帶變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)的集優(yōu)化問(wèn)題的適定性

熊佳琪，王三華李秋英

(南昌大學(xué)a.數(shù)學(xué)系,江西 南昌 330031;b.科學(xué)技術(shù)學(xué)院,江西 共青城 332020)

1 引言與研究背景

集優(yōu)化由Kuroiwa[1]于1997年首次提出，它以目標(biāo)函數(shù)的每個(gè)像集(集合)作為處理對(duì)象，通過(guò)像集間的優(yōu)劣比較來(lái)獲得最優(yōu)解。集優(yōu)化是向量?jī)?yōu)化研究的深入與發(fā)展，它為研究和處理模糊優(yōu)化、向量?jī)?yōu)化、隨機(jī)優(yōu)化、魯棒優(yōu)化以及變分包含等問(wèn)題提供了簡(jiǎn)潔且統(tǒng)一的框架，并逐步被應(yīng)用于運(yùn)籌學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等諸多學(xué)科領(lǐng)域，受到極大關(guān)注。經(jīng)過(guò)不斷發(fā)展，目前，集優(yōu)化的研究在最優(yōu)性條件、對(duì)偶理論、標(biāo)量化、適定性、穩(wěn)定性、Ekeland變分原理等方面都取得了很好的進(jìn)展(參見(jiàn)[2-8]及其參考文獻(xiàn))。

另一方面，在大量決策問(wèn)題中，時(shí)間是一個(gè)不可忽視的因素。于是，由于時(shí)空的改變，決策者的“偏好”隨時(shí)間變化而不同。為了處理這類(lèi)問(wèn)題，研究者們引入了變動(dòng)偏好結(jié)構(gòu)(控制結(jié)構(gòu))，得到帶變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)的向量?jī)?yōu)化問(wèn)題。由于應(yīng)用前景廣泛，這類(lèi)問(wèn)題受到極大關(guān)注并得到了很好發(fā)展，產(chǎn)生了豐富的理論和應(yīng)用研究結(jié)果(參見(jiàn)專(zhuān)著[9]及其參考文獻(xiàn))。2016年，Eichfelder和Pilecka[10-11]還把變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)引入到集優(yōu)化，給出了最優(yōu)解概念及其相互關(guān)系等基礎(chǔ)研究成果。本文將進(jìn)一步把變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)引入到集優(yōu)化的適定性問(wèn)題，討論其Levitin-Polyak(簡(jiǎn)寫(xiě)為L(zhǎng)P)適定性及廣義LP適定性的充分性條件與刻畫(huà)。據(jù)我們所知，之前還沒(méi)有這方面的成果報(bào)道。

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X，Y是實(shí)賦范線性空間，M是X中的非空子集。記2Y={A?Y:A≠?}。再設(shè)F:X→2Y是一個(gè)集值映射?？紤]集優(yōu)化問(wèn)題：

為了給出(SOP)最優(yōu)解的概念，我們先引入序關(guān)系。

若C?Y是閉凸點(diǎn)錐，則C能誘導(dǎo)Y上的偏序：x≤yiffy-x∈C,x,y∈Y。

2016年，Eichfelder和Pilecka([10])利用變動(dòng)錐，定義了變動(dòng)序關(guān)系。

定義2.1設(shè)C,P:Y→2Y是集值映射，使得?y∈Y,C(y),P(y)是閉凸點(diǎn)錐。稱(chēng)C,P為變動(dòng)偏序(控制)結(jié)構(gòu)。在Y中定義兩種不同的變動(dòng)序關(guān)系：

(2.1)

(2.2)

注2.1(ⅰ)一般來(lái)說(shuō)，這兩種變動(dòng)序關(guān)系并不是前序，從而也不是偏序；(ⅱ)變動(dòng)序關(guān)系(2.1)反映了控制思維，而變動(dòng)序關(guān)系(2.2)體現(xiàn)了偏好想法。詳見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

進(jìn)一步，Eichfelder和Pilecka([10])又給出了集合的變動(dòng)序關(guān)系。

定義2.2設(shè)C,P如定義定義2.1所述。在Y中定義關(guān)于集合的兩種變動(dòng)序關(guān)系:A,B∈2Y，

A≤CB?(?a∈A,?b∈B:a≤Cb)??a∈A:B∩(a+C(a))≠?

(2.3)

(2.4)

注2.2若?a∈Y,C(a)=P(a)=C(C?Y是一固定的閉凸點(diǎn)錐)，那么上述關(guān)于集合的兩種變動(dòng)序關(guān)系(2.3)與(2.4)相同，且均退化為文獻(xiàn)[1]中由固定錐所定義的序關(guān)系。

利用變動(dòng)序關(guān)系，我們給出(SOP)在變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)解概念。

接下來(lái)，我們給出文中要用到的一些基本概念和已知結(jié)論。

定義2.4[12]設(shè)X,Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，稱(chēng)映射F:X→2Y

(ⅰ)在x0∈X點(diǎn)是上半連續(xù)的(簡(jiǎn)寫(xiě)為u.s.c.)，如果對(duì)每一開(kāi)集V且F(x0)?V，存在x0的鄰域U(x0)，使得F(x)?V,?x∈U(x0)；

(ⅱ)在x0∈X點(diǎn)是下半連續(xù)的(簡(jiǎn)寫(xiě)l.s.c.)，如果對(duì)每一個(gè)開(kāi)集V且F(x0)∩V≠?，存在x0的鄰域U(x0)，使得F(x)∩V≠?，?x∈U(x0)；

(ⅲ)在X上是u.s.c.(相應(yīng)地，l.s.c.)的，如果F在X上的每一點(diǎn)是u.s.c.(相應(yīng)地，l.s.c.)的。

引理2.1[13]設(shè)X,Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，F(xiàn):X→2Y是一集值映射。給定x0∈X。

(ⅰ)如果F(x0)是緊集，則F在x0是u.s.c.的當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意的網(wǎng){xα}?X且xα→x0和任意的網(wǎng){yα}且yα∈F(xα)，存在某個(gè)y0∈F(x0)以及網(wǎng){yα}的某子網(wǎng){yβ}，使得yβ→y0；

(ⅱ)F在x0∈X點(diǎn)是l.s.c.的當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意的y0∈F(x0)和任意的網(wǎng){xα}且xα→x0，存在網(wǎng){yα}，使得yα∈F(xα)且yα→y0。

定義2.5[14]設(shè)X是一Hausdorff拓?fù)渚€性空間，Y是一實(shí)賦范線性空間，BY是Y中的閉單位球。設(shè)C：X→2Y是一錐值映射，即?x∈X，C(x)是Y中的錐。稱(chēng)映射C

(ⅰ)在x0∈X點(diǎn)為無(wú)限上連續(xù)(簡(jiǎn)記為c.u.c.)，如果映射x→C(x)∩BY在x0點(diǎn)為u.s.c.；

(ⅱ)在X上為c.u.c.，如果它在X上的每一點(diǎn)為c.u.c.。

注2.3易知，C在x0∈X點(diǎn)為c.u.c.當(dāng)且僅當(dāng)-C在x0點(diǎn)為c.u.c.。

引理2.2[14]C在x0∈X點(diǎn)為c.u.c.的充要條件是，對(duì)任意有界閉集B?Y，映射x→C(x)∩B在x0點(diǎn)是u.s.c.的。

定義2.6[15]設(shè)(E,d)是度量空間。集合A,B?E的Hausdorff距離定義為

H(A,B):=max{h(A,B),h(B,A)}，

定義2.7[15]設(shè)(E,d)是完備的度量空間。集合A?E的Kuratowski非緊性測(cè)度定義為

這里diam(Ai)表示集合(Ai)的直徑，其定義為diam(Ai)=sup{d(x1,x2):x1,x2∈Ai}。

引理2.3[16]下述結(jié)論成立：

(ⅰ)若A是緊集，則μ(A)=0；

(ⅱ)若A?B，則μ(A)≤μ(B)；

(ⅲ)若{An}是E中的一列非空閉集，滿足An+1?An且μ(An)→0(n→∞)，那么集合A:=∩n∈An是非空緊集且H(An,A)→0(n→∞)。

3 主要結(jié)果

本節(jié)，我們將討論(SOP)在變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)下的LP適定性與廣義LP適定性。

除特別說(shuō)明外，本節(jié)始終假設(shè)X,Y是實(shí)賦范線性空間，M是X中的非空閉子集。再設(shè)F:X→2Y是一集值映射，C,P:Y→2Y是錐值映射，滿足?y∈Y,C(y),P(y)是閉凸點(diǎn)錐。?ε>0，用B+(0,ε)表示中的閉區(qū)間[0,ε]。為了討論方便，令并假設(shè)集合均非空。任取給定和

定義3.1稱(chēng)點(diǎn)列{xn}?X為(SOP)

為了方便，我們定義近似解集如下：?ε→0,

我們先討論(SOP)關(guān)于變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)C的LP適定性和廣義LP適定性。

命題3.1下列結(jié)論成立：

(ⅰ)SC=∪z∈SCSC(z,0);

證明(ⅰ)若x∈SC,則由序關(guān)系≤C的自反性，可知x∈SC(x,0)?∪z∈SCSC(z,0)。故SC?∪z∈SCSC(z,0)。進(jìn)一步，若x∈∪z∈SCSC(z,0)，則存在z∈SC，使得x∈SC(z,0)。于是x∈M且F(x)≤CF(z)。?u∈M，若F(u)≤CF(x)，則由序關(guān)系≤C的傳遞性，知F(u)≤CF(z)。又z∈SC，故F(z)≤CF(u)。再次利用序關(guān)系≤C的傳遞性，知F(x)≤CF(u)。這說(shuō)明x∈SC，因而∪z∈SCSC(z,0)?SC。

注意到0≤ε1≤ε2，有d(x,M)≤ε2，且B+(0,ε1)e1?B+(0,ε2)e1。于是

(3.1)

(3.2)

(3.3)

對(duì)上述0點(diǎn)的開(kāi)鄰域V0，存在r0>0，使得Br0?V0，這里Br0表示Y中以0點(diǎn)為中心，r0為半徑的閉球。進(jìn)而，存在ε0>0，使得?ε∈(0,ε0)，B+(0,ε)e1?Br0。于是，?ε∈(0,ε0)，有

定理3.1設(shè)M是緊集。若下列條件成立

(ⅱ)C在Y上是c.u.c.的。

(3.4)

(3.5)

我們斷言

(3.6)

(3.7)

對(duì)上述V0，因?yàn)镃在Y上是c.u.c.的且εn→0，yn→y0，故存在n0∈N+，使得?n≥n0，

C(yn)∩G?C(y0)∩G+V0，

結(jié)合(3.7)式，可得

下面，我們用非緊性測(cè)度來(lái)刻畫(huà)(SOP)關(guān)于變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)C的廣義LP適定性。

定理3.2設(shè)X是實(shí)Banach空間，M是X中的緊子集。若下列條件成立

C在Y上是c.u.c.的。

由此可知，為證結(jié)論成立，我們只需證明

(3.8)

事實(shí)上，假若(3.8)式不成立，則存在實(shí)數(shù)r>0，數(shù)列{εn}?+，εn→0以及序列使得于是

(3.9)

例3.1設(shè)X=，M=[1,8]?X。又設(shè)Y=2，BY為Y中的閉單位球。令-=(-∞,0]。對(duì)任意的y=(y1,y2)∈Y，令

這里cone(A)表示集合A的錐包。再定義集值映射F:X→2Y

接下來(lái),我們?cè)儆懻?SOP)關(guān)于變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)P的LP適定性和廣義LP適定性。

命題3.2下列結(jié)論成立：

(ⅰ)SP=∪z∈SPSP(z,0)；

證明(ⅰ)和(ⅱ)的證明過(guò)程類(lèi)似于命題3.1中對(duì)應(yīng)的(ⅰ)和(ⅱ)。

(3.10)

[u-y+Vy]∩[-P(y)∩B+Vy]=?

(3.11)

(3.12)

最后一個(gè)包含關(guān)系用到了集合Vyi的平衡性。又

故由(3.12)式，有-P(z)∩B?-P(yi)∩B+Vyi。結(jié)合(3.11)式，得u-z?-P(z)∩B。而

注3.2通過(guò)比較命題3.1和命題3.2的證明過(guò)程，可以看出序關(guān)系≤P比序關(guān)系≤C更難處理。

F(x0)≤PK，即F(x0)?∪z∈K(z-P(z))

(3.13)

因此，還需證明(3.13)式成立。事實(shí)上，假若不成立，則存在u0∈F(x0)，使得?z∈K,u0?z-P(z)，即u0-z?-P(z)。對(duì)上述的u0∈F(x0)，由F在X上的l.s.c.性以及引理2.1(ⅱ)知，存在點(diǎn)列{un}?X，使得un∈F(xn)且un→u0。對(duì)任意給定的z∈K，令B=u0-K+BY，其中BY為Y中的閉單位球，則B是Y中的有界閉集且u0-z?-P(z)∩B。由分離性質(zhì)知，存在0點(diǎn)的平衡鄰域Vz?Y，使得

[u0-z+Vz]∩[-P(z)∩B+Vz]=?

(3.14)

(3.15)

若ε=0，則由d(x0,M)≤ε及M的閉性，知x0∈M。從而由命題3.3的證明可知：

定理3.4設(shè)M是緊集。若下列條件成立

(ⅱ)P在Y上是c.u.c.的。

最后，按照定理3.1所對(duì)應(yīng)的剩余部分證明即可得結(jié)論。

分別仿照定理3.2和3.3的證明那樣討論，我們還可得到(SOP)關(guān)于變動(dòng)偏序結(jié)構(gòu)P的LP適定性及廣義LP適定性的刻畫(huà)。

定理3.5設(shè)X是實(shí)Banach空間，M是X中的緊子集。若下列條件成立

(ⅱ)P在Y上是c.u.c.的。