王新濤，鄭建華，李明濤*

（1.中國科學(xué)院 國家空間科學(xué)中心，北京 101499；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

小行星軌道與地球軌道存在交叉，存在與地球碰撞的可能，地球歷史上曾多次遭到小行星撞擊，因此對小行星進行監(jiān)測具有重要意義。小行星監(jiān)測借助地基和天基平臺，可以采用雷達技術(shù)（測距、測速和測角）、光電監(jiān)測技術(shù)（光電測角和激光測距）等多種監(jiān)測手段［1］。地基平臺由于不受體積和質(zhì)量等因素限制，可采用大發(fā)射功率獲得很遠的監(jiān)測距離、采用大口徑天線得到很高的空間分辨率，是目前小行星監(jiān)測的主要手段。但小行星地基監(jiān)測存在兩個不利因素：一是監(jiān)測站的有效覆蓋范圍無法達到對空域和時域的無縫覆蓋，建立更多的監(jiān)測站受到政治和地理等因素的制約；二是在現(xiàn)有的監(jiān)測手段中，地基雷達的監(jiān)測距離有限，地基光電監(jiān)測易受天氣影響，一般只能在晴夜工作，不能達到全天候和全天時的要求［2］。天基平臺位于地球大氣層外的空間軌道，具有布置靈活、不受大氣和天氣影響、監(jiān)測范圍大等優(yōu)點，大大增強了對小行星的監(jiān)測能力。此外，雷達技術(shù)的監(jiān)測能力與距離的四次方成反比；光電監(jiān)測技術(shù)的監(jiān)測能力與距離的平方成反比［3］，小行星一般距離較遠，因此光電監(jiān)測技術(shù)更有利于小行星的監(jiān)測，并受到越來越多的關(guān)注。

信噪比是決定目標(biāo)能否被成功識別的一個重要因素，也是衡量輻射性能和探測器質(zhì)量的重要指標(biāo)。對于空間目標(biāo)的信噪比分析，學(xué)者們已經(jīng)做了較多的研究工作。金偉其、郝允祥等詳細概述了空間目標(biāo)監(jiān)測信號的計算方法［4-5］。Josh?ua、王書宏、胡琸悅等在不考慮天空背景噪聲的條件下，結(jié)合探測器噪聲得出了小行星天基監(jiān)測信噪比的一般表達式［6-8］。孫成明、張科科等假設(shè)天空背景亮度固定建立了空間目標(biāo)監(jiān)測信噪比的數(shù)學(xué)模型［9-10］。李克新、夏盛夫等結(jié)合恒星星表分別生成了紅外和可見光波段的空間目標(biāo)天基監(jiān)測圖像［11-12］。楊帆、萬志、陳新錦等利用大氣輻射傳輸軟件MODTRAN 得到隨波長變化的天空背景輻射亮度，并分析了空間目標(biāo)紅外地基監(jiān)測以及可見光遙感相機對地面目標(biāo)監(jiān)測的信噪比［13-15］。然而，基于固定天空背景亮度和基于MOTRAN 軟件得到的天空背景亮度不能反應(yīng)天空背景亮度隨太陽-小行星-望遠鏡相位的變化關(guān)系，致使小行星天基信噪比的動態(tài)分析與真實情況存在出入。

小行星天基監(jiān)測的天空背景噪聲主要為黃道光和銀道光亮度［16-17］。本文基于輻射度傳輸理論，引入隨方位和波長變化的黃道光和銀道光亮度模型建立了天空背景亮度模型。首先推導(dǎo)了小行星天基監(jiān)測的信噪比表達式，結(jié)合設(shè)計的可見光傳感器和望遠鏡參數(shù)，計算了目標(biāo)小行星相對望遠鏡的信噪比和視星等隨時間的變化；然后考慮極限信噪比和太陽規(guī)避角，計算了地球領(lǐng)航軌道（地球前方1 058 萬公里）可見光望遠鏡對不同直徑小行星的極限監(jiān)測距離，論證了在地球領(lǐng)航軌道部署可見光望遠鏡預(yù)警來自太陽方向小行星的可行性［18］；最后改變小行星的物理參數(shù)，研究了信噪比和視星等對小行星物理參數(shù)的敏感性，驗證了方法的可靠性。本文建立了考慮黃道光和銀道光的小行星天基監(jiān)測信噪比模型，為小行星天基監(jiān)測的信噪比動態(tài)分析和預(yù)警距離評估提供了理論依據(jù)，同時可為天基光學(xué)載荷的方案設(shè)計及效能評估提供技術(shù)支撐。

2 信噪比模型

小行星在望遠鏡處產(chǎn)生的能量來源于反射的太陽輻射以及自身輻射，結(jié)合目標(biāo)小行星的物理特性、相對太陽和望遠鏡的位置以及探測器和望遠鏡的性能參數(shù)，計算小行星的監(jiān)測信號；結(jié)合天空背景亮度和探測器噪聲，確定小行星天基監(jiān)測的信噪比；以太陽為參考星，確定小行星相對望遠鏡的視星等。

2.1 信號

2.1.1 反射太陽輻射

普朗克定律描述了黑體處于熱力學(xué)溫度T時，在波長為λ處的單色輻射出射度，具體公式為：

其中：Mλ(λ，T)為光譜輻射出射度；h為普朗克常數(shù)為真空中的光速為玻爾茲曼常數(shù)溫度為5 700～6 100 K的黑體光譜輻射出射度Mλ(λ，T)隨波長的變化曲線如圖1 所示，當(dāng)黑體的溫度升高時，其光譜輻射的峰值波長向短波方向移動。

圖1 太陽的光譜輻射出射度Fig.1 Solar spectrum radiant exitance

太陽可以近似看成一個溫度Tsun=5 900 K的黑體，它在波長區(qū)間[λ1，λ2]的總輻射出射度Msun為：

對于某些自身發(fā)射輻射的輻射源，其輻射亮度與方向無關(guān)，這類輻射源稱為朗伯輻射體。絕對黑體是典型的朗伯輻射體，因此可由太陽的輻射亮度Lsun得到輻射出射度Msun，計算公式如下：

太陽對小行星的輻射照度可認為是朗伯圓盤輻射體對空間點的輻射照度，如圖2 所示。根據(jù)距離平方反比定律，輻射照度與輻射強度成正比，與距離的平方成反比。太陽對小行星的輻射照度Esun的計算公式如下：

圖2 朗伯圓盤輻射體的輻射照度Fig.2 Irradiance of Lambert disced radiator

太陽輻射入射到不透明的小行星表面時，一部分能量被小行星吸收，一部分能量從小行星表面反射。被反射的能量與入射能量之比稱為物體的反射本領(lǐng)，小行星的反射本領(lǐng)采用反照率α表示。對于未知小行星，α通常取0.142［19］。當(dāng)太陽-小行星-望遠鏡呈不同的相位關(guān)系時，望遠鏡看到小行星被太陽照亮的面積是不同的。β定義為小行星被太陽照亮且被望遠鏡看到的面積與小行星被太陽照亮面積之比。β的準(zhǔn)確值需要考慮小行星的真實形狀和自轉(zhuǎn)軸指向。β隨時間的變化曲線（即光變曲線）對確定小行星形狀、自轉(zhuǎn)軸指向和自轉(zhuǎn)周期具有重要意義［20-21］。對于球形小行星可采用近似，其中κ為太陽-小行星-望遠鏡的夾角，即太陽角距。因此小行星的輻射出射度Mreflected為：

與太陽的輻射出射度類似，小行星反射的輻射亮度Lreflected為：

再由照度的距離平方反比定律得到小行星反射的太陽輻射對望遠鏡的輻射照度Ereflected，即：

式中：分子為小行星反射太陽輻射的輻射強度；robj是小行星半徑；dobj/sc是小行星質(zhì)心與望遠鏡之間的距離。

2.1.2 自身輻射

小行星自身具有一定的溫度，也會輻射出一部分能量。由于小行星并非黑體，為描述非黑體的輻射，引入輻射發(fā)射率的概念。輻射發(fā)射率ε定義為：在相同溫度下，輻射體的輻射出射度與黑體的輻射出射度之比，ε常取0.9［22］，溫度為280～320 K 的黑體光譜輻射出射度如圖3 所示。其中，灰體的輻射發(fā)射率與波長無關(guān)，小行星一般可認為是灰體。因此熱力學(xué)溫度為Tobj的小行星在波長區(qū)間[λ1，λ2] 的總輻射出射度Memitted為：

圖3 黑體的光譜輻射出射度Fig.3 Spectrum radiant exitance of black body

小行星自身的輻射亮度Lemitted及小行星自身對望遠鏡的輻射照度Eemitted（與前面類似，小行星對望遠鏡的輻射照度仍可認為是朗伯圓盤輻射體對空間中某點的輻射照度）分別為：

其中dobj/sc為小行星質(zhì)心與望遠鏡之間的距離。

望遠鏡接收到的輻射來源有兩部分，一部分是小行星反射的太陽輻射，另一部分是小行星的自身輻射，因此望遠鏡的總輻射照度E=Ereflected+Eemitted。

單個光子的能量為hc/λ，望遠鏡單位時間單位面積接收到的光子數(shù)量Φ為：

在典型的空間目標(biāo)光學(xué)相機系統(tǒng)中，由于小行星距離望遠鏡較遠，像點一般小于一個CCD像元面積；但是當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)存在一定相差或系統(tǒng)不完善時，信號能量會分布在幾個CCD 像元上，此時式（11）應(yīng)乘一個小于1 的系數(shù)，稱為“偏落因子”，表征落在單個像元面積中的信號能量占總能量的百分比。本文假設(shè)小行星的像點落在一個CCD 像元上，因此對于口徑為D0，光學(xué)透過率為τopt，量子效率為η的光學(xué)望遠鏡，積分時間為tint時，望遠鏡單像元接收到小行星的光子數(shù)Ssignal為：

其中：G為光電子增益，N為在積分時間內(nèi)獲得的圖像幀數(shù)。

2.2 噪 聲

2.2.1 天空背景噪聲

天空背景的光源主要為黃道光和銀道光。黃道光的起因主要是行星際塵埃對太陽光的散射，黃道光大致沿著黃道面伸展，它從黃道光光錐的頂部起朝著背日方向延伸，亮度不斷下降，直到離太陽135°左右的地方，此后亮度重新上升，到反日點附近又達到極大，在反日點附近有一個大約20°×10°的區(qū)域顯得比周圍更亮，稱為對日照［23］；銀道光的亮度來源主要為恒星。根據(jù)Roach 等人的模型［24］，黃道光亮度如圖4 所示，其中橫坐標(biāo)為相對太陽黃經(jīng)，縱坐標(biāo)為黃緯；銀道光亮度如圖5 所示，其中橫坐標(biāo)為銀經(jīng)，縱坐標(biāo)為銀緯。圖4 和圖5 中亮度單位均為S10(vis)，205S10(vis) 對應(yīng)的天空背景亮度為

圖4 黃道光亮度Fig.4 Brightness in zodiacal light

圖5 銀道光亮度Fig.5 Brightness in galactic light

以S10(vis)為單位表示的天空亮度為：

其中：B為亮度，cf是與波長有關(guān)的轉(zhuǎn)換系數(shù)，具體數(shù)值如表1 所示［25］。

表1 轉(zhuǎn)換系數(shù)cf 在不同波長處的取值Tab.1 Conversion factors（cf）at different wavelengths

與小行星信號的計算方法類似，由輻射亮度計算出望遠鏡單位時間單位面積接收到天空背景的光子數(shù)Φsky，即：

其中λmid為望遠鏡工作波段的中間值。

2.2.2 散粒噪聲

進入CCD 光敏區(qū)的光子產(chǎn)生光電子的過程可看作是獨立、均勻、連續(xù)發(fā)生的隨機過程。通過望遠鏡測量到的光強度能給出收集到光子的平均數(shù)量，但是無法得知任意時刻實際收集到的光子數(shù)量，光子在給定時間內(nèi)到達的概率由泊松分布控制。泊松分布在大量粒子數(shù)時趨向于正態(tài)分布，此時散粒噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差等于平均粒子數(shù)的平方根，從而散粒噪聲為：

2.2.3 暗電流噪聲

暗電流是由CCD 像元中積累的熱生電子引起的。暗電流積累的速率取決于CCD 的溫度；天文CCD 相機一般工作在制冷狀態(tài)下，以減小暗電流噪聲，暗電流是隨時間累積的，因此暗電流噪聲的平均值取決于溫度和積分時間。這一過程也是泊松隨機分布過程，因此這種噪聲（或暗信號）也稱為暗電流散粒噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)差等于平均暗電流粒子數(shù)的平方根，從而暗電流噪聲為：

其中：ND為暗電流積累的速度，其大小與CCD 溫度有關(guān)。

4.2.4 讀出噪聲

讀出噪聲是將每個像元的電荷轉(zhuǎn)換為信號，并將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字值（ADU 或灰度值）時系統(tǒng)組件產(chǎn)生的所有噪聲的組合。讀出頻率越高，讀出噪聲越高。讀出噪聲的降低，可以通過改進相機的電子設(shè)計或降低讀出速度來實現(xiàn)［26］。讀出噪聲是在讀出像元信號時添加到像元的，各個像元的讀出噪聲是不均勻的，因此通常將讀出噪聲表示為一定數(shù)量的電子 RMS，如NR=0.35e-RMS@500 kHz。

4.2.5 逆增益

逆增益通常為一常量，即：

2.3 信噪比

由上述公式計算出的信號和各項噪聲，小行星在望遠鏡內(nèi)單像元的信噪比為：

2.4 視星等

生理學(xué)得出，人眼的反應(yīng)跟照度E的對數(shù)成正比，即有：

通過比較星等與光度計測出的照度，發(fā)現(xiàn)星等相差5 的照度之比約為100，因此常數(shù)K=星等相差1，照度之比為2.512。特別地，天體的觀測亮度和有效波段有關(guān)，不同波段觀測的星等值有差別，因而有不同的星等系統(tǒng)。星等一般對應(yīng)于星的觀測（“視”）亮暗程度，因此常稱視星等。取太陽為參考星，視星等為-26.74，對應(yīng)的輻照度為Esun，則輻照度為E的小行星的視星等Mv為：

3 仿真計算

以給出的場景為例，仿真目標(biāo)小行星相對地球領(lǐng)航軌道可見光望遠鏡的距離、信噪比和視星等隨時間的動態(tài)變化；以日地L1 點和地球領(lǐng)航軌道為例，計算望遠鏡對不同尺寸小行星的極限監(jiān)測距離，分析在地球領(lǐng)航軌道部署可見光望遠鏡預(yù)警來自太陽方向小行星的可行性。

3.1 仿真參數(shù)

目標(biāo)小行星在日心黃道J2000 坐標(biāo)系中的軌道根數(shù)如表2 所示。小行星軌道遞推模型為在太陽中心引力下的二體模型。目標(biāo)小行星的物理特性參數(shù)如表3 所示。望遠鏡和探測器的性能參數(shù)分別如表4 和表5 所示。

表2 目標(biāo)小行星軌道根數(shù)Tab.2 Orbital elements of target asteroid

表3 目標(biāo)小行星的物理特性參數(shù)Tab.3 Physical parameters of target asteroid

表4 望遠鏡的性能參數(shù)Tab.4 Performance parameters of telescope

表5 探測器的性能參數(shù)Tab.5 Performance parameters of detector

3.2 仿真結(jié)果

3.2.1 場景仿真

在 2025-05-01 12：00：00 至 2025-07-04 12：00：00 期間，小行星和地球領(lǐng)航軌道可見光望遠鏡的軌道以及小行星相對望遠鏡的距離分別如圖6 和圖7 所示，小行星相對望遠鏡的信噪比和視星等分別如圖8 和圖9 所示。在場景時間內(nèi)，目標(biāo)小行星相對望遠鏡的距離增大了約0.09AU，信噪比變化減小了約3.78，小行星的視星等增大了約0.51。

圖6 小行星和地球領(lǐng)航軌道可見光望遠鏡的軌道Fig.6 Orbits of target asteroid and visible telescope de?ployed on Earth-leading heliocentric orbit

圖7 小行星相對地球領(lǐng)航軌道可見光望遠鏡的距離Fig.7 Distance of the target asteroid relative to the visi?ble telescope deployed on Earth-leading heliocen?tric orbit

圖8 小行星相對地球領(lǐng)航軌道可見光望遠鏡的信噪比Fig.8 SNR of target asteroid relative to visible telescope deployed on Earth-leading heliocentric orbit

圖9 小行星相對地球領(lǐng)航軌道可見光望遠鏡的視星等Fig.9 Apparent magnitude of target asteroid relative to visible telescope deployed on Earth-leading helio?centric orbit

3.2.2 監(jiān)測距離

一般認為可以成功識別目標(biāo)所需的最低信噪比為6［27-29］，若直徑為D的小行星在位置黃經(jīng)λ、黃緯β處的信噪比恰好為6，此時小行星與望遠鏡之間的距離d為望遠鏡對此小行星在該情形下的極限監(jiān)測距離。當(dāng)望遠鏡部署于日地L1點或地球領(lǐng)航軌道時，對不同直徑小行星的極限監(jiān)測距離分別如圖10 和圖11 所示（彩圖見期刊電子版），其中白色區(qū)域是望遠鏡對太陽的規(guī)避角（30°），紅色虛線表示距離地球0.05AU 的區(qū)域（進入此空間內(nèi)的小行星認為對地球存在威脅）。顯然，由于太陽規(guī)避角的存在，位于日地L1 點的可見光望遠鏡可觀測天區(qū)無法覆蓋地球周圍0.05AU 中朝向太陽的區(qū)域；而地球領(lǐng)航軌道由于軌道優(yōu)勢，則可觀測天區(qū)覆蓋地球周圍0.05AU 的區(qū)域，能為來自太陽方向20 m 級的小行星提供750 萬公里的預(yù)警距離，因此在地球領(lǐng)航軌道部署望遠鏡預(yù)警來自太陽方向的小行星具有明顯的優(yōu)勢。

圖10 日地L1 點可見光望遠鏡的極限監(jiān)測距離Fig.10 Maximum surveillance distance of visible tele?scope deployed on Sun-Earth L1 point

圖11 地球領(lǐng)航軌道可見光望遠鏡的極限監(jiān)測距離Fig.11 Maximum surveillance distance of visible tele?scope deployed on Earth-leading heliocentric orbit

3.3 參數(shù)敏感性分析

假設(shè)望遠鏡與太陽的距離為1AU，小行星位于太陽和望遠鏡延長線上距望遠鏡1000 萬公里處；小行星的物理特性參數(shù)、望遠鏡和探測器性能參數(shù)與3.1 節(jié)完全相同。在上述基礎(chǔ)上改變小行星的物理特性參數(shù)，如反照率、溫度和發(fā)射率，研究信噪比和視星等對小行星物理參數(shù)的敏感性，驗證本文方法的可靠性。小行星的信噪比和視星等隨小行星反照率、溫度和發(fā)射率的變化曲線如圖12～圖14 所示。結(jié)果表明：在可見光波段，小行星的信噪比和視星等對反照率敏感，對小行星溫度和發(fā)射率不敏感。原因是小行星反照率描述小行星反射太陽輻射的能力，而小行星溫度和發(fā)射率描述小行星自身的輻射能力；在可見光波段，望遠鏡接收到的光子幾乎完全來自于小行星反射的太陽輻射，望遠鏡接收到來自小行星自身輻射的光子約為小行星反射太陽輻射的10?20量級，可以忽略不計；因此小行星的信噪比和視星等在可見光波段對與反射太陽輻射相關(guān)的參數(shù)反照率敏感，而對與小行星自身輻射相關(guān)的參數(shù)溫度和發(fā)射率不敏感。

圖12 小行星信噪比和視星等隨反照率的變化曲線Fig.12 SNR and apparent magnitude vs.asteroid's visu?al albedo

圖13 小行星信噪比和視星等隨溫度的變化曲線Fig.13 SNR and apparent magnitude vs.asteroid's tem?perature

圖14 小行星信噪比和視星等隨發(fā)射率的變化曲線Fig.14 SNR and apparent magnitude vs.asteroid's visu?al emissivity

4 結(jié)論

本文針對小行星天基光學(xué)監(jiān)測中的可見性問題，提出了考慮黃道光和銀道光的小行星天基光學(xué)監(jiān)測信噪比模型，并介紹了小行星輻射度傳輸理論。然后，結(jié)合設(shè)計的可見光傳感器和望遠鏡參數(shù)，仿真了目標(biāo)小行星相對地球領(lǐng)航軌道可見光望遠鏡的距離、信噪比和視星等隨時間的動態(tài)變化?？紤]太陽規(guī)避角，計算了在日地L1 點和地球領(lǐng)航軌道部署可見光望遠鏡對不同直徑小行星的極限監(jiān)測距離，論證了在地球領(lǐng)航軌道預(yù)警來自太陽方向小行星的可行性。改變小行星的物理參數(shù)，研究了信噪比和視星等對小行星物理參數(shù)的敏感性。結(jié)果表明：目標(biāo)小行星在給定的觀測時間內(nèi)相對望遠鏡距離增大了約0.09AU，視星等增大了約0.51 星等，目標(biāo)小行星在口徑為0.7 m 的望遠鏡中信噪比減小了約3.78；望遠鏡的太陽規(guī)避角為30°時，由于觀測天區(qū)覆蓋地球周圍0.05AU 的空間，在地球領(lǐng)航軌道部署可見光望遠鏡預(yù)警來自太陽方向的小行星具有明顯的優(yōu)勢，能為來自太陽方向20 米級的小行星提供750 萬公里的預(yù)警距離；在可見光波段，望遠鏡接收到光子幾乎完全來自于小行星反射的太陽輻射，望遠鏡接收到來自小行星自身輻射的光子可以忽略不計，小行星的信噪比和視星等對反照率敏感，而對溫度和發(fā)射率不敏感。建立的考慮黃道光和銀道光的小行星天基光學(xué)監(jiān)測信噪比模型，為小行星天基光學(xué)監(jiān)測的信噪比動態(tài)分析提供了理論依據(jù)，同時為天基可見光載荷的方案設(shè)計與論證及效能評估提供了技術(shù)支撐。