數(shù)的兩種定義

我們知道，時間是無始無終無限長的，直線是無限長，宇宙的體積是無限大，數(shù)學中用符號∞表示無限大數(shù)。無窮大的數(shù)還有其他表現(xiàn)形式，例如：K*∞+G（k≠0，K、G為任意有限數(shù)）、2^∞、a^∞（a>1）、a^K*∞+G（a>1，k≠0）、A*∞^2+B（A≠0，A、B為任意有限數(shù)）等。僅就K*∞+G而言，隨著K、G取值不同，就有無限多個無窮數(shù)，觀想a^K*∞+G，且不論K、G的變化，a的取值個數(shù)都是無限多的。故無限數(shù)是無限多的。

那么無限數(shù)和有限數(shù)是什么關系呢？既然說無限數(shù)是無限的，那么它就不是有限數(shù)，所以無限數(shù)是獨立于有限數(shù)之外的數(shù)。既然有限數(shù)是有限的，當然它就不是無限大的，有限數(shù)是獨立于無限數(shù)之外的數(shù)。有限數(shù)和無限數(shù)是兩類各自獨立的數(shù)，兩者互不包含，兩者獨立存在，這就是有限數(shù)和無限數(shù)的獨立性原理。

數(shù)的定義是整個數(shù)學的理論基石。傳統(tǒng)數(shù)學中數(shù)與數(shù)之間存在明確的邏輯聯(lián)系，一切數(shù)相較“1”而確定，一個數(shù)是“1”的多少倍，這個數(shù)就是多大。例如有限數(shù)x，它就是“1”的x倍，所以這個數(shù)就是x。

道教經(jīng)典《道德經(jīng)》里有一句話：“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！边@應該是有文字記載的人類對數(shù)最早的認識和定義，并且發(fā)明了世界較早的數(shù)字。這是傳統(tǒng)數(shù)學最古老的起源，中國古代文化推動了人類數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展。

數(shù)是相比較而存在的，前面選擇了“1”為比較數(shù)定義了數(shù)。如果選取任意非零有限數(shù)c，以此數(shù)為比較數(shù)定義一切有限數(shù)，那么對于任意數(shù)n，n此定義下的大小為m，則m=n/c，當n1=-c時，m1=-1;當n=-2c時，m=-2;n3=-2.5c時，m3=-2.5，n=-yc時，m=-y當n=0時，m=0;當n=c，m=1;當n=3.3c時，m=3.3……當n=x*c時，m=x……選取任意有限數(shù)作為比較數(shù)，所定義的數(shù)總是一樣的，數(shù)不因c的不同而有異;同時說明，數(shù)學上定義的阿拉伯數(shù)或其他計數(shù)制是普遍適用于關于有限數(shù)定義的一切情形的。

既然選取任意有限數(shù)為比較數(shù)形成了傳統(tǒng)的數(shù)的定義，因有限數(shù)和無限大數(shù)是相對獨立的，因而該定義就來包含無限大數(shù)為比較數(shù)。

如果選取無限大數(shù)為比較數(shù)定義一切有限數(shù)，某有限數(shù)與無窮大數(shù)相除即為該數(shù)此定義下的大小。令d為該定義下此數(shù)的大小，若設定f（∞）為任意無窮大數(shù)的表現(xiàn)形式，對任一有限數(shù)z，其定義式為d=z/f（∞）。根據(jù)d=z/f（∞），則有z=d*f（∞），若d為不為零的任意數(shù)，那么d*f（∞）為無窮大數(shù)，如此z為無窮大數(shù)，這與z為有限數(shù)相矛盾，所以d=0。因z為任意選取，所以一切有限數(shù)該定義下為零，即d=z/f（∞）=0。

在這個定義下，任意有限數(shù)的大小為零，也就是沒有大小了。這與傳統(tǒng)數(shù)學中各數(shù)均有一定大小完全不同，并且矛盾而不相容。相對于傳統(tǒng)數(shù)的定義而言，這是個新的數(shù)的定義。

我們以這個數(shù)學思想分析諸事相和道理。例如一個人活了一百年，這一百年相對于無限長時間而言，也就是100/f（∞）=0，時間長短為零。用佛教的話講，人生是空，空即時間沒有大小，長短為零。即使人可以活一萬年，人生亦為空。太陽有兩百億年的壽命，這也是一個空。即使存在三千萬億億世紀的事物，其時間長短在此定義下也為零;再比此時間長三千億億倍的時間，與無限時間相比，該時間長短仍為零。即使三千億億……億世紀的時間，這中間有十億個億這樣長的時間，相對于無限長的時間，其量值為零。任何有限長的時間，該定義下長度為零。亦即時間的大小總為零，即t/f（∞）=0，t代表時間。

再以空間辨別此道理。一段任意長為l的線段，若與無限長的直線相比，則其值為l/∞，則有l(wèi)/∞=0，這樣比較，則任意長線段長度為零。三千億光年的長度亦為零;三千億億……億光年的長度，這中間就算有一千億個億，其長度在此定義下仍為零。亦即長度此定義下總為零。

銀河系的體積總有一個大小，即使比銀河系大三千萬億倍的宇宙空間，若與無限宇宙的體積相比，其量值均為零，即佛教所講的“空”。一切有限空間的體積相對于無限大宇宙的體積，其大小均為零，也就是沒有大小了，即v/f（∞）=0，所以在該定義下，地球是“空”的，太陽系是“空”的，銀河系是“空”的，一切有限的宇宙空間都是“空”的。如佛教所講，一切皆空。一切有限皆空，一切有限空間相對于無限空間，一切有限空間的大小就沒有了。

兩千多年前，釋迦牟尼領悟了有限數(shù)對比無限數(shù)這個數(shù)學定義的結論，但他沒有認識到這是個數(shù)學定義。釋迦牟尼奉此思想為佛理的核心，是佛教立教之基。這個道理佛經(jīng)中比比皆是，佛教教義上講的“四大皆空”、“有即無，無即有”、“存在即空”、“當體即空”等，都與該數(shù)式和定義相對應。道教是傳統(tǒng)數(shù)學數(shù)的定義的理論源頭;佛教所宣講的“空”理，實際上是一門獨立的數(shù)學定義和思想。我能將這個知識思考和挖掘出來，確實深受佛理的啟迪和幫助，是從佛理的邏輯線索中覺悟出來的。

數(shù)學原本是從數(shù)字符號的創(chuàng)造、組合和應用開始的，為滿足計數(shù)和計算的需求而不斷完善的。人類創(chuàng)造的最著名的數(shù)字符號是阿拉伯數(shù)字，它是人類應用最廣泛的數(shù)符，為古印度所發(fā)明。還有古中國人發(fā)明的中國數(shù)字：一、二、三……十、百、千、萬、兆、億等。這些基本的數(shù)字通過一定的組合就能表達各種各樣的數(shù)，中國數(shù)字一樣具有強大的計數(shù)和計算的功能。還有古羅馬數(shù)字也比較著名，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ……還有英文數(shù)字和其他各國各民族發(fā)明的數(shù)字符號。其實，數(shù)字符號的創(chuàng)造是自由的，所以才有這么多數(shù)字符號的誕生。

數(shù)是相比較而存在的。一切有限數(shù)對比任一有限數(shù)就形成了我們所說的實數(shù)系，這樣就定義了實數(shù)。一切有限數(shù)對比任一無限大數(shù)，任意有限數(shù)的大小為零。這是兩個完全不同相對獨立的數(shù)學定義。前一個數(shù)學定義起源于古中國道教的《道德經(jīng)》，后一個發(fā)源于古印度的佛教，人類的數(shù)學文明竟起源于宗教文化，這樣，人類的宗教文化走進了神圣的科學殿堂。

佛教是古印度文明的一支奇葩，是人類文化史上的一個文化高峰，道教也是人類文化史上的一個高峰，它們直接影響了人類數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展，并促使了后世理學的形成。中國儒教兼容并蓄，吸納并接受了佛、道二教的理論。最終，三教文化相互認同，形成了三教歸一的態(tài)勢和格局。這三教文化對中國乃至世界的影響至為巨大，三教對數(shù)學各有研究和貢獻。

釋迦牟尼所論證的“空”理是正確的，本文從數(shù)學角度給予了證明，這是兩千多年來對他思想一個繼承性和明確性的回應。

數(shù)既然有兩種定義，那么就應該有兩種數(shù)學理論體系。這是另外的一個數(shù)學論題，也是可以從數(shù)學上得到論證的。

作者簡介：胡勇軍 ?出生年月：1970.10 ?性別：男 ?籍貫： 湖南常德 職務：教師學歷：大專 單位：桃源縣盤塘鎮(zhèn)中學 研究方向：中學物理