一道橢圓聯(lián)賽題的解法

魯媛媛

(江蘇省儀征中學(xué)，211900)

競賽試題是數(shù)學(xué)題目中的經(jīng)典力作,大都蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想方法,變化靈巧,精彩迭出.此外高考中的一些試題也帶有競賽題背景,特別是一些壓軸題,往往是由競賽題改編而來的.因此,重視對一些典型競賽題的研究和探討,實屬必要.本文對2021年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(初賽)暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的第11題(壓軸題)的解法進行探討,希望能給您帶來啟發(fā).

解法1易知焦點F1(-1,0),F2(1,0).設(shè)點P(x0,y0),Q1(x1,y1),Q2(x2,y2).由條件可知x0>0,y0>0,y1<0,y2<0.

解法3同解法2，得

評注解法3在最后研究最值時沒有象解法2那樣運用基本不等式,而是結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的有界性求解的.其中式子3sin 2α+cos 2α的出現(xiàn)令人感到突兀,沒有對知識左右逢源和信手拈來的功底及敏銳的洞察力是很難做到的.

評注解法4在最后研究最值時也沒有象解法2那樣運用基本不等式,而是將r1-r2的表示式換元后結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)的有界性轉(zhuǎn)化為不等式求解.其中“取等”后結(jié)合三角公式求解相應(yīng)的坐標(biāo)是一道坎.