曲邊平面磚的點陣原理與工程設(shè)計

李效東

（國防科技大學(xué) 文理學(xué)院，湖南 長沙410073）

長久以來，人們常用一種正規(guī)形狀（如四方形、矩形、正六邊形等）的平面磚無間隙、無重疊地鋪設(shè)地面或墻面等任意面積的平面F。但是在建筑技術(shù)（地磚、墻磚、大型穹頂、互鎖磚等）、平面裝飾藝術(shù)（紡織品、墻紙等）、實用技術(shù)（拼接家具木板和地板等）和眾多工業(yè)領(lǐng)域均希望有多種非正規(guī)形狀的多邊形甚至曲線邊緣的平面磚型可供選擇。這樣不僅可以產(chǎn)生各種不同風(fēng)格的視覺效果，也可能因為磚間的接觸線和接觸角的改變而優(yōu)化工程施工技術(shù)和實用性能。此外，平面磚的幾何規(guī)律和對稱性在科學(xué)研究中具有重要意義，如可以幫助理解晶體的晶面結(jié)構(gòu)[1-2]以及外延薄膜、分子自組裝等現(xiàn)象。

平面磚藝術(shù)的產(chǎn)生可追溯到人類的早期文明[3-4]。人們早已發(fā)現(xiàn)，有些非規(guī)則形狀的平面磚可以拼合鋪排成如圖1-b，c 所示的圖案。多年以來，人們不斷地發(fā)現(xiàn)了許多不同形狀的，周期性和非周期性的平面磚型，有的還詳細描述了具體多邊形平面磚的幾何參數(shù)。Grünbaum 的專著[5]以巨大的文獻量概括了多年來在此領(lǐng)域的研究積累。盡管平面磚的復(fù)雜性給系統(tǒng)化描述帶來一定的分歧，但仍可進行大致的分類。圖2 歸納了不同類型的多邊形及其拼合方式。為什么一種看起來本身似乎不具備任何對稱性的多邊形[6-7]，甚至曲線邊緣的平面能夠“湊巧”成為平面磚？怎樣按照一定的規(guī)則設(shè)計出不同類型和風(fēng)格的平面磚？本文的研究目的是探索這些問題的答案。

圖1 平面磚及其鋪排實例

1 定義

本文提出一類全部邊緣可為任意曲線的點陣型平面單磚T，其可以無間隙，無重疊，周期性地鋪排成無限大平面F。為了明確概念，本文將曲邊T 的討論范圍作以下規(guī)定。（1）周期性（periodic），排除圖2-a 中的螺旋性[8]，因其不可用平面點陣表示，且鋪設(shè)平面受限；（2）單形（monohedral），排除圖2-b 中的復(fù)形，或多種磚形混拼；（3）單面（isohedral），排除圖2-c 中的手性雙面磚。因地磚、墻磚的正反兩面材質(zhì)不同，手性對映體實際上屬于特殊的雙形。（4）相鄰磚線段全接觸（normal），此為曲邊嚙合的幾何要求，故排除圖2-d，e 中的線段的非全接觸，盡管很多復(fù)形和手性對映體也能形成曲邊磚，但暫不在此討論。本文僅限于圖2-f 中單形、單面的T。

圖2 不同類型的多邊形平面磚

無論T 的曲邊形狀如何復(fù)雜，均能以某種凸角多邊形（convex polygon）作為基形，在保持基形面積不變的前提下，其直線邊按照一定規(guī)律曲線化。為數(shù)眾多的多邊形固然可以鋪滿F，但只有滿足一定幾何要求的多邊形才可以全曲線化而成為T 的基形。

按此定義的邊緣可全曲線化的平面磚T 分為“基礎(chǔ)平面磚”TE、三種“多重平面磚”TN、TNX和TNX/2。其中TE可以順著平面上的兩個特定方向（或軸）周期性地平移鋪排，構(gòu)成無間隙，無重疊的平面F。多重平面磚必須N 重拼合成一個TE，然后整體平移鋪排構(gòu)成F。

2 基礎(chǔ)平面磚TE

根據(jù)對稱性基本原理[9-10]，任何二維平面磚周期性地擴展形成的無窮大平面F 可視為平面點陣。任何平面點陣均可用元胞（unit cell）表示，而元胞的一般形式為廣義的平行四邊形P4。因此，所有TE的基形P 必為P4。根據(jù)對稱性，可將P4按邊及夾角分為傾斜O(jiān)b（Oblique，A，B，γ）、矩形Rt（Rectangle，A，B，90°）、四方Sq（Square，A，A，90°）、六方Hx（Hexagonal，A，A，120°）和棱形Rb（Rhombus，A，A，γ）。所有P4具有兩對平行等長的邊偶（Lateral couple，LC），表示為2A2B。

顯然，以元胞A，B，γ 定義的點陣內(nèi)，一個任意有限面積的平面A 如果要成為TE的先決條件必須是：A 邊線上任一點p 必須在點陣內(nèi)具有等效點p（nA，mB），其中n，m 為任意整數(shù)。

A 邊緣的任何變形將導(dǎo)致其局部的凸出或凹進。為滿足以上條件，其對邊必須相應(yīng)地凹進或凸出，相當(dāng)于一對LC 用完全相同的線替換。此即成為本文定義的TE。因此，將LC 用任意線同替換過程稱為“等盈虧”（Equi-Gain-Lose，EGL）操作，形成的新平面稱為EGLP。顯然，EGLP面積與元胞相同，但形狀和對稱性完全改變。任何P 可通過EGL 操作實現(xiàn)邊緣曲線化。圖3 以實例描述了EGL操作及產(chǎn)生的TE。

如P4用折線進行EGLz操作（下標(biāo)z 表示折線zigzag），如圖3-a 所示，則P4變成含凹角的平行4+2n 邊形，含有2+n 對LC，可進一步進行任意線的EGL 操作。因為EGLPz的內(nèi)角無限制，圖3-b，c，d 分別顯示不同P4經(jīng)EGLz操作后可以形成三種不同對稱性的凸邊平行六邊形P6（2A2B2C，實際是含一個0°內(nèi)角的平行八邊形）：H2（點群2）、Hm（點群2mm）和H6（點群6mm）。因P6具有特殊的對稱性，而且也能順二軸（三軸中任意二軸）簡單平移擴展成F，為方便計算，本文將TE的基形P 定義為P4和P6。

圖3 EGLP 構(gòu)成TE 的實例

不同對稱性的P4可通過EGLz操作相互轉(zhuǎn)化。P4[A，B，γ] 可以通過兩步EGLz操作轉(zhuǎn)化為面積相同的P4’[A’，B’，γ’]。因為每步只能改變一個軸長，故需引入γ*。

圖4 顯示了P4相互轉(zhuǎn)化的路線圖及按任一路線導(dǎo)致的形狀變化。

圖4 不同的平行四邊形P4 通過EGL 操作相互轉(zhuǎn)換路線圖

綜上所述，可以得到一般的結(jié)論：所有EGLP 均為TE；所有的TE必須是EGLP。此外，所有TE均可通過EGL操作相互轉(zhuǎn)化，或者說，同面積的TE構(gòu)成一個無窮群。

3 TE 的對稱性

圖5 和圖6 通過一些實例，反映出TE對稱性的基本概況。

圖6 由圖5 中的TE 鋪排成不同平面群（括弧內(nèi)）的F

所有的P 均具有旋轉(zhuǎn)軸Cn，有的具有鏡面m（Rt、Sq、Hx、Rb、H6、Hm）。P 經(jīng)過任意線的EGL 操作形成2a2b（2c）（a、b、c 為不交叉的任意曲線，A、B、C 為與以上起點和終點相同的不交叉的折線。等邊P 中一般將不同任意線記為a 和a’）后，原則上所有的Cn和m 完全消失，TE的點群降為1，形成的F 的平面群降為p1（圖3-a，e，g 和圖5，6-a，b，m 為代表）。

如果對EGL 線條進行一定限制，則仍可保留P 的部分對稱性。以下為一般規(guī)律。

（1）全二重線A（線中點為二重軸）可以保留P 的Cn。如將C2對稱的P（Ob、Rt、Hx、Rb、Hm、H2）中的2A2B（2C）替換為2A2B（2C），則可保留C2，形成平面群p2（圖5，6-c，d 為代表）；對于C4對稱的Sq，4A（2A2A，兩組邊偶的夾角仍為90°）使其保留C4，形成平面群p4。類似，對于C6對稱的H6，6A（2A2A2A，相鄰邊偶的夾角仍為120°）使其保留C6，形成平面群p6。有趣的是，當(dāng)采取由直線z 構(gòu)成的z90°z90°z 的A對Sq 進行4A操作時，EGLP 產(chǎn)生新的m，形成4mm點群。與此相似，z120°z120°z 對H6 進行6A操作時，EGLP 也產(chǎn)生新的m，形成6mm 點群。但這兩種情況下，新的m 與原P 的軸不重合，無法帶入點陣，故為無效m，鋪排成F的點群仍分別為p4和p6（圖5，6-f，g）。

圖5 由不同P 和EGL 線條組成的幾種典型的TE（標(biāo)號下方為P 及線條組成，括號內(nèi)為所屬點群）

（2）對三個等軸P4（Sq、Hx、Rb）采取2a2am的EGL 操作可保留一個m。其中Hx 和Rb 根據(jù)m 的設(shè)置在鈍角（o）或銳角（a），有兩個異構(gòu)體（圖5，6-h，i）。與此相似，對于Hm，采取2a2am2cM進行EGL 操作也可保留一個m（圖5，6-j）。

（3）對三個等軸P4（Sq、Hx、Rb）采取2A2Am的EGL操作，則不僅可保留C2，而且可保留兩個相互正交的m，達到高對稱性點群2mm，并形成c2mm的F。（圖5，6-k為代表）。

（4）H6 為最高對稱性的P，即使用任意線進行EGL操作（6a）仍能保留C3（圖5，6-e）。當(dāng)用6aM（aM表示任意線中點為垂直基線的鏡面）進行EGL 操作后，則可保留C3和3 個m，形成3m點群和p31m平面群（圖5，6-l）。

（5）如果設(shè)置兩個對稱的180°內(nèi)角，P6縮邊為P4。H2可以變成假Ob，記為H2π（圖5，6-n）。同樣，Hm 可以變?yōu)榧賀t，記為Hmπ（圖5，6-m）。它們的曲線化的一般表示為2a2b2c（下劃線b 表示其與前邊共線）。縮邊P6作為TE形成不同的風(fēng)格。Hmπ（圖5，6-n）可像Hm 一樣保留一個m，也可與后述的QRHpm一起描述出矩形磚的多種“錯位”砌墻形式。因為0°和180°內(nèi)角導(dǎo)致的縮邊現(xiàn)象，多邊形（包括圖3-e，f）鋪排成F是否全接觸并非如圖2-d，e那樣一目了然。

以上有些TE部分保留了原有的m（圖5，6-h，i，j，k，l）或產(chǎn)生新的m（圖5，6-f，g）。這些非手性平面磚的正、反面相同。其余的TE均為手性磚，正反面互為對映體。

以上TE囊括了10 個點群，由此可以鋪排出具有不同空間群的F。但是因為P 的所有直線被曲線化，所以要求這些直線必須為m 的空間群，如pm、p2mm、p4mm、p6mm、p31m，不會在全曲線化的TE中出現(xiàn)。

4 多重平面磚TN

因為TE是唯一能夠僅通過平移而周期性地鋪排成F的平面，那么TN必須是TE分割為N 個相同形狀的平面之一。P 可能以多種方式均分割為多個凸邊多邊形。圖7 中陰影部分的P 和EGLPz以不同的方式均分割為多個直角正三角形，形成不同的平面群。這些三角形的邊緣是否可以全曲線化？什么樣的曲線才能夠滿足要求？

圖7 一個P 或EGLPz（陰影部分）被均分割為多個直角等腰三角形的幾種方式（其中a、b、c 的三角形可以不同方式（如后述）進行全曲線化；d 為非全接觸，不能曲線化）

相鄰的TE之間是簡單平移等效邊。而在一個被分割的P 內(nèi)，相鄰多邊形之間則必須是旋轉(zhuǎn)等效邊，或者是鏡面等效邊。圖7-a，b 中，分割的P 具有旋轉(zhuǎn)軸，三角形之間分別互為C2（降低的軸次）和C4旋轉(zhuǎn)等效邊。分割后三角形的接觸邊不僅全接觸，而且接觸邊是固定的；而圖7-c，d 中，雖然也存在二重軸，但分割線并不全過軸心，導(dǎo)致接觸邊不固定。但圖7c 為全接觸，圖7d 為非全接觸。顯然，圖7-a，b 中過N 重旋轉(zhuǎn)軸心分割形成的N 個三角形最容易曲線化。

很多EGLPz也可以像P 一樣，按照不同的方式均分割為多個特定形狀的凸邊多邊形。要想使這些多邊形成為可曲線化的TN，所有相鄰多邊形也應(yīng)為旋轉(zhuǎn)等效邊。所以EGLPz在分割時應(yīng)像P 一樣保持最低旋轉(zhuǎn)軸，或遵守“過軸心N 分割”的規(guī)則。顯然，那些具有旋轉(zhuǎn)軸的r-EGLP（r，表示旋轉(zhuǎn)軸rotation）能夠成為產(chǎn)生TN的候選者。

因為平面點陣中允許的旋轉(zhuǎn)軸次只能是2、3、4、6，所以N 只能等于2、3、4、6。圖8 顯示了P 和一些r-EGLPz經(jīng)“過軸心N 分割”形成凸角x 邊形（x=3、4、5、6，分別表示為T，Q，P，H）。顯然，這些x 邊形可以作為TN的基形G。圖8 橫線上方為本征G，其基本幾何特征用后續(xù)的數(shù)字或字母表示，如a（arbitrary）表示任意邊長和角度；p（parallel）表示有一對平行等長邊；數(shù)字3，4，6 分別表示相鄰的兩條等長邊之間的夾角為2π/3，2π/4，2π/6。

如前所述，P 具有兩對（或三對）平行LC：2A2B（2C），曲線化時同一對LC 必須進行任意線同替換的EGL 操作。從圖8 中可以看到，G 也存在曲線化時與等盈虧相關(guān)的LC。這些LC 可以是平行的（Qp、Pp、Hp），也可以具有60°、90°、120°夾角，分別記為26A、24A、23A。此外，G 還可能存在獨立邊（independent lateral，IL，可以單獨變化的邊），奇邊多邊形T 和P（x 分別為3 和5）必須具有IL。圖7-a 中C2的夾角為180°，故三角形沒有LC，三條邊A、A、B 均只能作為IL 分別用面積自盈虧的二重線A、A’、B變換。而圖7-b 的P 中存在C4，兩條90°夾角的等長邊為LC（24A），其可以替換為24a，而多余的一條獨立邊B 用B替換。因此，可將G 的曲線化必須的等盈虧操作（EGLN操作）定義為：LC 在保持夾角的前提下由任意曲線a 進行同替換；IL 由任意二重線A替換。需要強調(diào)的是，某一個TN只適合于所產(chǎn)生的P 或EGLPz。如圖7 所示，三角形曲線化后只能分別按a、b 的方式原樣拼合。

從圖8 可見，所有G 中，除了Ta 和Qa 無LC，分別有3 和4 條IL 之外，其余的G 均具有1~3 對LC。按照EGLN操作的規(guī)則，每個G 圖形下方標(biāo)明了x 條邊對應(yīng)的一般曲線，或自由度最大的曲線。

圖8 P 或EGLPz 按照“過軸心N 分割”規(guī)則得到的多邊形G（陰影部分）（橫線上部為本征G，下部為衍生G。圖形下方為G 的命名，括號內(nèi)為LC 和IL 及其相應(yīng)的等盈虧線條）

圖9 為本征G 按照EGLN規(guī)則曲線化并拼合后鋪排形成的F及其空間群。容易判斷，圖1-c 中曲邊磚的基形為H333。因為EGLN操作時均采用一般曲線，不存在含m的點群和空間群。

圖9 圖8 中的本征G 經(jīng)EGLN 操作得到的TN 及其拼合鋪排成的F（括號內(nèi)為平面群）

圖8 橫線下方為衍生G，其邊的組成與本征G 相同，但其中可能因180°內(nèi)角導(dǎo)致的縮邊，如表觀四邊形實際為五邊形表示為QP；假五實六表示為PH，假四實六表示為QH 等。衍生G 還包含了通過幾何限制增加對稱性的情況，如通過限制邊長和角度，同時將一般曲線改為限制曲線，使Hp 增加一個鏡面，變成Hpm等。

還需要特別指出的是，有些G 在滿足基本幾何關(guān)系下可以產(chǎn)生較高對稱性，如Pp、P44、H333、PH333 等可能產(chǎn)生m，鋪排成高對稱性的F。但可惜的是因為存在與m垂直的IL，故EGLN全曲線化操作時，無論對曲線如何限制，這些m 均不可能再存在，故不列入衍生G 清單。圖10 為衍生G 經(jīng)EGLN操作并拼合后鋪排形成的F及空間群。其中包括G 的幾何形狀無變化，僅將一般曲線改為限制曲線后提高了對稱性的Q33m（23a23am）、Q44m（24a24am）、Q44mm（4aM）。

G 通過EGLN操作后，面積無變化，LC 和IL 曲線化導(dǎo)致的盈虧部分拼合時正好互補。這樣可以形成無窮數(shù)量的EGLG。由此得出一般規(guī)律：所有EGLG 均可作為TN。

有些TE之間也可以不作為平移等效面，而是作為旋轉(zhuǎn)等效面而構(gòu)成TN。如Sq（2a2a）與Q44（24a24a，N=4）同形；Hx（2a2amo）與Q33（23a23a，N=3）同形；Hmπ（2aM2aMm2bM）與Qpm（2aMBBm，N=2）同形。還有一些T，既能作為TE，也能作為TN。甚至作為后述的TNX。

在圖10 中，除了7 個標(biāo)明m 的TN之外，均必為手性TN。一般情況下，手性對映體是不可混拼的，只有一些具有特殊線條的EGLG 對映體可以混拼，相當(dāng)于化學(xué)中的外消旋體晶體。因本文的T 僅限單面，故將混拼對映體問題留待以后討論。

圖10 圖8 中的衍生G 經(jīng)EGLN 操作得到的TN 及其拼合鋪排成的F（括號內(nèi)為平面群）

5 等邊多重平面磚TNX 和復(fù)合等邊多重平面磚TNX/2

如同圖2-d，e 和圖7-d 那樣，不（或不能）按照“過軸心N 分割”規(guī)則也有可能分割出N’個相同的凸角x 邊形。因與軸心無關(guān)，N’沒有N 的限制。這些任意分割出的多邊形既無LC，也無IL，很多是非全接觸，表示為GA（上標(biāo)A 表示Abnormal）。因為GA不可能進行EGLN操作，故不能曲線化。Grünbaum[5]列舉了幾個極富想象力的凸角五邊形或六邊形GA。（任意三角形或四邊形能夠分別以Ta 和Qa 的G 形式拼合并鋪排成F）。

導(dǎo)致以上現(xiàn)象的本質(zhì)是TN在拼合時必須保持絕對的全接觸，這需要EGLG 各曲邊之間的拼合是固定搭配的：LC 找同樣的LC，IL 找同樣的IL?！斑^軸心N 分割”規(guī)則可以很好地保證這種固定搭配。而任意分割的多邊形并無固定搭配，如不能保證全接觸，就不能曲線化。但是，很多等邊多邊形（Equilateral x-gon，GX）能夠?qū)崿F(xiàn)全接觸，故不需要固定搭配，那么“過軸心N 分割”規(guī)則就不是必要的了。事實上，x-邊形的GX只要是來自P 或者EGLPz，都可以在保持內(nèi)角不變的條件下用x 個相同的二重線全替換（這是GX曲線化的唯一途徑，稱為EGLD操作），成為曲邊的TNX。圖11-a，b，c，d，e 為TNX實例（其中d、e 可視為G6）。

在前述的P 和G 中也有一些GX，如Sq、Rb、Hx、T6（N=6）、Q44（N=4）、Q33（N=3）；邊長或角度限制的GX，如Pp（2*90°，60°）、Hm、H2、Hmπ、H2π、P44（2*114.3°，131.4°，N=4）等。它們具有LC，可以引入任意曲線。當(dāng)然也可以用相同二重線全替換，這與EGL 或EGLN操作的規(guī)則是一致的，屬于正常的TE或TN。

但是，如圖7-c 和圖11-f，g，h，i，j 所示，有些P 可以按任意方式分割成多個特殊形狀的三角形或四邊形，相鄰的兩個多邊形正好拼成一個等邊多邊形（相當(dāng)于一個GX再次分割），此即為半等邊多邊形GX/2。GX/2也可以進行EGLD操作而全曲線化（等長邊用相同的二重線替換，分割線為獨立邊，用單獨的二重線替換）。有意思的是，GX/2不必按照分割時的模式原樣拼合，而可以多種模式拼合出很多圖案，如Sq 作為GX分割為兩個直角正三角形（GX/2），經(jīng)EGLD曲線化后，可以拼合出以圖7-c 和圖11-f，h 為例的很多種圖案。

值得注意的是，一些多邊形可以充當(dāng)多種角色的T。如邊長1∶2 的矩形（2mm）。既可視為Rt（2a2b），或者Hmπ（2a2a'2a"）充當(dāng)TE；也可視為QRHpm（2aBCB'C'）或者QRP44（24a24a'B）充當(dāng)TN（N 分別為2 和4）；還可以視為等邊多邊形（G6）充當(dāng)TNX（N 為大于1 的任意數(shù)）構(gòu)成許多圖案，如以圖1-b（圖11-d，e）等為代表的多種方磚鋪地藝術(shù)。

圖11 EGLPZ 未按照“過軸心N 分割”規(guī)則分割成N’個等邊多邊形（GX）及其TNX 拼合鋪排圖，a-e；P 任意分割成多個半等邊多邊形（GX/2）及其TNX/2 的拼合鋪排圖, f-j

圖12 不同曲邊單面單磚的形成及其相互關(guān)系

6 結(jié)論

根據(jù)平面點陣?yán)碚?，可?yán)密鋪排成無窮大平面F的點陣型平面單磚（包括異形、曲邊等復(fù)雜平面）的最基本形狀為平面群的元胞。本文提出的單形，單面，曲邊平面磚T 分為基礎(chǔ)平面磚TE和三種多重平面磚TN、TNX和TNX/2。其中TE可順兩個方向平移鋪排成F；多重平面磚需要多重拼合成為TE。T 建立的一般過程是以一個凸角多邊形作為基形，然后在保持基形面積不變的條件下按一定規(guī)律將所有直線曲線化。TE的基形P 包括不同對稱性的5種元胞和3 種凸角平行六邊形。P 的曲線化必須通過平行邊偶（LC）用任意線同替換，使P 的凹凸面互補的等盈虧（EGL）操作來實現(xiàn)。由此得出結(jié)論：所有EGLP 均為TE，所有TE必須是EGLP，不同的TE可以通過EGL 操作相互轉(zhuǎn)化。

P 或者具有旋轉(zhuǎn)軸的折線型r-EGLPz按照“過軸心N 分割”的規(guī)則可得到N 個（N=2，3，4，6）相同的凸角x邊型（x=3，4，5，6），其可作為TN的基形G。G 存在0~3對LC 和0~4 條獨立邊（IL）。其中LC 包括平行LC（0°夾角）和2π/6、2π/4、2π/3 夾角LC。G 的曲線化也需要進行相應(yīng)的等盈虧（EGLN）操作：LC 用任意線同替換，IL 用二重線替換。

實際上，P 和很多EGLPz也能夠不按照“過軸心N分割”規(guī)則分割成N'個相同的多邊形，除了等邊多邊形（GX和GX/2）之外，一般不能全接觸，不能進行EGLN操作，故不能全曲線化，只能以非全接觸多邊形GA的形式拼合鋪排為F。

等邊x 邊形GX可以在保持原來角度的條件下用x條相同的二重線全替換（EGLD操作）實現(xiàn)曲邊化，形成TNX。P 和很多EGLPz也能夠以任意的方式分割出多個由特殊的多邊形GX/2拼成的半等邊多邊形。GX/2含有2-3 條等長邊和1 條獨立的分割邊。其也能進行類似上述的EGLD操作（等長邊由相同二重線替換，獨立邊由單獨二重線替換），由此形成的TNX/2可以拼合成多種不同對稱性的圖案。

圖12 總結(jié)了各種T 之間的邏輯關(guān)系。本文的核心依據(jù)是平面點陣?yán)碚撘约坝纱送茢嗟牟煌指罘椒ê偷扔澆僮鞣椒?。從此人們可以理解、判斷并預(yù)測所有異形多邊形及其曲邊化產(chǎn)物的平面特性；可以設(shè)計出不同對稱性，不同風(fēng)格的多邊形及全曲邊平面磚。