關(guān)于垂足三角形的幾個極值問題

重慶市長壽龍溪中學(xué) 吳 波 陳騎勇 （郵編：401249）

定義1[1]如圖1，P為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，從P向△ABC的三邊所在直線分別作垂線，垂足分別為P1、P2、P3，把 △P1P2P3叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的垂足三角形.

圖1

文[2]中證明了：在△ABC的垂心，外心，內(nèi)心，重心這四心中，垂心的垂足三角形的內(nèi)切圓半徑最小.聯(lián)想到幾何中著名的Schwarz定理“銳角三角形周長最短的內(nèi)接三角形是它的（垂心的）垂足三角形”（文[3]中將此列為第90個問題），文[2]中提出如下.

猜想[2]在銳角△ABC中，過其內(nèi)部一點(diǎn)向三邊所在直線作垂線，三個垂足構(gòu)成的三角形中，垂心的垂足三角形的內(nèi)切圓半徑最小.

本文將否定這個猜想.并探討關(guān)于垂足三角形的另外幾個極值問題.

為表述方便，本文約定：△ABC三邊長按習(xí)慣記為a、b、c，面積為S，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.點(diǎn)P關(guān)于△ABC的垂足三角形△P1P2P3（可以是退化的）的面積為SP，周長為LP，外接圓半徑為RP，內(nèi)切圓半徑為rP.

先給出幾個引理：

引理1[1]點(diǎn)P到△ABC的外心的距離為d，則

其中當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓外時取“+”，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓內(nèi)時取“-”.

由此易知：當(dāng)d為定值時，SP也為定值.即有

推論1[1]當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓的半徑為d的同心圓上運(yùn)動時，其垂足三角形的面積SP為定值

當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓上時，有d＝R，則SP＝0，即此時P1、P2、P3共線.此即 Simson定理.

而點(diǎn)P在△ABC外接圓內(nèi)時，0≤d＜R，由此可推得三角形中的經(jīng)典結(jié)論：

推論2[1]點(diǎn)P在△ABC外接圓內(nèi)時有SP≤當(dāng)且僅當(dāng)P取△ABC的外心時，等號成立.

注外心的垂足三角形即是△ABC的中點(diǎn)三角形.

如圖1，PA、PB、PC將△ABC分為三個三角形，由此可得下面這個熟知結(jié)論：

引理2如圖1，P為△ABC內(nèi)或邊上任意一點(diǎn)，則a|PP1|+b|PP2|+c|PP3|＝2S.

下面我們否定前面的猜想.事實(shí)上，我們有

定理1點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時，其垂足三角形的內(nèi)切圓半徑以0為下確界，但并無最小值.

證明如圖1，當(dāng)點(diǎn)P→A時，P到△ABC外心的距離d→R.由引理1推論1知：此時SP→0（在圖1中表現(xiàn)為△P1P2P3的兩邊P1P2與P1P3趨于重合）.

而P→A時，有|P2P3|→0，|P1P2|→hA，|P1P3|→hA（如圖1，hA指BC邊上的高AD）.此時△P1P2P3的周長LP＝|P1P2|+|P2P3|+|P3P1|→2hA.

則P→A時，△P1P2P3的內(nèi)切圓半徑→0.

雖 然 有rP→0，但rP≠0（因 為SP≠0）.這 表明：定理1結(jié)論成立.證畢.

在銳角三角形內(nèi)一點(diǎn)的垂足三角形中，由引理1推論2知：外心的垂足三角形的面積最大；而由Schwarz定理知：垂心的垂足三角形的周長最小.而正三角形四心重合，結(jié)合內(nèi)切圓半徑公式即得：

定理2當(dāng)正三角形內(nèi)的點(diǎn)P取正三角形中心時，其垂足三角形的內(nèi)切圓半徑最大.

對于一般的三角形，當(dāng)其內(nèi)的點(diǎn)P在什么位置時其垂足三角形的內(nèi)切圓半徑最大？估計(jì)這是一個比較困難的問題.

下面再看關(guān)于垂足三角形的另外幾個極值問題.

定理3點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P取△ABC的內(nèi)心時其垂足三角形的外接圓半徑最小.

文[4]僅對點(diǎn)P在銳角△ABC內(nèi)這種情形分三類進(jìn)行了證明.這里將其推廣到一般的三角形且點(diǎn)P也是任意的.

證明設(shè)P關(guān)于△ABC的垂足三角形△P1P2P3的外心為Q，△P1P2P3的外接圓半徑為RP.如圖2、圖3，過Q作△ABC三邊所在直線的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3.

圖2

圖3

如圖2、圖3，因△P1P2P3的外接圓與△ABC三邊所在直線都有公共點(diǎn)，由“垂線段最短”有：

因此a|QQ1|≤aRP，b|QQ2|≤bRP，c|QQ3|≤cRP.三式相加得：

（1）如圖2，當(dāng)圓心Q在△ABC內(nèi)或邊上時，①式結(jié)合引理 2有：（a+b+c）RP≥2S.

因|QQi|≤|QPi|＝RP（i＝1，2，3）中諸等號都成立，當(dāng)且僅當(dāng)△P1P2P3的外接圓與△ABC三邊均相切.注意到點(diǎn)P在△ABC內(nèi)或邊上，此時△P1P2P3的外接圓即是△ABC的內(nèi)切圓，也即是當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)心時等號成立.

（2）當(dāng)圓心Q在△ABC外時，引理2中的等式左邊的某些項(xiàng)要改變符號才成立.比如，對于圖3中的情形，易知此時：S△QAB+S△QBC-S△QCA＝S.也即是有：

由①，②兩式可知：

（a+b+c）RP≥a|QQ1|+b|QQ2|+c|QQ3|≥a|QQ1|-b|QQ2|+c|QQ3|＝2S.

當(dāng)點(diǎn)P不在圖3中的區(qū)域，而在△ABC外的其它區(qū)域時，類似可證此不等式成立.

綜合（1）（2）可知：定理 3結(jié)論成立.證畢.

熟知：三角形的Fermat點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和最小.對偶地，想知道：當(dāng)△ABC內(nèi)的點(diǎn)P在什么位置時，它到△ABC三邊所在直線的距離之和取最值？

經(jīng)過探討，得到如下結(jié)論：

定理4記△ABC三邊上的高分別為hA、hB、hC，△ABC內(nèi)的點(diǎn)P的垂足三角形為△P1P2P3.則

（|PP1|+|PP2|+|PP3|）sup＝max{hA，hB，hC}，

（|PP1|+|PP2|+|PP3|）inf＝min{hA，hB，hC}.

證明不妨設(shè)a≥b≥c.則hA≤hB≤hC.結(jié)合引理 2，有

a（|PP1|+|PP2|+|PP3|）≥a|PP1|+b|PP2|+c|PP3|＝2S.所以

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等，否則嚴(yán)格不等.

如圖1，令P→A.則|PP2|→0，|PP3|→0，因此有

a（|PP1|+|PP2|+|PP3|）→a|PP1|→a|PP1|+b|PP2|+c|PP3|.

結(jié)合引理2即有

綜上可知，（|PP1|+|PP2|+|PP3|）inf＝hA.

對非等邊三角形，當(dāng)P趨近于最大角頂點(diǎn)時|PP1|+|PP2|+|PP3|趨近于下確界.

類似可證：（|PP1|+|PP2|+|PP3|）sup＝hC.

對非等邊三角形，當(dāng)P趨近于最小角頂點(diǎn)時|PP1|+|PP2|+|PP3|趨近于上確界.證畢.

由Schwarz定理知：銳角三角形內(nèi)一點(diǎn)P的垂足三角形的周長在P取垂心時最短.那么什么時候其垂足三角形的周長最長呢？利用定理4可以求得其周長的上確界.即

定理5記△ABC三邊上的高分別為hA、hB、hC，△ABC內(nèi)的點(diǎn)P的垂足三角形△P1P2P3的周長的上確界為 max{2hA，2hB，2hC}.

證明不妨設(shè)a≥b≥c，則hA≤hB≤hC.如圖1有

三式相加可知周長

LP＝|P1P2|+|P2P3|+|P3P1|＜2（|PP1|+|PP2|+|PP3|）.

結(jié)合定理 4有LP＜max{2hA，2hB，2hC}.

如 圖1，令P→C，則|P1P2|→0，|P2P3|→hC，|P3P1|→hC.因此有

LP＝|P1P2|+|P2P3|+|P3P1|→2hC.

綜上可知：（LP）sup＝2hC＝max{2hA，2hB，2hC}.

當(dāng)P趨近于最小角頂點(diǎn)時周長趨近于此上確界.證畢.

定理6點(diǎn)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則當(dāng)P取△ABC重心時，P到△ABC三邊的距離之積的值最大且最大值為

證明如圖1，由引理 2：a|PP1|+b|PP2|+c|PP3|＝2S.結(jié)合均值不等式有

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a|PP1|＝b|PP2|＝c|PP3|——如圖1，也即是S△PBC＝S△PCA＝S△PAB時.顯然此時點(diǎn)P為△ABC的重心.證畢.

當(dāng)點(diǎn)P無限趨近于△ABC的某條邊時，點(diǎn)P到此邊的距離無限趨近于0.因此P到△ABC三邊的距離之積可無限趨近于0.

關(guān)于垂足三角形還有如下兩個極值問題，有興趣的讀者可繼續(xù)探討：

問題1△ABC內(nèi)的點(diǎn)P的垂足三角形的外接圓半徑何時取最大值？

問題2△ABC內(nèi)的點(diǎn)P的垂足三角形的內(nèi)切圓半徑何時取最大值？