Banach代數(shù)中的p群逆

周心悅，劉大勇，陳煥艮

(1.杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 311121；2.中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院，湖南 長沙 410004)

0 引言

自從Drazin逆被引入以來，多方學(xué)者對其進行了研究，并將其進一步推廣，從而推進了廣義逆理論的發(fā)展.1996年，Koliha在[1]中引入了廣義Drazin逆.2012年，Wang在[2]中引入了一種介于Drazin與廣義Drazin逆的廣義逆，稱為偽Drazin逆.從文[3-12]中可以看到，在這些廣義逆的研究中，往往最終聚焦到對于算子矩陣的廣義逆研究.

ax=xa,x=x2a,ak+1x=ak，

(1)

ax=xa,xax=x,axa=a.

(2)

方程(1)等價于

令

(5)

(6)

在Banach代數(shù)中,我們引進了p群逆，并研究了其相關(guān)的各種性質(zhì)，進而對指標為1的p-Drazin逆進行了新刻畫.

1 基本性質(zhì)

方程(6)中的解x若存在,則是唯一的,寫作a×.根據(jù)定義,x是a的p-Drazin逆,由文[2]，所以是唯一的.

可得M×=0.但M沒有群逆,因為對于任意可與M交換的矩陣X,M-MXM=M≠0.

□

由上述并結(jié)合文[2]，容易得到關(guān)系：

e2=(1-ax)2=1-ax-ax+axax=1-ax=e.

xa=(a+e)-1(1-e)a=(a+e)-1a(1-e)=a(a+e)-1(1-e)=ax.

xax=(a+e)-1(1-e)a(a+e)-1(1-e)=

(a+e)-1(1-e)(a+e)(a+e)-1(1-e)=

(a+e)-1(1-e)(1-e)=(a+e)-1(1-e)=x.

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□

2 p群可逆的和問題

本節(jié)的目的是研究Banach代數(shù)中兩個p群可逆元素的和何時具有p群逆.

證明令

令

因此有

a+b-(a+b)2x=(a+b)[1-(a+b)x]=(a+b)(1-bb×aπ-abπa×)-(a+b)y=

a-a2bπa×+b-b2b×aπ-babπa×-(a+b)y=

a-a2a×+b-b2b×+b2b×aa×-baa×-(a+b)y=

a-a2a×+b-b2b×-(b-b2b×)aa×-(a+b)y,

(1+adb)d=aπ+a2ad(a+b)d.

(1+adb)-(1+adb)(1+adb)d=(1+adb)[1-(1+adb)(aπ+a2ad(a+b)d)]=

(1+adb)[1-aπ-a2ad(a+b)d-adba2ad(a+b)d]=

(1+adb)[aad-a2ad(a+b)d-aadb(a+b)d]=

(1+adb){aad[1-(a+b)(a+b)d]}=

(aad+adb)[1-(a+b)(a+b)d]=

(?)根據(jù)[3,定理6.22]和ab=ba,我們有

只需核實

(a+b)-(a+b)2(a+b)d=

(a+b)[1-aad(1+adb)d-bad(1+adb)d-

(a+b)[1-aad(1+adb)d-bad(1+adb)d-bbdaπ]=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ-(a2ad+baad+aadb+b2ad)(1+adb)d=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ-ad(a+b)2(1+adb)d=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ-a2ad(1+adb)2(1+adb)d=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ+a2ad[(1+adb)-(1+adb)2(1+adb)d]-a2ad(1+adb)=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ+a2ad[(1+adb)-(1+adb)2(1+adb)d]-a2ad-aadb=

a-a2ad-bbdaπa+b-b2bd+b2bd-b2bdaπ-aadb+a2ad[(1+adb)-(1+adb)2(1+adb)d]=

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3 算子矩陣

本節(jié)主要研究2×2算子矩陣何時具有p群逆，我們有：

證明顯然M有g(shù)-Drazin逆且

這里

那么MMd=MdM,Md=MdMMd.

只需驗證

可驗證

-a2z-abdd+bdπ=

因此M×=Md.

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□

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進一步，我們還有：

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