窗口伸縮優(yōu)化的同步壓縮算法及其在變轉(zhuǎn)速工況瞬時(shí)頻率估計(jì)上的應(yīng)用

吳紅安 呂 勇 易燦燦 袁 銳

1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢，4300812.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢，430081

0 引言

非平穩(wěn)信號(hào)廣泛存在于自然界和人類(lèi)社會(huì)生活中，如機(jī)械振動(dòng)信號(hào)、通信信號(hào)、生物信號(hào)等都屬于典型的非平穩(wěn)信號(hào)。傳統(tǒng)的時(shí)頻域分析方法難以兼顧信號(hào)在時(shí)頻域的局部化特征，不能有效分析非平穩(wěn)信號(hào)[1]。所以既能反映信號(hào)頻率隨時(shí)間的變化規(guī)律，又可以描述頻域能量信息的時(shí)頻分析方法[2-3]成為分析非平穩(wěn)信號(hào)的有效工具，諸如短時(shí)傅里葉變換(short-time Fourier transform，STFT)、連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform，CWT)、魏格納-威利分布(Vigner-Ville distribution，WVD)等時(shí)頻分析方法已被廣泛應(yīng)用[4]。STFT與CWT受海森伯格不確定性原則的限制，無(wú)法在頻率與時(shí)間方向同時(shí)獲得最佳分辨率，因此無(wú)法產(chǎn)生能量集中的時(shí)頻表示(time-frequency representation，TFR)；WVD利用信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行時(shí)頻變換，在很大程度上提高了時(shí)頻表示的頻率分辨率，但這只針對(duì)于處理單分量信號(hào)，當(dāng)處理多分量信號(hào)時(shí)，會(huì)不可避免地產(chǎn)生交叉項(xiàng)干擾。時(shí)頻重排(reassignment method，RM)[5-6]通過(guò)調(diào)整時(shí)頻平面的能量定位來(lái)提高時(shí)頻表示的聚集性和可讀性，但卻無(wú)法進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。

DAUBECHIES等[7]提出了一種類(lèi)似于時(shí)頻重排的同步壓縮小波變換(synchrosqueezing transform，SST)方法，在CWT的基礎(chǔ)上，對(duì)變換后的小波系數(shù)進(jìn)行重排，在提高信號(hào)時(shí)頻分辨率的同時(shí)很好地保持了信號(hào)重構(gòu)的特性。類(lèi)似地，基于STFT的同步壓縮(SST-based STFT，F(xiàn)SST)[8]也可以提高時(shí)頻聚集性并支持可逆重構(gòu)，但是同步壓縮本質(zhì)上是基于信號(hào)由純諧波疊加的假設(shè)，因此只適用于處理平穩(wěn)或緩變信號(hào)，對(duì)于頻率快速變化的信號(hào)，其時(shí)頻表示的能量仍會(huì)在一定范圍內(nèi)發(fā)散,導(dǎo)致在時(shí)間方向上的能量模糊問(wèn)題依然嚴(yán)重。

基于SST、FSST等的時(shí)頻分析方法存在抗噪性差、僅對(duì)諧波信號(hào)有較好的時(shí)頻聚集性等問(wèn)題[9-10]，目前關(guān)于時(shí)頻同步壓縮的研究主要有時(shí)頻聚集性的提高，瞬頻估計(jì)精度的提高，針對(duì)多分量、變工況、強(qiáng)調(diào)頻信號(hào)分析的時(shí)頻分辨率的提高等[11-13]。陳向民等[14]基于自適應(yīng)時(shí)頻濾波提取變轉(zhuǎn)速齒輪故障特征來(lái)提高瞬時(shí)故障特征估計(jì)效果；YU等[15-18]先后提出了同步提取變換、多重同步壓縮變換等方法，不斷提高時(shí)頻聚集性。盡管這些方法均在一定程度上提高了時(shí)頻分辨率，但也都延續(xù)了STFT固有的帶寬大、能量發(fā)散等缺陷[17]。OBERLIN等[19]、PHAM等[20]進(jìn)一步提出了高階同步壓縮變換方法，在SST的前提下進(jìn)一步將頻率軸細(xì)分，從而提取更加銳化的時(shí)頻脊線(xiàn)，得到了更精確的瞬頻估計(jì)模型。

針對(duì)現(xiàn)有的STFT、SST和FSST等時(shí)頻方法窗口參數(shù)固定、抗噪性能差、分析非平穩(wěn)調(diào)頻信號(hào)時(shí)無(wú)法為軸承故障診斷提供足夠準(zhǔn)確的信息等問(wèn)題，本文依據(jù)信號(hào)的可分性，針對(duì)頻率快速變化的非平穩(wěn)信號(hào)，提出一種窗口伸縮優(yōu)化同步壓縮短時(shí)傅里葉變換(SST-based STFT for window extension and compression optimization，WECOFSST)算法，并推廣至二階和高階的時(shí)頻變換。

1 基于短時(shí)傅里葉的時(shí)頻同步壓縮變換

短時(shí)傅里葉變換是用一個(gè)時(shí)頻局部化的固定窗函數(shù)來(lái)截取信號(hào)序列，然后進(jìn)行一系列加窗數(shù)據(jù)幀的快速傅里葉變換來(lái)處理信號(hào)的時(shí)頻分析方法，通過(guò)窗口隨時(shí)間“滑動(dòng)”表示信號(hào)任意時(shí)刻的頻譜特征。為便于分析非平穩(wěn)信號(hào)s(t)，可將其等效為有限個(gè)具有時(shí)變幅值和時(shí)變或固定頻率的分量信號(hào)的線(xiàn)性組合，設(shè)信號(hào)模型如下：

(1)

m式中，Ak(t)為信號(hào)各分量的瞬時(shí)幅值，且Ak(t)>0；φk(t)表示瞬時(shí)頻率的相位函數(shù)，且φk(t)>0；K為分量個(gè)數(shù)且為有限值。

信號(hào)s(t)的STFT為

(2)

式中，τ為信號(hào)的時(shí)移;g(τ-t)為時(shí)移窗函數(shù)。

(3)

式中，ωx(t,η)為相位時(shí)移函數(shù)，瞬時(shí)頻率估計(jì)Fx(t,η)=Re(ωx(t,η))。

FSST就是在時(shí)頻域?qū)⒆儞Q系數(shù)X(t,η)按照(t,η)→(t,ωx(t,η))的映射關(guān)系對(duì)頻率變量進(jìn)行壓縮重排，表達(dá)式如下：

(4)

式中，δ(ωx(t,η)-α)為頻率重心壓縮重排函數(shù)，δ為狄拉克函數(shù)。

圖1給出了時(shí)刻t下頻率點(diǎn)η到α的映射過(guò)程，即對(duì)頻率點(diǎn)壓縮重排，遍歷所有時(shí)刻，所得結(jié)果就是FSST的結(jié)果。

圖1 FSST中時(shí)刻t下的頻率分配過(guò)程示意圖Fig.1 Schematic diagram of the frequency allocationprocess at time t in FSST

2 窗口伸縮優(yōu)化的時(shí)頻同步壓縮算法

2.1 窗口伸縮優(yōu)化的STFT和FSST

傳統(tǒng)的STFT時(shí)頻窗寬是固定不變的，使得其獲得的時(shí)頻圖能量聚集性差、脊線(xiàn)模糊、時(shí)頻分辨率低，導(dǎo)致時(shí)頻分析效果較差。但是常見(jiàn)工程信號(hào)的瞬時(shí)頻率并非平穩(wěn)變化，尤其是當(dāng)非平穩(wěn)多分量信號(hào)的各個(gè)分量比較接近時(shí)，很難確定一個(gè)固定的窗口參數(shù)使得全局的FSST時(shí)頻效果很好。

由不確定性原理可知，對(duì)于給定信號(hào)，如果能量有限，則它對(duì)應(yīng)的時(shí)寬與帶寬乘積等于常數(shù)，滿(mǎn)足以下關(guān)系：

(5)

式中，Δt、Δf分別為時(shí)間和頻率分辨率，若信號(hào)為Gauss信號(hào)，則等式成立。

不確定性原理表明，信號(hào)的時(shí)寬與帶寬不能同時(shí)趨于無(wú)限小，時(shí)頻分辨率相互制約，所以時(shí)頻分析應(yīng)依據(jù)不同信號(hào)選定不同的時(shí)窗函數(shù)來(lái)分析信號(hào)的局部特性[11]。本文選用Gauss窗函數(shù)來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和分析。

考慮單一頻率信號(hào)y(t)=Aei2πmt，其中，m為常數(shù)。對(duì)y(t)進(jìn)行窗口伸縮優(yōu)化的STFT如下：

(6)

式中，σ(t)為t的函數(shù)，用YT-STFT(t,η,σ(t))表示時(shí)變伸縮窗口σ參數(shù)下信號(hào)y(t)的STFT。

(7)

綜上所述，對(duì)于一般信號(hào)s(t)，根據(jù)式(7)估計(jì)信號(hào)瞬時(shí)頻率函數(shù)ωs(t,η)，即

(8)

ST-STFT(t,η,σ(t))≠0

所以，信號(hào)s(t)的窗口伸縮優(yōu)化同步壓縮短時(shí)傅里葉變換(SST-based STFT for window extension and compression optimization，WECOFSST)定義為

δ(ωs(t,η,σ(t))-ξ)dη

(9)

如果g(·)為Gauss函數(shù)，則式(8)中右側(cè)第一項(xiàng)為零，信號(hào)瞬時(shí)頻率估計(jì)函數(shù)為

(10)

ST-STFT(t,η,σ(t))≠0

2.2 二階和高階的窗口伸縮優(yōu)化的STFT和FSST

FSST僅適用于分析由緩變純諧波組成的信號(hào)，在分析頻率快變信號(hào)時(shí)，分辨率會(huì)大幅降低，時(shí)頻脊線(xiàn)變得模糊。為彌補(bǔ)這個(gè)缺陷，研究更精確的瞬頻估計(jì)的二階同步壓縮變換，通過(guò)線(xiàn)性調(diào)頻模型來(lái)進(jìn)行信號(hào)瞬頻的精確估計(jì)，類(lèi)似于重新定義了同步壓縮中的相變換算子。

二階FSST首先定義一個(gè)二階局部調(diào)制系數(shù)qt,x(t,f)：

(11)

即調(diào)制系數(shù)qt,x(t,f)是FSST瞬頻估計(jì)關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù),所以二階的瞬時(shí)頻率估計(jì)為

(12)

則信號(hào)s(t)的二階同步壓縮變換如下：

(13)

高階的同步壓縮變換方法(FSST-N)基于信號(hào)的幅值與相位的泰勒展開(kāi)，定義新的瞬時(shí)頻率估計(jì)為

(14)

類(lèi)似于FSST-2，F(xiàn)SST-N的表達(dá)式為

XFSST-N(t,ω)=

(15)

(16)

SWECOFSST-2(t,ω,σ(t))=

(17)

類(lèi)似于SWECOFSST-2(t,ω,σ(t))，N階窗口伸縮優(yōu)化的FSST的表達(dá)式為

SWECOFSST-N(t,ω,σ(t))=

(18)

2.3 窗口伸縮優(yōu)化確定最優(yōu)窗口參數(shù)

對(duì)于任意給定的一個(gè)信號(hào)，如果能確定一個(gè)時(shí)變窗口參數(shù)σ(t)，它可以比較清晰地反映出信號(hào)局部信息，那么就可通過(guò)最優(yōu)窗寬的FSST獲得較好的時(shí)頻分布，以確定更精確的瞬時(shí)頻率，但是實(shí)際信號(hào)并沒(méi)有任何已知的先驗(yàn)信息，所以需要對(duì)適合信號(hào)時(shí)變特性的窗口參數(shù)σ(t)進(jìn)行伸縮優(yōu)化并確定。

信息熵是用來(lái)度量信息不確定性的一個(gè)函數(shù)[11,13]。本文通過(guò)使用信息熵值大小來(lái)評(píng)判局部時(shí)刻的最優(yōu)窗寬。當(dāng)信號(hào)時(shí)變平穩(wěn)，則伸長(zhǎng)對(duì)應(yīng)窗寬，以加大信號(hào)數(shù)據(jù)量，提高頻率分辨率；當(dāng)信號(hào)時(shí)變非平穩(wěn)，則壓縮對(duì)應(yīng)窗寬，提高時(shí)間分辨率，從而有效反映信號(hào)的突變情況。所以，按照信號(hào)的局部特性進(jìn)行合適截取，以最小信息熵準(zhǔn)則計(jì)算截取的各段信號(hào)的最優(yōu)窗寬，能夠有效提高信號(hào)的時(shí)頻分辨率。

根據(jù)信號(hào)時(shí)頻分布和概率的相似性，各窗內(nèi)信號(hào)的概率分布如下：

(19)

則對(duì)應(yīng)的信息熵為

(20)

依據(jù)最小信息熵準(zhǔn)則，該時(shí)刻對(duì)應(yīng)的最佳窗長(zhǎng)可計(jì)算如下：

σbest=argmin(Hs(σ))

(21)

運(yùn)用局部最小信息熵，估計(jì)各個(gè)時(shí)刻的最優(yōu)窗口參數(shù)σ的流程如圖2所示。

圖2 基于最小信息熵準(zhǔn)則進(jìn)行窗口伸縮優(yōu)化的時(shí)變參數(shù)估計(jì)流程示意圖Fig.2 Process diagram of time-varying parameterestimation process based on minimum informationentropy criterion for window extension andcompression optimization

3 數(shù)值仿真

3.1 合成信號(hào)仿真

為了說(shuō)明提出的方法在處理非平穩(wěn)信號(hào)上的優(yōu)勢(shì)，建立了一個(gè)具有不同的調(diào)幅-調(diào)頻規(guī)律的兩個(gè)分量信號(hào)組成的多分量信號(hào):

s(t)=s1(t)+s2(t)+n(t)

(22)

(23)

其中，n(t)是信噪比為3 dB的Gauss白噪聲。取采樣頻率100 Hz，采樣時(shí)間4 s，則多分量信號(hào)的瞬時(shí)頻率為

(24)

由圖3可以看出，信號(hào)分量s2比s1具有更強(qiáng)的調(diào)頻特性。

(a)信號(hào)s

理想的時(shí)頻表示應(yīng)該高度集中在瞬時(shí)頻率軌跡上，即在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上只出現(xiàn)一個(gè)頻點(diǎn)在時(shí)頻平面上，以描述這種單組分模式。圖4a、圖4b中STFT時(shí)頻帶寬較大，時(shí)頻譜圖的能量發(fā)散在瞬時(shí)頻率軌跡周?chē)⒃谒矔r(shí)頻率中心位置達(dá)到最大值，而這正是由STFT的固定窗寬導(dǎo)致的，STFT具有較差的時(shí)頻分辨率。RM和FSST方法產(chǎn)生的時(shí)頻結(jié)果如圖4c～圖4h所示，RM、FSST和二階FSST(FSST-2)三種方法均顯示出比STFT頻譜圖能量更加集中的結(jié)果。從放大視圖中可以看出，對(duì)于分量s1的時(shí)頻描述，RM、FSST和FSST-2反映了相似的集中時(shí)頻表示。但對(duì)于強(qiáng)調(diào)頻信號(hào)分量s2，F(xiàn)SST方法能量發(fā)散嚴(yán)重，RM和二階FSST能生成較為緊湊的時(shí)頻描述，但能量仍會(huì)散布在一定范圍內(nèi)，且RM在頻率峰值變化處能量發(fā)散現(xiàn)象較二階FSST更嚴(yán)重。

(a)STFT時(shí)頻圖(b)STFT時(shí)頻圖局部放大

該仿真信號(hào)通過(guò)本文提出的窗口伸縮優(yōu)化方法(WECOFSST)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖5a～圖5d所示。對(duì)比圖4局部放大的時(shí)頻圖可以清晰地觀察到：RM、FSST和二階FSST在描述強(qiáng)調(diào)頻的非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)頻分布時(shí)均會(huì)存在不同程度的能量發(fā)散現(xiàn)象，F(xiàn)SST在信號(hào)頻率快變區(qū)間，能量聚集性較差，RM和FSST-2雖能更準(zhǔn)確地描述信號(hào)的調(diào)頻時(shí)變規(guī)律，但仍存在一定的能量發(fā)散現(xiàn)象，時(shí)頻脊線(xiàn)模糊，無(wú)法精確估計(jì)瞬時(shí)頻率。鑒于固定窗口分辨率單一、難以反映信號(hào)局部特性的缺陷，本文提出的基于窗口伸縮優(yōu)化的FSST(WECOFSST)和二階WECOFSST方法WECOFSST-2通過(guò)伸縮優(yōu)化時(shí)變窗口來(lái)適應(yīng)信號(hào)的局部變化，使得信號(hào)在頻率變化慢的時(shí)刻具有寬的時(shí)窗，在頻率變化快的時(shí)候具有窄的時(shí)窗，從而提高信號(hào)的時(shí)頻分辨率，得到更好的時(shí)頻分布。WECOFSST和二階WECOFSST結(jié)果顯示出比RM、FSST、二階FSST結(jié)果更加能量集中的時(shí)頻表示，如圖5所示。對(duì)比觀察圖5b、圖5d可以發(fā)現(xiàn)，WECOFSST-2在描述強(qiáng)調(diào)頻信號(hào)時(shí)頻分布時(shí)的能量脊線(xiàn)比WECOFSST更加集中、更加清晰。由圖5e、圖5f可以發(fā)現(xiàn)，二階WECOFSST提取出的瞬頻與實(shí)際瞬頻曲線(xiàn)高度重合，瞬時(shí)頻率估計(jì)結(jié)果精確度較高。

(a) WECOFSST時(shí)頻圖(b) WECOFSST時(shí)頻圖局部放大

圖6 不同時(shí)頻分析方法下的Rényi熵Fig.6 Rényi entropy under different time-frequencyanalysis methods

為了客觀地比較每個(gè)結(jié)果，使用Rényi熵來(lái)定量評(píng)估不同方法的性能，Rényi熵值越小表示時(shí)頻表示越集中。如圖6所示，Rényi熵曲線(xiàn)表明，WECOFSST和二階WECOFSST結(jié)果比RM、FSST及二階FSST結(jié)果顯示出更集中的時(shí)頻表示。當(dāng)信噪比為10時(shí)，相應(yīng)的Rényi熵分別為15.11(STFT)、11.61(FSST)、11.34(RM)、11.33(FSST-2)、9.899(WECOFSST)和9.824(WECOFSST-2)。顯然，在上述時(shí)頻分析方法中，窗口伸縮優(yōu)化的二階FSST(WECOFSST-2)針對(duì)瞬時(shí)頻率快速變化的信號(hào)時(shí)頻描述效果最好，能量集中度最高。

3.2 時(shí)變轉(zhuǎn)速工況下行星齒輪箱太陽(yáng)輪故障信號(hào)仿真

在本小節(jié)中，首先對(duì)變轉(zhuǎn)速工況下行星齒輪箱故障信號(hào)進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證所提方法提取敏感共振頻帶內(nèi)故障特征頻率的有效性。

為模擬太陽(yáng)輪故障，建立信號(hào)模型[21]如下：

(25)

(a)信號(hào)的時(shí)域波形

太陽(yáng)輪故障仿真信號(hào)的分析結(jié)果如圖8a～圖8d所示。可以清晰地觀察到，STFT時(shí)頻圖能量集中效果較差，僅能大致描述出信號(hào)的瞬頻變化趨勢(shì)，時(shí)頻分辨率低，時(shí)變故障特征難以提??；RM和FSST時(shí)頻圖雖獲得了較為清晰的瞬時(shí)頻率變化趨勢(shì)，但是由于邊頻帶成分密集，在瞬頻快變區(qū)間內(nèi)，沿時(shí)間方向能量依然比較模糊，如圖8b、圖8c、圖8d中標(biāo)記的紅色區(qū)域內(nèi)存在部分混疊現(xiàn)象，影響故障特征識(shí)別，所以上述方法難以精準(zhǔn)識(shí)別密集分布的時(shí)變邊頻帶。

(a)STFT時(shí)頻分布圖及局部放大圖

圖9a、圖9b所示時(shí)頻圖為本文所提方法WECOFSST和WECOFSST-2方法分析的變轉(zhuǎn)速工況下行星齒輪箱模擬太陽(yáng)輪故障的仿真信號(hào)時(shí)頻表示。與FSST相比，WECOFSST和WECOFSST-2使用了更加精確的瞬時(shí)頻率估計(jì)公式，進(jìn)一步細(xì)分了頻率軸，與圖8對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，WECOFSST和WECOFSST-2能更有效地提取快變信號(hào)的瞬時(shí)頻率特性，顯著提高時(shí)頻分辨率，使得時(shí)頻面脊線(xiàn)能量更加銳化集中，各個(gè)瞬時(shí)頻率變化曲線(xiàn)更加清晰，充分展示了算法的優(yōu)越性。

(a)WECOFSST時(shí)頻分布

4 實(shí)驗(yàn)仿真分析

4.1 實(shí)測(cè)蝙蝠信號(hào)仿真

針對(duì)非平穩(wěn)多分量信號(hào)，通過(guò)引用美國(guó)伊利諾伊大學(xué)Beckman實(shí)測(cè)的大棕色蝙蝠發(fā)出的數(shù)字化回聲定位脈沖信號(hào)[22]來(lái)驗(yàn)證所提方法在蝙蝠信號(hào)中的分析效果。蝙蝠通過(guò)產(chǎn)生調(diào)頻和向下掃頻信號(hào)，并借助聲波的反彈來(lái)實(shí)現(xiàn)回聲定位識(shí)別。該信號(hào)包括400個(gè)采樣點(diǎn)，采樣頻率為143 kHz，采樣時(shí)間間隔為7 μs。為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，對(duì)比STFT、FSST和FSST-2分析結(jié)果，如圖10所示。蝙蝠回波信號(hào)實(shí)際上是一個(gè)多分量信號(hào)，它包含了四個(gè)能量與持續(xù)時(shí)間均不同的非線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)分量。

(a)時(shí)域波形(b)STFT時(shí)頻分布

(a)WECOFSST時(shí)頻分布

圖11所示為由WECOFSST和WECOFSST-2得到的時(shí)頻分析結(jié)果。對(duì)比圖10可以發(fā)現(xiàn)，STFT有著最差的頻率分辨率，F(xiàn)SST和FSST-2方法得到的時(shí)頻分布雖然具有較高的能量集中度，但僅限于前三個(gè)分量，第四個(gè)分量(高頻分量)幾乎無(wú)法被描述(對(duì)比圖10、圖11紅色標(biāo)記框)。相較而言，本文所提方法根據(jù)信號(hào)時(shí)變特性伸縮優(yōu)化窗寬得到了頻率帶寬更小、能量集中度更高的時(shí)頻表示，且WECOFSST-2時(shí)頻圖能量聚集性最高。WECOFSST和WECOFSST-2在FSST和FSST-2的基礎(chǔ)上不僅有能量聚集性更高的時(shí)頻表示，同時(shí)還可以清晰地表示出蝙蝠信號(hào)的高頻分量。

4.2 實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析

本文以電機(jī)啟停運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程來(lái)模擬實(shí)際變轉(zhuǎn)速工況，實(shí)驗(yàn)裝置如圖12所示，主要由控制臺(tái)、伺服電機(jī)、齒輪變速箱(減速比Z1∶Z2=16∶24)、磁粉制動(dòng)器和外置軸承座組成，加速度傳感器安裝在外置軸承座上。外置軸承座內(nèi)安裝深溝球軸承作為振動(dòng)信號(hào)測(cè)試對(duì)象，軸承型號(hào)為6202，其具體參數(shù)如表1所示。

(a)實(shí)驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖

表1 故障軸承的幾何參數(shù)

在實(shí)驗(yàn)中設(shè)置伺服電機(jī)運(yùn)行工況為“加速啟動(dòng)—平穩(wěn)運(yùn)行—減速停機(jī)”，電機(jī)啟動(dòng)后轉(zhuǎn)速呈線(xiàn)性增大至1500 r/min，然后開(kāi)始線(xiàn)性降低至停止運(yùn)行。設(shè)置信號(hào)采樣頻率為512 Hz，采樣時(shí)間為11 s。振動(dòng)加速度傳感器測(cè)得的時(shí)域信號(hào)和頻譜如圖13所示。

圖13 實(shí)驗(yàn)采集的信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜Fig.13 Signals collected in the experiment

由于故障所在軸轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化，傳統(tǒng)的包絡(luò)分析無(wú)法為準(zhǔn)確的軸承故障診斷提供足夠的信息，因此分別使用STFT、RM、FSST、FSST以及WECOFSST和WECOFSST-2這六種方法對(duì)該信號(hào)的幅值包絡(luò)進(jìn)行時(shí)頻分析，解調(diào)出瞬時(shí)故障特征頻率，以驗(yàn)證所提出方法的有效性及相對(duì)其他同類(lèi)方法的優(yōu)越性。

圖14所示為STFT、RM、FSST、FSST-2四種方法時(shí)頻表示及其提取到的瞬時(shí)故障特征頻率fIF及其倍頻曲線(xiàn)。從圖14中可以觀察到：在時(shí)頻表示上，使用STFT和RM僅能粗略地識(shí)別出瞬時(shí)故障特征頻率，尤其是STFT在能量集中方面效果很差，難以準(zhǔn)確識(shí)別瞬時(shí)頻率；FSST和FSST-2相較于STFT，無(wú)論是在能量集中方面還是在平面清晰度等方面均優(yōu)于STFT方法，結(jié)合峰值搜尋算法可以較為準(zhǔn)確地提取出瞬時(shí)故障特征頻率，但是在識(shí)別瞬時(shí)故障特征頻率的二倍頻、三倍頻時(shí)誤差較大，精度較低。

(a)STFT時(shí)頻圖(b)STFT時(shí)頻脊線(xiàn)提取

圖15為本文提出的新的窗口伸縮優(yōu)化方法WECOFSST和WECOFSST-2時(shí)頻表示及其提取到的瞬時(shí)故障頻率及其倍頻曲線(xiàn)。從圖15中可以清晰地發(fā)現(xiàn)，窗口伸縮優(yōu)化后的方法結(jié)合峰值搜尋算法能夠較為準(zhǔn)確地提取出瞬時(shí)故障特征頻率及其二倍頻、三倍頻曲線(xiàn)，且精度較高，符合理論公式估算結(jié)果。

(a)WECOFSST時(shí)頻圖(b)WECOFSST時(shí)頻脊線(xiàn)提取

分別計(jì)算STFT、RM、FSST、FSST-2以及WECOFSST和WECOFSST-2六種方法在輸入信噪比R=20時(shí)的Rényi熵值，如表2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)WECOFSST和WECOFSST-2方法的Rényi熵值較其他方法的Rényi熵值更小，其中WECOFSST-2方法Rényi熵值最小，表明本文所提新方法的瞬時(shí)頻率估計(jì)更加精確。綜合對(duì)比圖14和圖15可以發(fā)現(xiàn)，窗口伸縮優(yōu)化方法在頻率緩變時(shí)刻伸長(zhǎng)時(shí)窗來(lái)截取信號(hào)，在頻率快變時(shí)刻壓縮時(shí)窗來(lái)截取信號(hào)，可以提高信號(hào)的時(shí)頻分辨率，得到更好的時(shí)頻分布，提取的時(shí)頻脊線(xiàn)較FSST方法時(shí)頻脊線(xiàn)更加清晰準(zhǔn)確，該方法無(wú)論是在能量集中還是在時(shí)頻平面清晰度方面均優(yōu)于STFT、RM、FSST和FSST-2方法，充分驗(yàn)證了算法的可靠性和有效性。

表2 不同時(shí)頻分析方法在信噪比R=20時(shí)Rényi熵值

5 結(jié)論

(1)本文在同步壓縮變換的基礎(chǔ)上，考慮時(shí)變非平穩(wěn)信號(hào)的局部變化特性，將提出的窗口伸縮優(yōu)化短時(shí)傅里葉變換應(yīng)用于同步壓縮理論中，得到新的窗口伸縮優(yōu)化的同步壓縮短時(shí)傅里葉變換方法，并應(yīng)用于變轉(zhuǎn)速工況瞬時(shí)故障特征頻率的識(shí)別提取，提出的方法可以?xún)?yōu)化窗口參數(shù)，較好地反映信號(hào)的局部特性，增強(qiáng)信號(hào)在局部和全局的能量聚集效果。

(2)算法通過(guò)窗口伸縮優(yōu)化來(lái)高效匹配信號(hào)的時(shí)變特征，利用最小信息熵值確定最優(yōu)時(shí)變窗口參數(shù)，使信號(hào)在任意時(shí)刻都具有最優(yōu)的時(shí)頻分辨率和較高的魯棒性，在時(shí)頻表示的清晰度上與現(xiàn)有方法相比具有較大的優(yōu)勢(shì)。

(3)該方法應(yīng)用在旋轉(zhuǎn)機(jī)械變轉(zhuǎn)速工況瞬時(shí)頻率估計(jì)上，適用于處理非平穩(wěn)的多分量信號(hào)，相較于其他方法，能獲得較高精度的估計(jì)結(jié)果，且具有較高的可靠性。