基于接觸力-姿態(tài)模型的機器人非剛體軸孔裝配偏角預測方法①

胥 芳 沈一豐 陳教料 王佳才

(浙江工業(yè)大學機械工程學院 杭州 310014)

0 引言

近年來隨著機器人技術的快速發(fā)展,工業(yè)機器人已逐漸成為智能制造領域不可或缺的裝備和手段[1]。而機器人裝配作為智能制造過程的重要環(huán)節(jié),其裝配質量的優(yōu)劣直接影響產品最終的使用性能與品質。

在機器人裝配任務中,軸孔類零部件的裝配是其主要的工作形式。如軸承的裝配、PCB 板的裝配以及汽車輪轂的裝配等都是典型的不同形狀的軸孔裝配[2]。為了提高機器人裝配質量和效率,很多學者以軸孔裝配為對象對機器人裝配過程進行了研究。劉文瑛和胡文鋒[3]應用模式識別原理建立力-位置模型,結合模型控制機器人調整裝配軸的位置并實現軸孔裝配。文獻[4,5]通過對帶倒角軸孔裝配過程進行幾何和動態(tài)平衡的推導,建立了包括重力、慣性以及裝配速度等多個因素的動力學模型,能夠較好地了解動態(tài)裝配的機理。胡建元等人[6]建立了考慮粘滑現象的通用動力學模型。Vartanov 等人[7]基于拉格朗日方程建立動態(tài)裝配過程的數學模型,同時應用低頻振動和自適應夾持器來擴展機器人的裝配能力。Zhang 等人[8]對柔性雙軸裝配過程的卡阻特性進行了研究,通過分析不同階段的接觸狀態(tài)和干擾狀態(tài),建立了接觸力和零件姿態(tài)的對應關系,提出了相應的裝配策略。以上諸多研究均針對剛性裝配件或者針對帶有柔順裝置的裝配過程展開,但是不同于剛性零件,非剛體零件在裝配時由于接觸力的作用會產生彈性形變,剛體裝配模型無法體現非剛體裝配特性,故上述方法對非鋼體裝配均不適用。

Zheng 等人[9]以一維柔性梁為裝配對象,通過研究柔性梁在自重作用下的形變曲線來調整夾持末端的運動軌跡,進而實現軸孔裝配。但是當裝配情況比較復雜時,該裝配策略難以實現。Hirai 等人[10]提出了一種基于人體演示的可變形管插入狀態(tài)轉換識別方法,但是該方法依賴于人體示教過程。Wakamatsu 等人[11]提出了一種可變形線性物體的建模方法,能夠根據相關約束計算物體的形變量,但是其運算量較大。夏妍春等人[12]對彈性軸孔裝配任務進行了幾何約束和運動約束的分析,解決了以彈性梁部分在裝配孔內為前提的裝配問題。但當彈性梁由于偏差問題而無法順利進入裝配孔內時該方法不可行。Jasim 等人[13]以柔性橡膠零件為裝配對象,對其裝配過程進行了接觸狀態(tài)劃分,提出了基于分布式高斯混合方法的接觸狀態(tài)模型并實現了快速精準的狀態(tài)識別。但是該模型只能識別當前軸孔裝配狀態(tài),不能給出裝配偏角等具體數值。Xing 等人[14]對于部分柔性的裝配對象通過分階段建立裝配模型,提出了一種在精密裝配中插入部分柔性對象的有效策略。然而該策略主要應用于剛柔性耦合的裝配對象,對于柔性分布較為均勻的非剛體零件并不適用。

在非剛體軸孔裝配的過程中,由于夾持不穩(wěn)等因素使得非剛體軸在裝配過程中通常存在一定的裝配偏角。裝配偏角的存在導致非剛體軸與裝配孔邊緣接觸或者與孔外平面接觸使得裝配任務難以繼續(xù),故有必要對裝配偏角進行預測和調整以保證后續(xù)裝配的順利進行。針對以上問題,本文提出了以一種基于接觸力-姿態(tài)模型的機器人非剛體軸孔裝配偏角預測方法。針對現有的剛性接觸力-姿態(tài)模型不能直接用于非剛體軸孔裝配的問題,本文通過對裝配過程的分析,在不同接觸狀態(tài)下結合靜力學理論推導和形變計算,建立符合非剛體零件裝配特性的接觸力-姿態(tài)模型。針對非剛體零件接觸力-姿態(tài)模型復雜、難求解且?guī)в卸鄠€約束的問題,本文結合動態(tài)罰函數法[15-16]和灰狼算法[17]將約束尋優(yōu)問題[18-19]轉化為無約束尋優(yōu)問題,并在可行域內尋得模型的最優(yōu)解即最優(yōu)裝配偏角。最后,機器人裝配實驗證明本文所提的方法能夠較好地預測裝配偏角。

1 非剛體軸孔接觸姿態(tài)分析與假設

在機器人非剛體軸孔裝配的過程中,機器人末端夾持非剛體軸完成裝配動作。由于機器人夾持不穩(wěn)等因素使得非剛體軸存在一定的裝配偏角。針對非剛體軸孔裝配過程中存在裝配偏角的問題,分析其可能發(fā)生的接觸狀態(tài),發(fā)現主要可以分成2 種接觸狀態(tài),分別是單點接觸狀態(tài)和雙點接觸狀態(tài),如圖1所示。單點接觸狀態(tài)下,非剛體軸的下端面與孔外平面發(fā)生點接觸;雙點接觸狀態(tài)下,非剛體軸的下端面邊緣與剛性裝配孔邊緣發(fā)生點接觸。示意圖中均未體現非剛體軸與剛性孔在接觸過程中發(fā)生的形變。

圖1 軸孔接觸狀態(tài)

為了方便后續(xù)建立接觸力-姿態(tài)模型,根據非剛體軸孔材料特性和相關理論[20],對裝配過程做出以下假設。

(1)非剛體軸材料連續(xù)均勻,且不具可壓縮性。

(2)非剛體軸在與剛性孔的接觸過程中發(fā)生彈性小形變,即形變后可恢復。

(3)非剛體軸在形變過程中,任意截面始終與軸線垂直且形狀不變。

2 接觸力-姿態(tài)模型和動態(tài)罰函數灰狼算法

針對非剛體軸孔裝配的單點接觸狀態(tài)和雙點接觸狀態(tài),需要建立接觸力-姿態(tài)模型,進而通過力反饋信息來實現對非剛體軸姿態(tài)偏角的預測。由于非剛體軸在與剛體孔裝配接觸的過程中易發(fā)生彈性形變,故僅通過靜力學理論推導和幾何計算無法實現對非剛體軸姿態(tài)偏角的預測。

針對非剛體軸在裝配過程中發(fā)生彈性形變的問題,本文通過對非剛體軸進行靜力學理論推導和形變計算來建立接觸力-姿態(tài)模型。

2.1 單點接觸狀態(tài)建模

當非剛體軸孔處于單點接觸狀態(tài)時,非剛體軸的下端面與孔外平面發(fā)生點接觸,過接觸點存在非剛體軸的對稱平面,故可以將三維問題轉換為二維問題并在二維平面內對其進行分析。

如圖2 所示,在Y-Z二維平面對單點接觸狀態(tài)下的非剛體軸孔進行靜力學分析。圖中P1表示非剛體軸與孔外平面的接觸點,Pg表示非剛體軸的重心,Po表示非剛體軸上端面的中心。此時,非剛體軸處于受力平衡狀態(tài),具體表達式為

圖2 單點接觸狀態(tài)示意圖

其中,F1、F2是夾持器對非剛體軸的夾持力,G表示非剛體軸的重力,Fn、Ff是軸在接觸點P1處受到的支持力和摩擦力,偏角θ是非剛體軸的姿態(tài)偏角,即上端面法線與Z軸的夾角。

通過結合式(1)可以得到非剛體軸相對于軸上端面中心Po力矩平衡,具體表達式為

其中,l為非剛體軸的長度,r為非剛體軸的半徑,dg為非剛體軸重心Pg相對于夾持端在Y軸方向上的偏移量,dz為接觸點P1相對于非剛體軸夾持端在Z軸方向上的偏移量,dy為接觸點P1相對于非剛體軸夾持端在Y軸方向上的偏移量。dg、dz、dy均是由于非剛體軸發(fā)生整體形變而導致的偏移量,而δ1和δ2則是由于接觸點發(fā)生局部形變而添加的補償量。

由于非剛體軸在裝配時發(fā)生了彈性形變,產生了dg、dz和dy等多個偏移量,為了求解非剛體軸的姿態(tài)偏角θ,需要對非剛體軸進行形變分析。在裝配過程中非剛體軸的一端受到機器人末端夾持器的夾持固定,另一端與剛性孔接觸且在接觸點P1處受到外力作用,故可將此形變過程簡化為簡易梁的彎曲變形過程。如圖3 所示,基于上述簡化可以將接觸點P1處的支持力Fn和摩擦力Ff等效到非剛體軸軸線末端處,分別為等效力矩M、軸向力Fl以及徑向力Fr。等效力矩和力的具體表達式為

圖3 單點接觸狀態(tài)的等效分析

結合上述等效分析和彎曲變形的基本理論,梁的彎曲變形通常由梁軸線發(fā)生的位移來表示,而梁的軸線彎曲后變成一條曲線即撓度曲線,如圖4 所示。基于小變形理論和非剛體彈性變形特性,可以通過載荷疊加的方式對形變量進行求解,具體表達式為

圖4 梁的彎曲變形分析

其中,We為軸自由端撓度,Wg為軸中點撓度,θe為軸自由端端面轉角,E為非剛體軸的彈性模量,I為非剛體軸圓形截面的轉動慣量。

根據上述假設和撓度分析可以對dg、dz、dy等多個偏移量進行求解,具體表達式為

與此同時,為保證模型的準確性,結合實際需對部分形變量添加約束,具體表達式為

其中,G1、G2、G3均表示單點接觸狀態(tài)下的約束條件,σ1、σ2為約束常量。其中,G1表示非剛體軸發(fā)生彈性小形變,G2表示非剛體軸端面轉角小于軸線轉角,G3表示非剛體軸在裝配過程中未發(fā)生滑移。

結合式(1)～(6)得到單點接觸狀態(tài)下的非剛體接觸力-姿態(tài)模型。

2.2 雙點接觸狀態(tài)建模

針對非剛體軸孔的雙點接觸狀態(tài),建模過程與單點接觸狀態(tài)類似。如圖5 所示,在雙點接觸狀態(tài)下對非剛體軸進行靜力學分析。圖中,Po、Po’和Pg分別表示非剛體軸上下端面的中心和重心,P1和P2表示軸下端面邊緣與裝配孔邊緣的接觸點。

圖5 雙點接觸狀態(tài)示意圖

此時,非剛體軸受力平衡,具體表達式為

與單點接觸狀態(tài)類似,在接觸點P1和P2之間存在非剛體軸的對稱平面。結合圖5,假設接觸點P1和P2對稱于Y-Z平面,故可在Y-Z二維平面內對非剛體軸進行分析。此時,即FZ=FZ1=FZ2,FY=FY1=FY2,FX1=-FX2,F3=0,故式(7)可進一步簡化為

結合式(8)可以得到非剛體軸在上端面中心Po處力矩平衡,具體表達式為

同理,將接觸點P1和P2處所受的力FY和FZ等效到非剛體軸軸線末端處,分別為等效力矩M,軸向力Fl以及徑向力Fr。等效力矩和力的具體表達式為

結合根據上述假設和撓度分析可以對偏移量dz和dy進行求解,具體表達式為

同樣,在此基礎上對模型添加部分約束G1、G2和G3,約束表達式與單點接觸狀態(tài)的約束表達式一致,這里不再贅述。

結合式(7)～(11)及式(6)得到雙點接觸狀態(tài)下的非剛體接觸力-姿態(tài)模型。

在板的邊緣施加固定約束和均布載荷q。假設板的邊長比在a/b≤1.5的范圍內，并且板邊緣的位移與彈性焊件的變形存在一定的關系，所以邊緣應保持為直線。

2.3 動態(tài)罰函數灰狼算法

不難發(fā)現,上述接觸力-姿態(tài)模型比較復雜,同時具有多個約束條件,所以很難求得模型的解析解。針對接觸力-姿態(tài)模型復雜且難以求解的問題,可以采用進化算法對模型進行求解。本文采用搜索能力較強的灰狼算法對接觸力-姿態(tài)模型進行尋優(yōu)求解。針對多個約束條件,可以采用罰函數法將約束與目標函數結合起來,進而將約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題。其中,罰函數方法中較為常用的就是靜態(tài)罰函數[21-22]和動態(tài)罰函數。由于靜態(tài)罰函數其懲罰系數在整個進化尋優(yōu)過程中為定值不依賴于迭代,故其結合算法尋優(yōu)效果較差。而動態(tài)懲罰函數其懲罰系數隨迭代變化,結合算法效果較好。綜上分析,本文采取動態(tài)罰函數灰狼算法對接觸力-姿態(tài)模型進行可行域內的尋優(yōu)求解,進而求得最優(yōu)可行解。

以單點接觸狀態(tài)下的接觸力-姿態(tài)模型為對象,對其進行可行域內的尋優(yōu)求解。此時目標函數的表達式為

結合式(6),約束條件可以表達為

動態(tài)罰函數的表達式為

式中,a、b、c為常系數,it為當前迭代次數,γi為每個約束的分配系數。此類罰函數在迭代之初對于不可行解的懲罰力度較小,那么算法可以在可行域之外的部分區(qū)域進行搜索;隨著迭代次數的增加,罰函數對于不可行解的懲罰力度不斷加大,限制算法在可行域內尋得最優(yōu)解。分配系數γi的作用在于根據當前個體違反約束條件的現狀來分配懲罰力度,優(yōu)先對違反程度較高的約束條件進行限制,增加罰函數的自適應能力。

結合式(12)和式(14)可以得到動態(tài)罰函數灰狼算法的適應度函數為

結合單點接觸狀態(tài)和雙點接觸狀態(tài)的接觸力-姿態(tài)模型,得到其目標函數式(12)。將模型目標函數結合動態(tài)罰函數得到適應度函數式(15),將其作為動態(tài)罰函數灰狼算法中衡量種群質量的重要標準。在種群的迭代過程中,通過計算個體的適應性值來剔除種群中表現較差的個體,進而保證種群的優(yōu)越性,最終找到最優(yōu)個體。即通過動態(tài)罰函數灰狼算法迭代求解接觸力-姿態(tài)模型中的最優(yōu)裝配偏角。

3 實驗驗證與分析

3.1 實驗設計

為驗證本文所提出的非剛體軸孔裝配偏角預測方法的有效性,搭建了相應的機器人裝配實驗平臺,如圖6 所示。實驗平臺主要由機器人、力傳感器、夾持器、非剛體軸及剛性孔組成。實驗所使用的機器人是三菱公司制造的RV-2F 六軸機器人,機身占地面積少、動作區(qū)域大,可實現壓、卡、推、旋、嵌等復雜的裝配動作。力傳感器選擇與RV-2F 六軸機器人配套的1F-FS001-W200 六維力傳感器,該型號傳感器的力/力矩額定負載為200 N/4 N·m,分辨率為0.03 N/0.0006 N·m,采樣頻率為141 Hz,能夠實時監(jiān)測和精準采集裝配過程中產生的接觸力和力矩。夾持器由型號為MHZ2-10D 的氣缸驅動,能夠提供1.7 kg左右的夾持力。非剛體軸采用聚氨酯棒,接觸受力時易發(fā)生彈性形變,裝配底座為鋁制底座。

圖6 實驗平臺

實驗過程中,控制機器人末端偏轉特定角度來代替非剛體軸在裝配過程中因夾持不當等原因而產生的姿態(tài)偏角?？刂茩C器人末端豎直向下運動使得非剛體軸與剛性底座發(fā)生接觸,如圖7 所示。圖7(a)和圖7(b)分別表示單點接觸狀態(tài)和雙點接觸狀態(tài),圖左側均表示剛接觸未發(fā)生形變狀態(tài),圖右側均表示受力形變狀態(tài)。

圖7 軸孔裝配狀態(tài)

在非剛體軸孔裝配的過程中,由于夾持不穩(wěn)等因素使得非剛體軸在裝配過程中通常存在0～10 °的裝配偏角。故在實驗中對非剛體軸裝配偏角為0～10 °的2 種接觸狀態(tài)進行接觸力/力矩信息的采集,共計20 組實驗數據用于非剛體軸孔裝配偏角預測方法的驗證。

3.2 實驗結果與討論

為驗證本文所提的基于接觸力-姿態(tài)模型的機器人非剛體軸孔裝配偏角預測方法的有效性,將實驗所得數據代入非剛體接觸力-姿態(tài)模型進行驗證,得到的預測結果如表1 和表2 所示。表1 表示單點接觸狀態(tài)下的預測結果,其結果包含基于經典剛體接觸力-姿態(tài)模型[4-5]的預測結果、基于非剛體接觸力-姿態(tài)模型和靜態(tài)罰函數灰狼算法的預測結果以及基于非剛體接觸力-姿態(tài)模型和動態(tài)罰函數灰狼算法的預測結果。表2 表示雙點接觸狀態(tài)下的預測結果,其結果包含基于非剛體接觸力-姿態(tài)模型和靜態(tài)罰函數灰狼算法的預測結果以及基于非剛體接觸力-姿態(tài)模型和動態(tài)罰函數灰狼算法的預測結果。表1 中加入經典剛體接觸力-姿態(tài)模型和非剛體接觸力-姿態(tài)模型的對比是為了體現本文所提非剛體接觸力-姿態(tài)模型的準確性和合理性,在表2 中沒有重復對比。

表1 單點接觸狀態(tài)預測結果

表2 雙點接觸狀態(tài)預測結果

分析表1 中的數據可以發(fā)現,采用經典剛體接觸力-姿態(tài)模型時,預測結果誤差較大,各個偏角的誤差均在5 °以上;而采用非剛體接觸力-姿態(tài)模型時,預測結果誤差相對較小,各個偏角的誤差均在1.5 °以下。這是因為非剛體軸在接觸過程中發(fā)生了不可忽略的形變,而剛體模型未考慮形變問題,無法體現非剛體裝配的裝配特性,所以其預測結果誤差較大。

對比分析表1 和表2 中分別采用靜態(tài)罰函數灰狼算法和動態(tài)罰函數灰狼算法得到的預測結果可以發(fā)現,采用動態(tài)罰函數灰狼算法的預測結果誤差相對較小。因為相比于靜態(tài)罰函數中懲罰系數的固定不變,動態(tài)罰函數中懲罰系數會隨著迭代次數的增加而增大懲罰力度,使得算法的搜索區(qū)域集中在可行域內,便于算法找到最優(yōu)的可行解,所以采用動態(tài)罰函數灰狼算法的預測結果誤差較小。

分析表1 和表2 中采用非剛體接觸力-姿態(tài)模型和動態(tài)罰函數灰狼算法得到的預測結果可以發(fā)現,本文所提的基于接觸力-姿態(tài)模型的機器人非剛體軸孔裝配偏角預測方法能夠較好地預測裝配偏角,且誤差均在0.5 °以內。針對0.5 °的誤差,根據非剛體軸材料的彈性特性,可以認為其在成功裝配的合理偏差范圍內。故本文所提的方法預測結果較為精準,能為后續(xù)裝配工作的完成提供有效的工件裝配姿態(tài)信息。

4 結論

本文針對機器人非剛體軸孔裝配過程中存在裝配偏角的問題,進行了如下研究。

(1)對機器人非剛體軸孔裝配過程進行了接觸狀態(tài)分析,結合靜力學分析和形變分析,建立了符合非剛體軸孔裝配特性的機器人裝配接觸力-姿態(tài)模型。

(2)根據接觸力-姿態(tài)模型特性,采用動態(tài)懲罰函數灰狼算法進行可行域內的尋優(yōu)求解。設計了機器人非剛體軸孔裝配實驗,采集不同接觸狀態(tài)和不同裝配偏角情況下的力覺數據,對本文所提的偏角預測方法進行驗證。結果表明,兩種接觸狀態(tài)的預測值和實際值的誤差均在0.5 °以內,故本文提出的基于接觸力-姿態(tài)模型的機器人非剛體軸孔裝配偏角預測方法能夠有效地預測機器人非剛體軸孔裝配過程中存在的裝配偏角。

在后續(xù)的研究工作中將繼續(xù)修正接觸力-姿態(tài)模型同時改進約束優(yōu)化算法以提高預測精度。