基于固定界面法的旋轉(zhuǎn)裂紋葉片動(dòng)力學(xué)特性分析

陳雪蓮，曾勁，馬輝

（1.遼寧省交通高等?？茖W(xué)校信息工程系，沈陽(yáng) 110122；2.西南交通大學(xué)力學(xué)與航空航天學(xué)院，成都 611756；3.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，4.航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室：沈陽(yáng) 110819）

0 引言

旋轉(zhuǎn)葉片常承受著離心載荷、氣動(dòng)載荷等復(fù)雜交變載荷的聯(lián)合作用，極易導(dǎo)致葉片疲勞裂紋的萌發(fā)[1-3]。開展葉片裂紋的早期損傷監(jiān)測(cè)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并更換故障葉片，對(duì)于減少停機(jī)時(shí)間和維護(hù)成本，避免災(zāi)難性事故的發(fā)生具有重要意義[4]。

目前，對(duì)故障葉片多采用基于振動(dòng)的分析方法進(jìn)行診斷[5]。Liu等[6]采用自編裂紋六面體單元建立了裂紋直板葉片的動(dòng)力學(xué)模型，并與基于軟件開發(fā)的采用接觸單元建立的裂紋葉片模型進(jìn)行了振動(dòng)特性的對(duì)比驗(yàn)證；Cheng等[7]采用p型有限元方法推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)錐型裂紋葉片的動(dòng)力學(xué)方程，并與采用傳統(tǒng)有限元方法建立的模型進(jìn)行了對(duì)比，從而驗(yàn)證了其模型的有效性；李宏坤等[8]基于構(gòu)造的WSG隨機(jī)共振模型提取了離心式壓縮機(jī)中含裂紋葉片的故障特征頻率；Shukla等[9]和Fu等[10]研究了不同裂紋尺寸對(duì)葉片前3階模態(tài)的影響，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證；Saito等[11-12]、D'souza等[13]采用混合模態(tài)綜合法研究了邊緣穿透裂紋對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片頻率特性的影響以及葉尖處承受諧波載荷作用下系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)；Wang等[14-16]采用混合界面模態(tài)綜合法對(duì)含裂紋葉片的離心式壓縮機(jī)進(jìn)行了自由度縮減，在此基礎(chǔ)上研究了單點(diǎn)集中諧波載荷作用下系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。以上有關(guān)裂紋葉片的研究多簡(jiǎn)化為結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單的梁/板類模型，并在此基礎(chǔ)上開展裂紋對(duì)葉片動(dòng)力特性的定性分析，而涉及到結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的裂紋葉片模型，如變厚度扭形裂紋葉片，則較多地從試驗(yàn)角度進(jìn)行測(cè)試和分析。此外，很多學(xué)者盡管也采用模態(tài)綜合法對(duì)裂紋葉片進(jìn)行了降維處理，但多分析減縮的旋轉(zhuǎn)態(tài)裂紋葉片模型（降維模型）承受非面載作用時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)，而實(shí)際上葉片在旋轉(zhuǎn)態(tài)下往往受到氣動(dòng)面載荷的作用。

本文主要在前人研究的基礎(chǔ)上，基于ANSYS分析軟件，采用固定界面模態(tài)綜合法對(duì)旋轉(zhuǎn)態(tài)下的變厚度扭形裂紋葉片進(jìn)行了自由度縮減，并考慮裂紋面處的接觸特性以及旋轉(zhuǎn)引入的離心剛化效應(yīng)分析了裂紋葉片在承受氣動(dòng)面載荷作用下的振動(dòng)響應(yīng)，并與未減縮模型進(jìn)行了精度和效率的對(duì)比。

1 裂紋葉片模型

1.1 裂紋葉片的有限元模型

裂紋葉片模型如圖1所示。圖1（a）為裂紋葉片在進(jìn)行降維處理時(shí)所劃分的3個(gè)超單元區(qū)塊（超單元1、2、3）。此外，對(duì)于主節(jié)點(diǎn)的選取，除保留超單元的界面節(jié)點(diǎn)外（界面2和3上的所有節(jié)點(diǎn)），還保留了界面1處所有節(jié)點(diǎn)（其目的是為了對(duì)葉根施加固支約束）、葉尖處邊線1和2上所有節(jié)點(diǎn)（主要控制葉片模型的1階扭轉(zhuǎn)特性）以及區(qū)域Ⅰ和Ⅱ上的所有節(jié)點(diǎn)（主要控制葉片模型的彎曲特性）作為主節(jié)點(diǎn)（圖1（a））。

圖1 裂紋葉片模型

圖1（b）為葉片裂紋的截面（對(duì)應(yīng)圖1（a）中界面2處的剖視圖），圖中裂紋曲線采用半橢圓方程來(lái)描述，其中，弧JC的長(zhǎng)度為弧JCD的長(zhǎng)度與無(wú)量綱裂紋深度d的乘積；弧JB的長(zhǎng)度為弧JBA的長(zhǎng)度與無(wú)量綱裂紋深度d的乘積；線段JE1的長(zhǎng)度為線段JK的長(zhǎng)度與無(wú)量綱裂紋深度h的乘積。此外，關(guān)于葉片裂紋建模還有如下說(shuō)明：式（1）局部坐標(biāo)系oxy的建立以及坐標(biāo)原點(diǎn)o的選??；式（2）J和K點(diǎn)的確定。對(duì)于式（1），o為線段BC的中點(diǎn)，且■→■■oC向?yàn)閤軸正向，y軸正向可通過(guò)將x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到。對(duì)于式（2），J點(diǎn)為葉背面上連接F和G點(diǎn)的最短弧線FG與裂紋截面的交點(diǎn)（F和G點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)葉背面上葉尖和葉根處的曲線中點(diǎn)），而K點(diǎn)為葉盆面上連接H和I點(diǎn)的最短弧線HI與裂紋截面的交點(diǎn)（H和I點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)葉盆面上葉尖和葉根處的曲線中點(diǎn)）。

圖1（c）、（d）分別對(duì)應(yīng)裂紋葉片的未減縮模型和減縮模型。圖中p為葉片裂紋位置（取p=0.5L），R為葉片旋轉(zhuǎn)半徑（R=219.02 mm），L為葉片長(zhǎng)度（L=88.87 mm）。

葉片的材料參數(shù)設(shè)置如下：楊氏模量E=125 GPa，泊松比υ=0.3，密度ρ=4370 kg/m3。裂紋葉片采用全六面體網(wǎng)格進(jìn)行劃分，分網(wǎng)單元采用Solid185。此外，為了模擬葉片裂紋的呼吸效應(yīng)，采用接觸單元來(lái)進(jìn)行模擬，其中接觸的設(shè)置如下：靠近葉片固定端的裂紋面采用Targe170單元來(lái)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，而遠(yuǎn)離葉片固定端的裂紋面則采用Conta174單元來(lái)進(jìn)行網(wǎng)格劃分。

1.2 基于固定界面法的裂紋葉片降維理論

對(duì)于得到的離散裂紋葉片有限元模型，其動(dòng)力學(xué)方程為

將式（1）中的矩陣方程按主自由度（與保留的主節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的自由度）、從自由度（非主節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的自由度）作如下歸類整理

式中：M、C、K、Fe和Fc分別為裂紋葉片的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、外激振力向量和非線性接觸力向量；u¨、u˙和u分別為葉片的節(jié)點(diǎn)加速度、節(jié)點(diǎn)速度和節(jié)點(diǎn)位移向量；α和β為瑞利阻尼系數(shù)，本文中取α=31.69，β=2.91×10-6；下標(biāo)“m“表示主自由度，“s”表示從自由度。

基于固定界面法[17-18]，對(duì)式（1）中的節(jié)點(diǎn)位移作如下坐標(biāo)變換

式中：T為坐標(biāo)變換矩陣；I為單位矩陣；Φ為在主節(jié)點(diǎn)固定下得到的與保留模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)r（r＜＜s）相對(duì)應(yīng)的特征向量；q為廣義模態(tài)坐標(biāo)向量。

將式（3）代入式（1）同時(shí)在式（1）的左右兩端同時(shí)左乘TT，得到維數(shù)為（m+r）階的葉片動(dòng)力學(xué)方程

本文分析中取模態(tài)截?cái)鄶?shù)r=1。

2 裂紋葉片的動(dòng)力學(xué)特性分析

針對(duì)得到的減縮裂紋葉片模型，分析其前3階動(dòng)頻特性以及特定轉(zhuǎn)速下，減縮模型承受氣動(dòng)面載荷作用時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)，并與未減縮模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

2.1 裂紋葉片的固有特性分析

開裂紋葉片前3階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律如圖2（a）～（c）所示。對(duì)于 給 定轉(zhuǎn)速區(qū)間n∈[0，10000]r/min，減縮裂紋葉片模型和未減縮裂紋葉片模型前2階固有頻率吻合較好（誤差＜0.5%），第3階動(dòng)頻誤差稍大（最大誤差約為1.4%），如圖2（d）所示。轉(zhuǎn)速n=10000 r/min時(shí)減縮模型和未減縮模型的前3階模態(tài)如圖3所示，結(jié)果吻合較好。

圖2 開裂紋葉片前3階動(dòng)頻對(duì)比

圖3 開裂紋葉片前3階振型對(duì)比（n=10000 r/min）

2.2 裂紋葉片的瞬態(tài)響應(yīng)分析

動(dòng)頻分析表明，減縮模型與未減縮模型的誤差較大值主要存在于轉(zhuǎn)速區(qū)間端點(diǎn)值n=0、10000 r/min，同時(shí)，為了考慮與轉(zhuǎn)速相關(guān)的氣動(dòng)載荷作用，選取轉(zhuǎn)速n=2000、10000 r/min時(shí)，裂紋葉片葉盆面（圖1（b））承受氣動(dòng)載荷P（t）=F0sin（2πkfrt）/Ab作用下的振動(dòng)響應(yīng)。F0為作用于葉盆面上的總力，Ab為葉盆面面積，k為轉(zhuǎn)子葉片前排的定子葉片數(shù)，fr為轉(zhuǎn)頻（fr=n/60 Hz），t為求解時(shí)間。本文研究中取F0=50 N，Ab=5311.8 mm2，k=10，t=10/fr。本文在仿真分析中取時(shí)間積分步長(zhǎng)Δt=1/（60kfr）。

在n=2000、10000 r/min時(shí)減縮模型和未減縮模型的求解時(shí)間對(duì)比見表1，減縮模型的求解時(shí)間比未減縮模型的短，且減縮模型在低轉(zhuǎn)速條件下效率提高顯著。在n=2000、10000 r/min時(shí)裂紋葉片承受氣動(dòng)載荷作用下X向和Y向的振動(dòng)響應(yīng)如圖4、5所示（Z向振動(dòng)響應(yīng)遠(yuǎn)小于X向和Y向，故在本文中不考慮）。從圖4中可見，在n=2000 r/min時(shí)減縮模型和未減縮模型的振動(dòng)響應(yīng)和頻譜成分吻合較好，且有明顯的2fe成分出現(xiàn)，這主要是由于葉片裂紋呼吸導(dǎo)致的非線性效應(yīng)。從圖5中可見，高頻激勵(lì)下減縮模型和未減縮模型響應(yīng)差別稍大（相對(duì)于低頻激勵(lì)），但頻率成分基本吻合。造成這種誤差的原因主要是由于激勵(lì)頻率fe選擇過(guò)高，從而與固定界面模態(tài)綜合法在理論推導(dǎo)過(guò)程中要求激勵(lì)頻率fe應(yīng)遠(yuǎn)小于部件（即圖1（a）中的超單元1、2、3）的1階固有頻率[18]相矛盾所致。

圖5 減縮模型和未減縮模型的振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比（n=10000 r/min）

表1 減縮模型和未減縮模型求解時(shí)間對(duì)比

裂紋面上的接觸壓力時(shí)程曲線如圖6所示。圖6（a）中裂紋面上的接觸壓力時(shí)程曲線也證明了圖4中表現(xiàn)出的裂紋的呼吸效應(yīng)；圖6（b）則表明n=10000 r/min時(shí)裂紋面上的接觸壓力逐漸衰減至0，即出現(xiàn)了不呼吸的情況。此外，圖4～6還表明高頻激勵(lì)下系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間較長(zhǎng)。在n=2000、10000 r/min時(shí)與圖4、5標(biāo)注的頻率成分相對(duì)應(yīng)的減縮模型和未減縮模型的幅值對(duì)比見表2。

圖4 減縮模型和未減縮模型的振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比（n=2000 r/min）

圖6 裂紋面上的接觸壓力時(shí)程曲線

表2 減縮模型和未減縮模型的幅值對(duì)比 mm

3 結(jié)論

（1）葉片裂紋的呼吸特性取決于離心載荷和氣動(dòng)載荷的聯(lián)合作用，且在低轉(zhuǎn)速下氣動(dòng)載荷占主導(dǎo)，在高轉(zhuǎn)速下則離心載荷占主導(dǎo)。

（2）在低轉(zhuǎn)速下減縮模型的求解時(shí)間比未減縮模型的縮短約37.35%，而在高轉(zhuǎn)速下求解時(shí)間縮短約12.33%。造成這種差異的原因主要是由于在低轉(zhuǎn)速下裂紋呼吸效應(yīng)導(dǎo)致的接觸迭代和未減縮模型自由度數(shù)眾多而導(dǎo)致耗時(shí)更長(zhǎng)，而在高轉(zhuǎn)速下裂紋呼吸效應(yīng)較弱甚至消失，因而計(jì)算時(shí)幾乎僅取決于模型的自由度數(shù)。換言之，在低轉(zhuǎn)速下減縮模型的求解效率比在高轉(zhuǎn)速下的偏高。

（3）減縮模型在低頻和高頻載荷激勵(lì)下的頻譜成分與未減縮模型的相同，且在低頻激勵(lì)下各頻率成分的幅值也幾乎相同，而在高頻載荷激勵(lì)下的幅值差別稍大。因此，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理選擇激振頻率，并對(duì)其結(jié)果精確度作相應(yīng)的驗(yàn)證。