一類基于保自伴映射的兩體量子態(tài)的糾纏測度

劉亞雪，王銀珠

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

糾纏是實現(xiàn)量子密碼學(xué)、量子隱形傳態(tài)、量子計算等計算信息和通訊任務(wù)的重要資源，是量子系統(tǒng)的一個顯著特征，這是經(jīng)典物理學(xué)無法解釋的。而量子理論的一個核心問題就是如何在實際操作中檢測和度量糾纏。近些年來，人們付出了很多努力去探討糾纏現(xiàn)象，糾纏已經(jīng)被視為一種很重要的物理資源，與信息、能量、熵和其他基本資源相比同等重要，因此可分性準則和糾纏測度的發(fā)展具有非常重要的意義[1-2]，目前在糾纏探測方面，已有很多重要的判據(jù)，比如部分轉(zhuǎn)置判據(jù)(PPT判據(jù))，約化(Reduction)判據(jù)，控制(Majorization)判據(jù)，重排(Realignment)判據(jù)等，在糾纏測度方面，形成糾纏度(EOF)[3-5]和Concurrence糾纏度[6-15]是定義良好的兩類糾纏度量。但是已有的很多糾纏測度在實際計算時，由于涉及到最優(yōu)化問題，對于混合態(tài)來說，很難給出其具體的糾纏度量。鑒于此，近年來關(guān)于Concurrence糾纏度和形成糾纏度的上下界的研究發(fā)展迅速[12-14]。

眾所周知，量子信息的研究與算子代數(shù)理論緊密相關(guān)，因而討論矩陣映射的性質(zhì)至關(guān)重要[16-18]。一個矩陣映射是保Hermitian的，如果對于任意Hermitian矩陣M，(M)是Hermitian的。在兩體系統(tǒng)中，Gao Hao等作者在文獻[19]中定義了一個保自伴的矩陣映射，具體如下：設(shè)HA與HB是N維復(fù)Hilbert空間，對于任意N×N的矩陣[M]ij=mij，引進如下Hermitian矩陣映射：[(M)]ij=-Mij,i≠j， [(M)]ij=-Mi′i′,i′=i+1modN.則：

其中{|i〉}為HA與HB的標準正交基，Eij=|i〉〈j|，i,j=1,2,…，N且令V(M)=(V?MV)，其中V是任意N×N的酉矩陣。文獻[19]利用此映射給出了兩體純態(tài)的一個糾纏判據(jù)。本文在此基礎(chǔ)上，引進了一個兩體量子態(tài)的基于保自伴映射的糾纏測度，進而研究了其性質(zhì)。

1 主要結(jié)果

為了給出主要結(jié)果，首先列出如下引理。

引理1[19]設(shè)ρ∈S(H)，dimHA=dimHB=N，V是任意的N×N的酉矩陣。則有:

‖(V?I)ρ‖≥|tr((V?I)ρ)|=

|tr(ρ)|=1

‖(V?I)ρ‖=tr(V?I)ρ=1.

反之，因為Ω=(V?I)ρ是Hermitian的，所以其中|λi(Ω)|為Ω的奇異值。假設(shè)(V?I)ρ非正，所以λi(Ω)<0，i=1,2,…，k

即證明了當(Ω)=1時,(V?I)ρ≥0.

引理2[19]設(shè)H=HA?HB,dim(H)<+∞.若對于任意N×N的酉矩陣V，ρ為H上的純態(tài)，則ρ可分?‖(V?I)ρ‖=1?(V?I)ρ≥0.

定理1設(shè)H=HA?HB,dim(H)<+∞.若對于任意N×N酉矩陣V，ρ∈S(H)且ρ可分，則‖(V?I)ρ‖=1.

證明：若ρ為H上的純態(tài)，則根據(jù)引理2，結(jié)果顯然成立。

‖(V?I)ρ‖=

由引理1，對任意態(tài)ρ都有‖V?I‖≥1，所以‖(V?I)ρ‖=1.

在此映射上定義了一個糾纏測度，并給出其滿足的性質(zhì)。

定義1設(shè)HA與HB分別是與量子系統(tǒng)相對應(yīng)的復(fù)Hilbert空間，dim(HA?HB) <+∞.定義純態(tài)|φ〉∈HA?HB的相對于保自伴映射的糾纏度為：

EHer(|φ〉)=‖(V?I)ρ‖-1.

對于混合態(tài)ρ∈S(H),ρ=∑SPS|φS〉〈φS|，其中∑SPS=1，PS≥0,則其相對于保自伴映射的糾纏度定義為：

下面證明所定義的糾纏測度EHer(·)滿足作為糾纏度的一些必要條件[15]。

性質(zhì)1設(shè)ρ∈S(H)，dim(HA?HB)<+∞.則EHer(ρ)≥0，且ρ可分?EHer(ρ)=0.

證明：由引理1，設(shè)ρ∈S(H)，則有‖(V?I)ρ‖≥1，所以對任意態(tài)ρ，都有EHer(ρ)≥0.

若純態(tài)ρ=|φ〉〈φ|可分，由引理2，可知‖(V?I)ρ‖=1，即EHer(|φ〉)=0.反之，若EHer(|φ〉)=0，則‖(V?I)ρ‖=1，即ρ=|φ〉〈φ|可分。

若混合態(tài)ρ=∑SPSρS可分，則純態(tài)ρS對每一個S都可分，從而由引理2可知：

反之，若EHer(ρ)=0，那么存在一組系綜分解{PS,|φS}，使得∑SPSEHer(|φS〉)=0，則|φS〉對每個S都可分，即ρ=∑SPSρS可分。

性質(zhì)2若U1,U2分別是HA,HB上的酉算子，dimHA=dimHB=N,且dim(HA?HB)<+∞，ρ∈S(H)，則：

其中|λi()|表示其奇異值。又因為奇異值在酉操作下保持不變，故對純態(tài)來說，則：

而對混合態(tài)來說，根據(jù)凸組合的結(jié)構(gòu)，顯然成立。

性質(zhì)3令|φ〉∈HA?HB，dim(A?HB)<+∞.則有EHer(Λ(|φ〉〈φ|))≤EHer(|φ〉〈φ|)，其中Λ是局部操作和經(jīng)典通訊(LOCC操作)。

證明：設(shè)|φ〉的Schmidt分解為：

則：

ρ=|φ〉〈φ|=

根據(jù)文獻[20-22]，知道每個LOCC操作實質(zhì)是一種量子運算，其可以表示為:

其Aσ,Bσ分別為HA,HB上的局部酉操作算子，N為LOCC操作輪回次數(shù)，且：

從而

EHer(Λ(|φ〉〈φ|))=

1=EHer(|φ〉〈φ|).

性質(zhì)4設(shè)H=HA?HB，dim(HA?HB)<+∞.ρ，σ∈S(H)，t∈[0,1]，則：

EHer(tρ+(1-t)σ)≤tEHer(ρ)+(1-t)EHer(ρ).

證明：令ρ=∑ipi|φi〉〈φi|，σ=∑jqj|φj〉〈φj|分別為ρ，σ的系綜分解。用Q1表示tρ的系綜集合，即：

Q1=t{pi,|φi〉},

用Q2表示(1-t)σ的系綜集合，即：

Q2=(1-t){qj,|φj〉},

tρ+(1-t)σ的系綜集合記為:

Q={γl,ηl〉},Q1∪Q2?Q.

其中，tρ+(1-t)σ=∑lγl|ηl〉〈ηl|，則有

EHer(tρ+(1-t)σ)=

tEHer(ρ)+(1-t)EHerρ.

性質(zhì)5設(shè)H=HA?HB，dim(HA?HB)<+∞.若混合態(tài)ρ=∑SPSρS∈S(H)，則：

EHer[Λ(ρ)]≤EHer(ρ)，其中Λ是LOCC操作.

證明：根據(jù)性質(zhì)3與性質(zhì)4，有：

從而

EHer[Λ(ρ)]≤

下面給出具體的例子討論其應(yīng)用。

EHer(ρ)=‖(V?I)ρ‖-1=

其中M是Hermitian的實矩陣，那么本征多項式因為總是正的，所以P(x)有一個負根，則存在一個向量|x〉∈HA?HB，使得〈x|(V?I)ρ|x〉<0，因此(V?I)ρ≥/0，根據(jù)引理1有‖(V?I)ρ‖≠1，所以‖(V?I)ρ‖>1，即：

EHer(ρ)=‖(V?I)ρ‖-1>0.

2 與Concurrence糾纏度的一個關(guān)系

設(shè)H=HA?HB，dim(HA?HB)<+∞.設(shè)|φ〉∈HA?HB的Schmidt分解為：

(1)

接下來探討所給糾纏度與Concurrence糾纏度的一個關(guān)系。

定理1設(shè)ρ=|φ〉〈φ|∈S(H)，dim(HA?HB)<+∞，其中dimHA=dimHB=N，則：

則：

C(|φ〉)=

所以：

3 結(jié)論

定義了有限維復(fù)合兩體系統(tǒng)量子態(tài)的一個基于保自伴映射的糾纏測度，我們證明了該糾纏測度具有局部酉不變性、凸性、LOCC單調(diào)性，但是對于無限維系統(tǒng)，只有很少的糾纏測度[23]，是否可以把此糾纏測度推廣到無限維也是一個值得深究的問題。