基于理論解的矩形明渠均勻?qū)恿髯枇ρ芯?/h1>
2022-01-26 06:35:38周曉泉周文桐黃宇航周芳齡
水利技術(shù)監(jiān)督 2022年1期
姚 暢，周曉泉，周文桐，黃宇航，周芳齡
(四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610065)
在水力學(xué)中，把擁有自由表面的液體受重力驅(qū)動(dòng)的流動(dòng)稱為明渠流。天然河道、輸水渠道、渡槽等中的水流皆為明渠流[1]。研究明渠水流流動(dòng)，不僅在水力學(xué)方面具有重要意義，并且在工程實(shí)際中也極其重要。在研究明渠水流流動(dòng)問題時(shí)，明渠水流阻力一直是備受關(guān)注和討論的問題。在明渠流中，阻力的影響因素繁多，比如阻力系數(shù)、寬深比、側(cè)壁影響、床沙級(jí)配等等，這些眾多因素使得眾多學(xué)者前仆后繼做出了大量的試驗(yàn)和研究。
Knight[2-3]根據(jù)試驗(yàn)資料得出了矩形渠道光滑壁面明渠床面阻力和兩側(cè)壁面阻力之間的相關(guān)關(guān)系，并列出了具體的計(jì)算公式。Elgamal Mohamed[4]針對(duì)Chezy公式進(jìn)行修正，修正后的公式可用于計(jì)算具有加速減速流場(chǎng)的復(fù)雜流動(dòng)條件下床層剪切應(yīng)力的局部變化。Kennedy[5]提出了綜合阻力問題，認(rèn)為研究阻力無(wú)需區(qū)分床面阻力和邊壁阻力，只需知道綜合阻力的大小，為其他學(xué)者提供新的方向和思路。惠遇甲、胡春宏[6]發(fā)現(xiàn)無(wú)論是光滑明渠還是粗糙明渠其寬深比對(duì)阻力系數(shù)都有影響，對(duì)粗糙明渠的影響更大。楊樹清[7]提出了流場(chǎng)中任一處所具有的機(jī)械能總是沿到邊界最接近的方向向邊界傳遞的假定，并依據(jù)該假定分別給出側(cè)壁和床面糙率相同時(shí)以及側(cè)壁和床面糙率不同時(shí)的切應(yīng)力計(jì)算公式。胡旭躍[8]通過阻力面積劃分，給出了床面和避免糙率相同時(shí)的切應(yīng)力公式，同時(shí)通過分析資料表明愛因斯坦阻力公式可用于床面和邊壁部分平均阻力計(jì)算。趙振國(guó)、黃春花[9]在假定矩形渠道底部阻力和邊墻阻力相等的條件下，導(dǎo)出了矩形明渠均勻流的流速計(jì)算公式。
一維明渠、二維明渠斷面流速的理論解雖然很早就開始研究，但是鮮有學(xué)者對(duì)該理論解進(jìn)行解讀，本文通過研究推導(dǎo)出的明渠斷面流速的理論解，分析明渠立面阻力與床面阻力問題，同時(shí)還對(duì)矩形明渠中的濕周問題進(jìn)行了探討。
1 矩形明渠數(shù)學(xué)模型及其理論解
1.1 數(shù)學(xué)模型
一般的矩形明渠，沿程可以看成是有個(gè)坡度J的(如圖1所示)，或底部?jī)A角θ的，本文仍將流速定義為流量除以水深，相當(dāng)于將流速定義為垂直水深的方向(如圖2所示)，即流速方向(底部)垂直于水深方向底部垂直于水深，但底部是有坡度性質(zhì)的，這樣便于流動(dòng)的分析。
圖2 一般的解讀方式
本文統(tǒng)一將流動(dòng)方向(垂直于水深方向)定義為x方向，將水面定義為原點(diǎn)并沿水深H方向定義為y方向，將沿渠道寬度方向定義為z方向(如圖3所示)，渠道寬為B，沿x方向有個(gè)坡度J的。
圖3 矩形渠道
1.2 一維明渠
將x方向的流動(dòng)假設(shè)成一個(gè)直線流動(dòng)，且是均勻流，u(y，z)只是y和z的函數(shù)，水面線y=0是對(duì)稱邊界，可以將y=0～H對(duì)稱(鏡像)作鏡像處理，便是y=-H～0，如圖3所示，其中y=H為渠道床面(y=-H為其鏡像床面)，z=-B/2和z=B/2為渠道立面一般我們理解的求解范圍為z=0～B/2，y=0～H便可。
1.2.1控制方程
矩形明渠的范圍在y=0～H，z=-B/2～B/2的范圍，y方向?yàn)橹亓Φ姆较颉?/p>
因此，此流動(dòng)在x方向的動(dòng)量方程[10]為：
(1)
式中，ux—沿水流方向的斷面流速；gx—沿水流方向的重力加速度；p—壓強(qiáng)；ρ—水流密度；μ—?jiǎng)恿︷ざ?；y、z—坐標(biāo)變量。
如果寫成明渠流坡降J的形式，方程即為：
(2)
1.2.2邊界條件
建立的數(shù)學(xué)模型的明渠邊界條件[11]為：
(3a)
ux=0 ony=H
(3b)
(3c)
ux=0 onz=B/2
(3d)
當(dāng)渠道寬B無(wú)窮大時(shí)，x方向的動(dòng)量方程為：
(4)
邊界條件為式(3a)、式(3b)。
我們將渠道寬無(wú)窮大時(shí)的矩形明渠流動(dòng)稱為一維的，因流速僅與坐標(biāo)y有關(guān)，有寬度B的為二維的，流速與坐標(biāo)y和z有關(guān)。
1.2.3一維模型理論解
一維明渠流動(dòng)式(4)，邊界條件式(3a)、(3b)的解比較容易給出：
(5)
式(5)的解為標(biāo)準(zhǔn)的拋物線方程，而斷面(HB)總流量Q為：
(6)
1.3 二維明渠
1.3.1控制方程
二維明渠流動(dòng)式(2)是標(biāo)準(zhǔn)的泊松方程，我們先將其轉(zhuǎn)換為拉普拉斯方程，并設(shè)定：
(7)
將式(7)代入式(2)、式(3)中，我們得到：
(8)
1.3.2邊界條件
相比于一維明渠，二維明渠的邊界條件變?yōu)椋?/p>
(9a)
u’x=0 ony=H
(9b)
(9c)
(9d)
1.3.3二維明渠理論解
上面的拉普拉斯問題便可以用分離變量法求解(過程略)，且解為：
(10)
則求得二維明渠的斷面(HB)總流量Q為：
(11)
2 一維、二維明渠阻力求解
2.1 一維矩形明渠阻力分布
對(duì)渠道無(wú)窮寬的明渠，對(duì)式(5)求導(dǎo)，有：
(12)
(13a)
式(13)表明均勻流時(shí)河床的阻力(切應(yīng)力)同位置無(wú)關(guān)，只是水深H和坡降J的函數(shù)，或者說明了明渠均勻流一個(gè)重要的原則，阻力同重力分量匹配，處處切應(yīng)力一樣。寬度B的河床阻力Fb為：
Fb=τbB=-ρgHBJ
(13b)
2.2 二維矩形明渠阻力分布
對(duì)于一般有限寬度的明渠流，根據(jù)矩形明渠流速分布理論解式(10)，可以求得壁面切應(yīng)力及其分布，對(duì)于床面y=H，對(duì)式(10)求導(dǎo)，有：
(14)
(15)
由式(15)便可以求得床面任意位置的切應(yīng)力：
(16)
顯然，矩形明渠的床面切應(yīng)力處處不一樣，且為z的函數(shù)。床面總受力可以通過積分求得：
(17)
對(duì)于渠道立面z=B/2，對(duì)式(10)求導(dǎo)：
(18)
(19)
立面切應(yīng)力為：
(20)
所以同樣，立面上切應(yīng)力τs處處不一，都是水深y的函數(shù)，立面總受力為：
(21)
將底面和兩個(gè)立面的受力相加，即式(16)與式(20)相加，可以得到總受力F：
(22)
式(22)同樣表明，阻力必須同重力分量匹配。
2.3 不同寬深比下床面與立面阻力比較
τ=-ρgRJ
(23)
通過矩形明渠切應(yīng)力分布可以求得不同寬深比渠道的床面(式(17))和立面(式(21))的受力，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)如下表，表中令式(17)、(21)中的ρgH2J=1，而求得的相對(duì)值：
由表1，可知矩形明渠的寬B不能和2H相加，因?yàn)樽枇Ρ菷b/2Fs與寬深比B/2H嚴(yán)重不相關(guān)，當(dāng)B/2H>1時(shí)床面平均阻力大，B/2H<1時(shí)邊壁立面平均阻力大，只有當(dāng)B/2H=1的唯一條件下，立面與床面的平均阻力一致。所以在矩形明渠流動(dòng)中，濕周計(jì)算X=B+2H是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因此由此得到的水力半徑R也缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，只能作為近似的估算。
表1 不同寬深比條件下床面與立面阻力比
3 對(duì)濕周的解讀
水力學(xué)中的濕周問題常常遇到，它最初來源于管流，特別是圓管內(nèi)的流動(dòng)[12]。圓管內(nèi)的流動(dòng)，特指管內(nèi)滿流時(shí)，這時(shí)管內(nèi)流動(dòng)可以看成是軸對(duì)稱的，在均勻流狀態(tài)下，管壁內(nèi)處處切應(yīng)力τ一樣，因此可以有濕周X=πD，管截面積S=πD2/4，對(duì)其均勻流作受力分析，仍然可以得到：
τX=ρgJS
(24)
所以有
τ=ρgJR
(25)
R=S/X=D/4
(26)
濕周X和水力半徑R對(duì)圓管是成立的，因?yàn)榍袘?yīng)力處處一樣，故濕周可以相加。但對(duì)于矩形明渠卻不成立，不管在底面b還是立面s，處處不一樣，且平均切應(yīng)力也不一樣(B=2H時(shí)是唯一的例外)，故床面的長(zhǎng)度或立面深度方向的濕周是不能相加的，所以水力半徑也是有問題的，除非渠道寬為無(wú)窮大時(shí)可以。
4 結(jié)語(yǔ)
本文從明渠均勻?qū)恿骼碚摻馊胧?，推?dǎo)出一維、二維明渠的流速、流量公式，在此基礎(chǔ)上探尋一維明渠、二維明渠中的阻力分布。根據(jù)推導(dǎo)出的床面、立面任意位置的切應(yīng)力公式分別為渠道寬度方向z、水深方向y的函數(shù)，并且矩形明渠的床面、立面切應(yīng)力各處均不一致。通過對(duì)比不同寬深比(B/2H)下的床面與立面阻力比(Fb/2Fs)，可以發(fā)現(xiàn)只有在寬深比等于1時(shí)，床面阻力才與立面阻力相等。
本文研究結(jié)果反映了矩形明渠層流的阻力特性，針對(duì)濕周提出了新的解讀，濕周X和水力學(xué)半徑R是否適用在矩形明渠流動(dòng)中還需繼續(xù)研究。
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姚 暢，周曉泉，周文桐，黃宇航，周芳齡
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在水力學(xué)中，把擁有自由表面的液體受重力驅(qū)動(dòng)的流動(dòng)稱為明渠流。天然河道、輸水渠道、渡槽等中的水流皆為明渠流[1]。研究明渠水流流動(dòng)，不僅在水力學(xué)方面具有重要意義，并且在工程實(shí)際中也極其重要。在研究明渠水流流動(dòng)問題時(shí)，明渠水流阻力一直是備受關(guān)注和討論的問題。在明渠流中，阻力的影響因素繁多，比如阻力系數(shù)、寬深比、側(cè)壁影響、床沙級(jí)配等等，這些眾多因素使得眾多學(xué)者前仆后繼做出了大量的試驗(yàn)和研究。
Knight[2-3]根據(jù)試驗(yàn)資料得出了矩形渠道光滑壁面明渠床面阻力和兩側(cè)壁面阻力之間的相關(guān)關(guān)系，并列出了具體的計(jì)算公式。Elgamal Mohamed[4]針對(duì)Chezy公式進(jìn)行修正，修正后的公式可用于計(jì)算具有加速減速流場(chǎng)的復(fù)雜流動(dòng)條件下床層剪切應(yīng)力的局部變化。Kennedy[5]提出了綜合阻力問題，認(rèn)為研究阻力無(wú)需區(qū)分床面阻力和邊壁阻力，只需知道綜合阻力的大小，為其他學(xué)者提供新的方向和思路。惠遇甲、胡春宏[6]發(fā)現(xiàn)無(wú)論是光滑明渠還是粗糙明渠其寬深比對(duì)阻力系數(shù)都有影響，對(duì)粗糙明渠的影響更大。楊樹清[7]提出了流場(chǎng)中任一處所具有的機(jī)械能總是沿到邊界最接近的方向向邊界傳遞的假定，并依據(jù)該假定分別給出側(cè)壁和床面糙率相同時(shí)以及側(cè)壁和床面糙率不同時(shí)的切應(yīng)力計(jì)算公式。胡旭躍[8]通過阻力面積劃分，給出了床面和避免糙率相同時(shí)的切應(yīng)力公式，同時(shí)通過分析資料表明愛因斯坦阻力公式可用于床面和邊壁部分平均阻力計(jì)算。趙振國(guó)、黃春花[9]在假定矩形渠道底部阻力和邊墻阻力相等的條件下，導(dǎo)出了矩形明渠均勻流的流速計(jì)算公式。
一維明渠、二維明渠斷面流速的理論解雖然很早就開始研究，但是鮮有學(xué)者對(duì)該理論解進(jìn)行解讀，本文通過研究推導(dǎo)出的明渠斷面流速的理論解，分析明渠立面阻力與床面阻力問題，同時(shí)還對(duì)矩形明渠中的濕周問題進(jìn)行了探討。
1 矩形明渠數(shù)學(xué)模型及其理論解
1.1 數(shù)學(xué)模型
一般的矩形明渠，沿程可以看成是有個(gè)坡度J的(如圖1所示)，或底部?jī)A角θ的，本文仍將流速定義為流量除以水深，相當(dāng)于將流速定義為垂直水深的方向(如圖2所示)，即流速方向(底部)垂直于水深方向底部垂直于水深，但底部是有坡度性質(zhì)的，這樣便于流動(dòng)的分析。
圖2 一般的解讀方式
本文統(tǒng)一將流動(dòng)方向(垂直于水深方向)定義為x方向，將水面定義為原點(diǎn)并沿水深H方向定義為y方向，將沿渠道寬度方向定義為z方向(如圖3所示)，渠道寬為B，沿x方向有個(gè)坡度J的。
圖3 矩形渠道
1.2 一維明渠
將x方向的流動(dòng)假設(shè)成一個(gè)直線流動(dòng)，且是均勻流，u(y，z)只是y和z的函數(shù)，水面線y=0是對(duì)稱邊界，可以將y=0～H對(duì)稱(鏡像)作鏡像處理，便是y=-H～0，如圖3所示，其中y=H為渠道床面(y=-H為其鏡像床面)，z=-B/2和z=B/2為渠道立面一般我們理解的求解范圍為z=0～B/2，y=0～H便可。
1.2.1控制方程
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因此，此流動(dòng)在x方向的動(dòng)量方程[10]為：
(1)
式中，ux—沿水流方向的斷面流速；gx—沿水流方向的重力加速度；p—壓強(qiáng)；ρ—水流密度；μ—?jiǎng)恿︷ざ?；y、z—坐標(biāo)變量。
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(2)
1.2.2邊界條件
建立的數(shù)學(xué)模型的明渠邊界條件[11]為：
(3a)
ux=0 ony=H
(3b)
(3c)
ux=0 onz=B/2
(3d)
當(dāng)渠道寬B無(wú)窮大時(shí)，x方向的動(dòng)量方程為：
(4)
邊界條件為式(3a)、式(3b)。
我們將渠道寬無(wú)窮大時(shí)的矩形明渠流動(dòng)稱為一維的，因流速僅與坐標(biāo)y有關(guān)，有寬度B的為二維的，流速與坐標(biāo)y和z有關(guān)。
1.2.3一維模型理論解
一維明渠流動(dòng)式(4)，邊界條件式(3a)、(3b)的解比較容易給出：
(5)
式(5)的解為標(biāo)準(zhǔn)的拋物線方程，而斷面(HB)總流量Q為：
(6)
1.3 二維明渠
1.3.1控制方程
二維明渠流動(dòng)式(2)是標(biāo)準(zhǔn)的泊松方程，我們先將其轉(zhuǎn)換為拉普拉斯方程，并設(shè)定：
(7)
將式(7)代入式(2)、式(3)中，我們得到：
(8)
1.3.2邊界條件
相比于一維明渠，二維明渠的邊界條件變?yōu)椋?/p>
(9a)
u’x=0 ony=H
(9b)
(9c)
(9d)
1.3.3二維明渠理論解
上面的拉普拉斯問題便可以用分離變量法求解(過程略)，且解為：
(10)
則求得二維明渠的斷面(HB)總流量Q為：
(11)
2 一維、二維明渠阻力求解
2.1 一維矩形明渠阻力分布
對(duì)渠道無(wú)窮寬的明渠，對(duì)式(5)求導(dǎo)，有：
(12)
(13a)
式(13)表明均勻流時(shí)河床的阻力(切應(yīng)力)同位置無(wú)關(guān)，只是水深H和坡降J的函數(shù)，或者說明了明渠均勻流一個(gè)重要的原則，阻力同重力分量匹配，處處切應(yīng)力一樣。寬度B的河床阻力Fb為：
Fb=τbB=-ρgHBJ
(13b)
2.2 二維矩形明渠阻力分布
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(14)
(15)
由式(15)便可以求得床面任意位置的切應(yīng)力：
(16)
顯然，矩形明渠的床面切應(yīng)力處處不一樣，且為z的函數(shù)。床面總受力可以通過積分求得：
(17)
對(duì)于渠道立面z=B/2，對(duì)式(10)求導(dǎo)：
(18)
(19)
立面切應(yīng)力為：
(20)
所以同樣，立面上切應(yīng)力τs處處不一，都是水深y的函數(shù)，立面總受力為：
(21)
將底面和兩個(gè)立面的受力相加，即式(16)與式(20)相加，可以得到總受力F：
(22)
式(22)同樣表明，阻力必須同重力分量匹配。
2.3 不同寬深比下床面與立面阻力比較
τ=-ρgRJ
(23)
通過矩形明渠切應(yīng)力分布可以求得不同寬深比渠道的床面(式(17))和立面(式(21))的受力，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)如下表，表中令式(17)、(21)中的ρgH2J=1，而求得的相對(duì)值：
由表1，可知矩形明渠的寬B不能和2H相加，因?yàn)樽枇Ρ菷b/2Fs與寬深比B/2H嚴(yán)重不相關(guān)，當(dāng)B/2H>1時(shí)床面平均阻力大，B/2H<1時(shí)邊壁立面平均阻力大，只有當(dāng)B/2H=1的唯一條件下，立面與床面的平均阻力一致。所以在矩形明渠流動(dòng)中，濕周計(jì)算X=B+2H是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因此由此得到的水力半徑R也缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，只能作為近似的估算。
表1 不同寬深比條件下床面與立面阻力比
3 對(duì)濕周的解讀
水力學(xué)中的濕周問題常常遇到，它最初來源于管流，特別是圓管內(nèi)的流動(dòng)[12]。圓管內(nèi)的流動(dòng)，特指管內(nèi)滿流時(shí)，這時(shí)管內(nèi)流動(dòng)可以看成是軸對(duì)稱的，在均勻流狀態(tài)下，管壁內(nèi)處處切應(yīng)力τ一樣，因此可以有濕周X=πD，管截面積S=πD2/4，對(duì)其均勻流作受力分析，仍然可以得到：
τX=ρgJS
(24)
所以有
τ=ρgJR
(25)
R=S/X=D/4
(26)
濕周X和水力半徑R對(duì)圓管是成立的，因?yàn)榍袘?yīng)力處處一樣，故濕周可以相加。但對(duì)于矩形明渠卻不成立，不管在底面b還是立面s，處處不一樣，且平均切應(yīng)力也不一樣(B=2H時(shí)是唯一的例外)，故床面的長(zhǎng)度或立面深度方向的濕周是不能相加的，所以水力半徑也是有問題的，除非渠道寬為無(wú)窮大時(shí)可以。
4 結(jié)語(yǔ)
本文從明渠均勻?qū)恿骼碚摻馊胧?，推?dǎo)出一維、二維明渠的流速、流量公式，在此基礎(chǔ)上探尋一維明渠、二維明渠中的阻力分布。根據(jù)推導(dǎo)出的床面、立面任意位置的切應(yīng)力公式分別為渠道寬度方向z、水深方向y的函數(shù)，并且矩形明渠的床面、立面切應(yīng)力各處均不一致。通過對(duì)比不同寬深比(B/2H)下的床面與立面阻力比(Fb/2Fs)，可以發(fā)現(xiàn)只有在寬深比等于1時(shí)，床面阻力才與立面阻力相等。
本文研究結(jié)果反映了矩形明渠層流的阻力特性，針對(duì)濕周提出了新的解讀，濕周X和水力學(xué)半徑R是否適用在矩形明渠流動(dòng)中還需繼續(xù)研究。
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