，除了典型攔截搜索行動效能計算外，還需要研究目標(biāo)航向和速度不是確定值情形下的發(fā)現(xiàn)概率計算，這是下一步工作的另一個重點。