石 崟, 尹華川, 李俊陽, 唐 挺

(1. 重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)試驗(yàn)室, 重慶 400044; 2. 重慶科技學(xué)院 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院, 重慶 401331)

隨著諧波減速器在工業(yè)機(jī)器人、空間飛行器等領(lǐng)域的大規(guī)模應(yīng)用,由于其動(dòng)力學(xué)特性復(fù)雜、難以獲得較高的控制精度,限制了其進(jìn)一步推廣.諧波減速器動(dòng)力學(xué)特性中存在的三大非線性因素為非線性摩擦、非線性剛度和遲滯.其中非線性摩擦對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性影響最為顯著,所以對(duì)諧波減速器摩擦進(jìn)行精確建模具有重大的工程意義.

諧波減速器的非線性摩擦產(chǎn)生機(jī)理決定了其存在非線性程度高、耦合的時(shí)變參量多、觀測及參數(shù)辨識(shí)困難等特點(diǎn).迄今為止,國內(nèi)外學(xué)者對(duì)諧波減速器的非線性摩擦展開了一些研究.Tuttle[1]提出的高次多項(xiàng)式摩擦模型在早期的諧波動(dòng)力學(xué)模型研究中被廣泛使用,但是其參數(shù)辨別過于困難,后快速被Gandhi等[2]的基于Lugre摩擦模型的改進(jìn)模型取代.Gandhi等[3]在不同的簡化后的諧波減速器動(dòng)力學(xué)模型下分別進(jìn)行了控制器的設(shè)計(jì).Iwan[4]和Lampaert等[5]在Lugre模型的基礎(chǔ)上,提出了使用廣義的Maxwell模型對(duì)摩擦進(jìn)行更加準(zhǔn)確的描述,但因?yàn)槠渲写嬖谳^多的動(dòng)態(tài)參數(shù)，所以未能得到廣泛的應(yīng)用.Wolf等[6]對(duì)諧波減速器黏滯摩擦力進(jìn)行了建模,但僅僅是使用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合,這種方法既不利于參數(shù)辨識(shí),也缺乏通用性.現(xiàn)階段使用最為廣泛的Lugre模型可以捕捉到低速階段Stribeck現(xiàn)象,但無法反映諧波減速器運(yùn)行過程中的其他非線性特性.

在航空航天領(lǐng)域諧波減速器運(yùn)行工況復(fù)雜,轉(zhuǎn)速、負(fù)載轉(zhuǎn)矩和溫度變化范圍大.諧波減速器負(fù)載轉(zhuǎn)矩、溫度對(duì)于摩擦力矩的影響都呈現(xiàn)出極強(qiáng)的非線性特性.諧波減速器通過彈性變形傳動(dòng)的方式產(chǎn)生極高的能量損耗,這部分能量損失無法直接測量,會(huì)在輸出端與摩擦過程中的能量損耗耦合,嚴(yán)重影響了諧波減速器摩擦力矩測量精度.而目前諧波減速器的摩擦模型集中于研究轉(zhuǎn)速對(duì)摩擦力矩的影響,建模方法通常為數(shù)學(xué)關(guān)系的擬合,并且忽略了彈性變形能量損耗,無法準(zhǔn)確反映諧波減速器摩擦力矩特性.所以急需建立可精確反映轉(zhuǎn)速、負(fù)載轉(zhuǎn)矩和溫度對(duì)諧波減速器摩擦力矩影響并且對(duì)彈性變形能量損耗解耦的摩擦模型.

本文對(duì)諧波減速器運(yùn)行過程中各非線性因素加以考慮,從摩擦產(chǎn)生機(jī)理出發(fā),對(duì)諧波減速器摩擦特性進(jìn)行建模.首先分析諧波減速器摩擦力矩產(chǎn)生機(jī)理,建立整體的模型框架,再對(duì)各非線性因素分別建模,從而建立起諧波減速器摩擦模型.使用遺傳算法對(duì)SHF-20-80-2UJ型諧波減速器的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,并進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性和有效性.利用所建立模型,分析了負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)諧波減速器摩擦力矩影響的非線性特性,對(duì)彈性變形能量耗散與摩擦力矩解耦.

1 諧波減速器摩擦建模

諧波減速器主要由柔輪、剛輪和波發(fā)生器三部分組成,其結(jié)構(gòu)如圖1所示.其傳動(dòng)原理是通過波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動(dòng)強(qiáng)迫柔輪發(fā)生彈性形變,柔輪齒在繞定點(diǎn)平動(dòng)的過程中與剛輪齒嚙合,剛輪與柔輪存在一定的齒數(shù)差,從而實(shí)現(xiàn)變速傳動(dòng).

圖1 諧波減速器結(jié)構(gòu)Fig.1 Harmonic reducer structure

諧波減速器中的效率損失主要來源于柔輪與剛輪嚙合時(shí)的摩擦損失和柔輪變形時(shí)的彈性變形能量損失.柔輪與剛輪嚙合時(shí)的摩擦又可分為邊界與混合階段的接觸摩擦力矩和黏滯階段的黏滯摩擦力矩.彈性變形能量損失在建模時(shí),將其等效為一種特殊的摩擦力矩造成的能量損失.

接觸摩擦力矩和黏滯摩擦力矩本身就存在極強(qiáng)的非線性關(guān)系,而諧波減速器傳動(dòng)特性中的空載嚙合壓力、非線性剛度、嚙合齒對(duì)數(shù)量變化和潤滑油黏溫、黏壓關(guān)系等非線性因素與摩擦的非線性特性耦合,加強(qiáng)了其非線性特性,如圖 2所示.

圖2 建模方法Fig.2 Modeling method

1.1 接觸摩擦力矩模型

根據(jù)Lugre模型,接觸摩擦力矩TN可表示為

TN=TNM[μc+(μs-μc)e-(ω/ωs)2]sgn(ω) .

(1)

式中:TNM為柔輪與剛輪嚙合齒對(duì)間的法向壓力的等效摩擦力矩;μc,μs分別為當(dāng)量庫侖摩擦系數(shù)和當(dāng)量最大靜摩擦系數(shù);ω為諧波減速器輸入端轉(zhuǎn)速;ωs為Stribeck現(xiàn)象臨界輸入端轉(zhuǎn)速.

1.2 黏滯摩擦力矩模型

諧波減速器速度變化范圍較大的情況下,摩擦力矩表現(xiàn)出明顯的黏滯特性[7],引入彈流潤滑黏滯摩擦力表達(dá)式FV[8]:

(2)

式中:η(x)為沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的潤滑油黏度;v為相對(duì)滑動(dòng)速度;h(x)為沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的膜厚.彈流潤滑油膜厚只有通過數(shù)值法求解廣義雷諾方程和變形協(xié)調(diào)方程得到,這種計(jì)算所耗費(fèi)的時(shí)間極長,嚴(yán)重影響控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性,也大幅提高了硬件成本,所以選用線接觸最小膜厚hmin近似計(jì)算.文獻(xiàn)[9-11]提出了各自的線接觸彈流潤滑膜厚公式,這些公式的系數(shù)略有差別,但都可以總結(jié)為以下形式:

hmin=BGcUaWb.

(3)

式中:G,U,W分別為文獻(xiàn)[9]提出的線接觸彈流油膜厚度無量綱參數(shù)組中的無量綱材料參數(shù)、速度參數(shù)和接觸壓力參數(shù);B為常系數(shù);a,b,c分別為滑動(dòng)速度項(xiàng)、負(fù)載轉(zhuǎn)矩項(xiàng)和材料參數(shù)項(xiàng)指數(shù)系數(shù),在不同的模型中取值略有不同,其中a=0.6～0.83,b=-0.091～0.2.

將式(2)整理為轉(zhuǎn)動(dòng)與摩擦力矩的形式,所有常參量為待定系數(shù),引入權(quán)重項(xiàng)以消除黏滯摩擦力矩在低速時(shí)對(duì)邊界摩擦力矩辨識(shí)時(shí)的干擾,結(jié)合式(3)可得黏滯摩擦力矩TV:

TV=σ1e-(ωs/ω)2ηω1-aW-b.

(4)

式中:σ1為待辨識(shí)常系數(shù);η為相對(duì)運(yùn)動(dòng)區(qū)域的平均潤滑油黏度.

1.3 彈性變形等效耗散摩擦力矩模型

在柔輪中線不伸長的假設(shè)下,柔輪的變形是徑向的彈性變形,將柔輪作為一系列沿徑向變形的連續(xù)金屬彈性體考慮.由Goo[12]的理論單次應(yīng)變中能量耗散D為

(5)

式中:σD為由材料決定的關(guān)于ε的剛度函數(shù);ε為材料應(yīng)變;εA為單次應(yīng)變的最大應(yīng)變幅;E為材料的彈性模量;βD為材料常數(shù).顯然單次變形過程中的材料的彈性勢能耗散只與應(yīng)變量、材料參數(shù)有關(guān),而和其他量無關(guān).結(jié)合彈性力學(xué)[13]中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與諧波減速器運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)[14]易知,εA是由諧波減速器物理與幾何參數(shù)決定的常量,顯然柔輪單次應(yīng)變中能量耗散D也為常量.則柔輪彈性變形能量耗散功率PQ為

PQ=4nD/t=4ωD.

(6)

式中:n為單位時(shí)間柔輪徑向變形循環(huán)次數(shù);t為單位時(shí)間.顯然可以將柔輪彈性變形能量耗散等效為摩擦力矩導(dǎo)致的能量耗散:

PQ=ωTE.

(7)

式中,TE為彈性變形能量耗散等效力矩,結(jié)合式(6)易知TE為常量,作為待識(shí)別常參量處理.

1.4 非線性因素建模

圖3給出了諧波減速器空載時(shí)的剛輪與柔輪的嚙合位置關(guān)系,顯然柔輪與剛輪在某些嚙合位置存在微小的干涉變形[15],產(chǎn)生了一定的嚙合壓力.齒面嚙合產(chǎn)生的等效摩擦力矩TNM可以近似描述為

TNM=TNM0+kP.

(8)

式中:TNM0為空載嚙合壓力等效力矩,為待定常量;P為輸出端負(fù)載轉(zhuǎn)矩;k為負(fù)載轉(zhuǎn)矩系數(shù),待定常量.

圖3 諧波減速器空載嚙合情況Fig.3 No-load meshing of harmonic reducer

式(1)中的ωs在Lugre模型中被作為待識(shí)別常參量處理.根據(jù)Lu等[16]的研究,ωs可表示為

(9)

式中:η0為空載時(shí)潤滑油黏度;ωs0為空載時(shí)臨界Stribeck轉(zhuǎn)速.諧波減速器在加載時(shí),負(fù)載轉(zhuǎn)矩會(huì)在嚙合齒對(duì)間重新分配,增加嚙合齒對(duì)數(shù)量(接觸面積).根據(jù)Ma等[17]研究和試驗(yàn),負(fù)載轉(zhuǎn)矩P與接觸面積S的關(guān)系為

S=logbs(P+as)cs.

(10)

式中,as,bs,cs是由剛度決定的接觸面積S與負(fù)載轉(zhuǎn)矩P關(guān)系函數(shù)的形狀系數(shù).考慮到線接觸最小膜厚公式中基于無限長接觸距離的假設(shè),式(3)中的W是法向接觸壓力,所以W表示為以空載接觸面積S0為基準(zhǔn)的等效壓力:

(11)

根據(jù)潤滑油黏溫、黏壓關(guān)系[11],潤滑油黏度η為

η=η0eαTNM-β(tC-tC0).

(12)

式中:α,β分別為黏壓、黏溫系數(shù);tC為諧波減速器運(yùn)行溫度;tC0為測定潤滑油基準(zhǔn)黏度時(shí)的運(yùn)行溫度.

1.5 諧波減速器摩擦力矩模型

諧波減速器摩擦力矩Tf:

Tf=TN+TV+TE.

(13)

結(jié)合式(1),式(4)和式(7)～式(12),將η0并入待辨識(shí)參數(shù)σ1,可得諧波減速器摩擦力矩表達(dá)式Tf:

(TNM0+kP)sgn(ω)+

(14)

式中:μc,μs,TNM0,ωs0,k,σ1,α,β,as,TE,tC0為待識(shí)別參數(shù);a,b可在常用取值范圍內(nèi)根據(jù)情況選取,本文中會(huì)將其作為待識(shí)別參數(shù)進(jìn)行識(shí)別,通過最終其值是否落在理論取值范圍中,對(duì)建模理論的正確性進(jìn)行驗(yàn)證.

2 試驗(yàn)與參數(shù)識(shí)別

為了對(duì)該模型的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),并對(duì)準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證,對(duì)哈默納科公司生產(chǎn)的SHF-20-80-2UJ型諧波減速器進(jìn)行了試驗(yàn)測量.

2.1 試驗(yàn)設(shè)備與試驗(yàn)對(duì)象

試驗(yàn)在一體式多功能諧波減速器測試試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行,其結(jié)構(gòu)如圖 4所示.驅(qū)動(dòng)力矩測量精度為0.001 N·m,負(fù)載力矩測量精度為0.1 N·m,輸入轉(zhuǎn)速測量精度為1 r/min,輸出轉(zhuǎn)速測量精度為0.01 r/min,采樣間隔為0.1 s.

哈默納科公司生產(chǎn)的SHF-20-80-2UJ型諧波減速器基本參數(shù)見表1.

圖4 一體式多功能諧波減速器測試試驗(yàn)臺(tái)Fig.4 Integrated multifunctional harmonic reducer test bench

表1 SHF-20-80-2UJ型諧波減速器基本參數(shù)

2.2 試驗(yàn)流程

試驗(yàn)環(huán)境溫度為20 ℃,為準(zhǔn)確觀察到諧波減速器運(yùn)行中的Stribeck現(xiàn)象和黏滯摩擦現(xiàn)象,并且不使試驗(yàn)工作量過大,選擇某些轉(zhuǎn)速作為速度觀測點(diǎn),每個(gè)速度觀測點(diǎn)都以2 N·m的負(fù)載轉(zhuǎn)矩間隔逐漸由空載加載至滿載,每個(gè)工況都進(jìn)行一定時(shí)間的持續(xù)觀測,以消除驅(qū)動(dòng)及加載電機(jī)造成的慣性力誤差,具體試驗(yàn)參數(shù)見表 2.每個(gè)觀測點(diǎn)的摩擦力矩Texp通過對(duì)觀測時(shí)間內(nèi)驅(qū)動(dòng)力矩Tin與輸出力矩Tout之差的平均值求得

(15)

式中,M為對(duì)應(yīng)觀測點(diǎn)內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)目.

表2 試驗(yàn)參數(shù)

2.3 試驗(yàn)結(jié)果

本次試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)較多,所以只選擇具有代表性的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行展示.不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩時(shí)的摩擦力矩隨速度變化情況如圖5所示.在轉(zhuǎn)速由0升至50 r/min的過程中,發(fā)生了非常明顯的Stribeck現(xiàn)象.

從圖5中很明顯地看出，在任何轉(zhuǎn)速下負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)摩擦力矩的影響都不占主導(dǎo)作用.這證明了在第1節(jié)中提出的關(guān)于諧波減速器在空載的情況下,存在一定的齒對(duì)間嚙合壓力的推論.

圖5 不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩時(shí)轉(zhuǎn)速-摩擦力矩曲線Fig.5 Rotating speed-friction torque curves under different load torques

圖6給出了在不同轉(zhuǎn)速下的摩擦力矩隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化的情況.很明顯,轉(zhuǎn)速增加,摩擦力矩關(guān)于負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化率?Texp/?P逐漸由正值減至負(fù)值.該現(xiàn)象將在3.3節(jié)中給予解釋.

圖6 不同轉(zhuǎn)速時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩-摩擦力矩曲線Fig.6 Load torque-friction torque curves at different rotating speeds

2.4 參數(shù)識(shí)別

該模型待辨識(shí)參數(shù)較多,所有參數(shù)皆為靜態(tài)參數(shù),且具有明確的物理意義,可大致確定參數(shù)范圍,所以在參數(shù)識(shí)別時(shí)的難度并不高.在這里使用遺傳算法對(duì)所有待識(shí)別參數(shù)進(jìn)行識(shí)別,并且將a,b也作為待識(shí)別參數(shù),以驗(yàn)證模型的理論基礎(chǔ)是否合理.由于試驗(yàn)臺(tái)無法對(duì)諧波減速器運(yùn)行溫度進(jìn)行控制、觀測,所以先不對(duì)β進(jìn)行識(shí)別,而將黏溫項(xiàng)并入常系數(shù)σ1處理.

適應(yīng)度函數(shù)的自變量向量Us:

Us=[TNM0kμcμsωs0TEσ1asαab]T.

(16)

識(shí)別誤差函數(shù)es(P,ω):

es(P,ω)=Tf-Texp(P,ω) .

(17)

因?yàn)镾tribeck速度范圍過于狹窄,在數(shù)據(jù)總量中所占比重過小,在種群迭代過程中容易被其他點(diǎn)的誤差淹沒.所以在靜態(tài)參數(shù)辨識(shí)的目標(biāo)函數(shù)中增加Stribeck速度周圍誤差權(quán)重,目標(biāo)辨識(shí)函數(shù)g(P,ω)為

(18)

式中:i,j分別為速度、負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測點(diǎn)序號(hào)；I，J為i,j所對(duì)應(yīng)的觀測點(diǎn)數(shù)目;Ivs,max,ivs,min分別為Stribeck臨界速度周圍高權(quán)重的觀測范圍的最大與最小速度序號(hào).

根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知,SHF-20-80-2UJ型諧波減速器室溫20 ℃、滿載且轉(zhuǎn)速為2 000 r/min時(shí),效率為69%.將識(shí)別后的參數(shù)代入模型后,計(jì)算出滿載、輸入轉(zhuǎn)速2 000 r/min時(shí)的效率為66.45%,與文獻(xiàn)[18]中的結(jié)果相近.使用文獻(xiàn)[18]中滿載時(shí)溫度-效率關(guān)系圖作為目標(biāo)數(shù)據(jù)對(duì)黏溫系數(shù)β、基準(zhǔn)溫度tC0進(jìn)行參數(shù)識(shí)別.將σ1分解為新的常數(shù)項(xiàng)σ1new與黏溫項(xiàng)的形式:

σ1=σ1newe-β(tC-tC0).

(19)

對(duì)σ1new,β,tC0進(jìn)行識(shí)別,適應(yīng)度函數(shù)的自變量向量UT為

UT=[σ1newβtC0]T.

(20)

模型仿真計(jì)算效率ηm為

(21)

識(shí)別誤差函數(shù)eST(T)為

eST(T)=ηf-ηexp(T).

(22)

式中:ηexp為文獻(xiàn)[18]中試驗(yàn)測得的效率;ηf為效率的模型仿真值.直接根據(jù)方差建立目標(biāo)函數(shù),通過最小化目標(biāo)函數(shù),得到了最優(yōu)參數(shù).令識(shí)別后的σ1new等于σ1,參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表 3所示.

表3 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

3 模型驗(yàn)證與參數(shù)討論

3.1 模型驗(yàn)證

圖7給出了該模型在不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩下的仿真效果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比.在2,12 N·m的負(fù)載轉(zhuǎn)矩下,模型仿真效果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本一致;在28 N·m的負(fù)載轉(zhuǎn)矩下,仿真曲線在過臨界Stribeck速度后增長相對(duì)于試驗(yàn)曲線略有滯后,這可能是由參數(shù)辨識(shí)方法不足夠精確導(dǎo)致的.

圖7 不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩時(shí)轉(zhuǎn)速-摩擦力矩關(guān)系對(duì)比Fig.7 Comparison of the relationship between rotating speed and friction torque under different loadtorques (a)—2 N·m; (b)—12 N·m; (c)—28 N·m.

圖8為模型在不同轉(zhuǎn)速下的摩擦力矩與負(fù)載轉(zhuǎn)矩關(guān)系.該模型非常明顯地表現(xiàn)了負(fù)載轉(zhuǎn)矩P對(duì)摩擦力矩的影響,即隨著轉(zhuǎn)速的增加負(fù)載轉(zhuǎn)矩與摩擦力矩間的關(guān)系逐漸由正相關(guān)變?yōu)樨?fù)相關(guān).模型仿真時(shí),轉(zhuǎn)速升至70 r/min時(shí),摩擦力矩幾乎不隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化而變化,略早于圖6的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中300 r/min.摩擦力矩的仿真值與試驗(yàn)值間的最大和平均偏差分別為8.05%,4.26%.說明該模型可以有效反映轉(zhuǎn)速、負(fù)載轉(zhuǎn)矩與摩擦力矩的關(guān)系.

圖8 不同轉(zhuǎn)速時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩-摩擦力矩關(guān)系的仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of relationship of load torqueand friction torque at different speeds

圖9給出了滿載且輸入轉(zhuǎn)速為2 000 r/min時(shí),諧波減速器效率的仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比.可以看到滿載且2 000 r/min工況下仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果幾乎一致,最大偏差為1.12%.

圖9 溫度-效率的仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of simulation and test results of temperature-efficiency

從圖10模型仿真效果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比表明,該模型具有較高的預(yù)測精度.

從節(jié)省能量的角度來說,諧波減速器的使用工況應(yīng)維持在重載、臨界Stribeck速度下;但在臨界Stribeck速度下摩擦力矩對(duì)轉(zhuǎn)速變化非常敏感,在對(duì)精度需求較高的場合下,反而應(yīng)避開該工作范圍,以重載、高速段作為優(yōu)先選擇工況.

圖10 不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩時(shí)轉(zhuǎn)速-效率的仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of simulation and test results of rotating speed-efficiency under different load torques

3.2 參數(shù)討論

在無約束條件下使用遺傳算法尋優(yōu)時(shí),由于TMN0,k,μc,μs,α,σ1可能存在一定的非線性的耦合關(guān)系,在收斂至最優(yōu)時(shí),其值會(huì)在一個(gè)解空間中變化,但始終滿足TMN0=(3～5)kPmax.這說明SHF-20-50-2UJ型諧波減速器滿載時(shí)齒面嚙合壓力約為空載時(shí)齒面嚙合壓力的1.2～1.3倍.

將as的辨識(shí)值代入式(10)和式(11),算得滿載時(shí)齒對(duì)接觸面積為空載時(shí)的1.8倍.假設(shè)諧波減速器每對(duì)接觸齒對(duì)間的接觸面積相等且不會(huì)發(fā)生變化,齒對(duì)間接觸面積變化完全是由接觸齒對(duì)數(shù)量變化造成的，那么滿載時(shí)有效嚙合齒對(duì)數(shù)量約為空載時(shí)嚙合齒對(duì)數(shù)量的1.8倍.單側(cè)初始嚙合齒對(duì)數(shù)量為10時(shí),負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)嚙合齒對(duì)數(shù)量的影響如圖 11所示.因?yàn)樵囼?yàn)臺(tái)為封閉倉,所以無法直接觀察嚙合齒對(duì)數(shù)量,并且目前領(lǐng)域內(nèi)對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩與嚙合齒對(duì)數(shù)量影響的定量研究非常少,暫時(shí)沒有可靠的計(jì)算方法,無法驗(yàn)證該推論的準(zhǔn)確性,但數(shù)據(jù)符合以往試驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn).眾所周知,負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)嚙合齒對(duì)數(shù)量的影響是由柔輪杯壁剛度與齒對(duì)嚙合剛度兩因素耦合而成,若將as與柔輪杯壁剛度、齒對(duì)嚙合剛度解耦,則可以實(shí)現(xiàn)對(duì)諧波減速器非線性剛度關(guān)系的動(dòng)態(tài)辨識(shí),該問題還有待進(jìn)一步的研究.

彈性變形能量耗散等效力矩TE穩(wěn)定收斂于3.812 3 N·m,試驗(yàn)測得全轉(zhuǎn)速、全負(fù)載轉(zhuǎn)矩范圍內(nèi)摩擦力矩的變化范圍是7.237～20.57 N·m,算得彈性變形造成能量損耗占總的能量損失約為20%～50%.忽略柔輪變形能量耗散的傳統(tǒng)諧波減速器效率計(jì)算方法中的嚙合效率計(jì)算可能存在較大誤差.

通過遺傳算法求得彈流潤滑指數(shù)速度和壓力指數(shù)系數(shù)a,b穩(wěn)定收斂于0.302 0和0.133 1,這一組數(shù)據(jù)非常接近于文獻(xiàn)[9]由逆解法求得的彈流潤滑系數(shù)代入關(guān)系式后解出的值0.3和0.13.文獻(xiàn)[9]求得的彈流潤滑系數(shù)在輕載與中載情況下與試驗(yàn)結(jié)果一致性極好,可以推測諧波減速器柔輪與剛輪嚙合齒對(duì)間的嚙合壓力應(yīng)該屬于輕載或中載情況.

圖11 負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)嚙合齒對(duì)數(shù)量的影響Fig.11 Influence of load torque on the number of tooth pairs

3.3 負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)摩擦力矩非線性影響的機(jī)理解釋

圖12分別給出模型中分離出的接觸摩擦力矩TN與黏滯摩擦力矩TV在不同輸入轉(zhuǎn)速下隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化關(guān)系.

已知TE為常量,由式(13)可知諧波減速器摩擦力矩Tf隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩P的變化率?Tf/?P為

?Tf/?P=?TV/?P+?TN/?P.

(23)

顯然TN隨P的變化率?TN/?P是與轉(zhuǎn)速ω呈負(fù)相關(guān)的正值,且在ω穩(wěn)定時(shí)?TN/?P為常量;TV隨P的變化率?TV/?P是與轉(zhuǎn)速ω呈負(fù)相關(guān)的負(fù)值.

圖12 摩擦力矩、接觸摩擦力矩和黏滯摩擦力矩隨轉(zhuǎn)速 變化率仿真結(jié)果Fig.12 Simulation results of friction torque, contact friction torque and viscous friction torque change rate with rotating speed

從圖13可知,轉(zhuǎn)速越大,接觸摩擦力矩越小,其隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩增大的速度越慢;黏滯摩擦力矩先減小再增大,其隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩減小的速度更快.在接觸摩擦力矩和黏滯摩擦力矩的共同作用下,諧波減速器摩擦力矩呈現(xiàn)出圖6所示的非線性特性.

圖13 不同轉(zhuǎn)速時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩、接觸摩擦力矩與黏滯 摩擦力矩關(guān)系Fig.13 Relationship between load torque,contact friction torque and viscous friction torque at different rotating speeds

as是由諧波減速器剛度決定的,不同型號(hào)的諧波減速器剛度差別極大.根據(jù)一般的試驗(yàn)經(jīng)驗(yàn),波發(fā)生器幾何形狀、材料彈性模量、不同的齒廓形狀(漸開線齒廓?jiǎng)偠?IH型齒廓?jiǎng)偠?雙圓弧齒廓?jiǎng)偠?都對(duì)剛度有極大影響.SHF-20-80-2UJ型諧波減速器使用的是IH型齒形,在使用其他剛度更高的齒形的情況下,在對(duì)其測量過程中出現(xiàn)的高速段摩擦力矩隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩減小的情況并不具有普遍性.當(dāng)as=30，其他參數(shù)仍為表3所示時(shí),不同轉(zhuǎn)速下的負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)摩擦力矩的影響如圖 14所示.相比于圖8所示的as值為8.132 8時(shí),顯然Tf隨P增加仍然表現(xiàn)出極強(qiáng)的非線性關(guān)系,但P增大,高轉(zhuǎn)速Tf減小的情況已經(jīng)消失.

而根據(jù)式(4),式(11),式(12)和圖 11可知,負(fù)載轉(zhuǎn)矩與摩擦力矩非線性關(guān)系的產(chǎn)生機(jī)理:負(fù)載轉(zhuǎn)矩較低時(shí),當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩增加,嚙合齒對(duì)數(shù)量快速增加,單位面積承擔(dān)負(fù)載轉(zhuǎn)矩減小,潤滑條件快速改善,黏滯摩擦力矩減小;負(fù)載轉(zhuǎn)矩較高時(shí),嚙合齒對(duì)數(shù)量增加較慢,對(duì)潤滑條件改善不明顯;接觸摩擦力矩與負(fù)載轉(zhuǎn)矩的關(guān)系始終成正比.負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)接觸摩擦力矩與黏滯摩擦力矩的影響最終表現(xiàn)為諧波減速器摩擦力矩與負(fù)載轉(zhuǎn)矩關(guān)系的非線性.

圖14 as為30時(shí)，不同轉(zhuǎn)速下負(fù)載轉(zhuǎn)矩-摩擦力矩關(guān)系Fig.14 Relationship of load torque and friction torque under different rotating speed when as is 30

4 結(jié) 論

1) 提出一種轉(zhuǎn)速、負(fù)載轉(zhuǎn)矩和溫度耦合的諧波減速器摩擦模型.該模型可反映各耦合參數(shù)對(duì)諧波減速器摩擦力矩的影響,捕捉到臨界Stribeck速度變化、高轉(zhuǎn)速時(shí)摩擦力矩出現(xiàn)黏滯特性等現(xiàn)象,并對(duì)柔輪彈性變形造成的能量損失與摩擦損失進(jìn)行了解耦.為諧波減速器高精度動(dòng)力學(xué)模型的建立提供了一定的理論基礎(chǔ).

2) 負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)摩擦力矩非線性影響是由柔輪的非線性剛度造成的.較小的柔輪剛度可以使諧波減速器高速運(yùn)行時(shí)的潤滑情況得到極大的改善,能夠減小摩擦損失,提高傳動(dòng)效率與性能,但增大了控制算法的設(shè)計(jì)難度.

3) SHF-20-80-2UJ型諧波減速器處在臨界Stribeck轉(zhuǎn)速(50 r/min)且滿載時(shí)效率達(dá)到最高,但摩擦力矩對(duì)轉(zhuǎn)速非常敏感,在精度需求較高的場合,應(yīng)避開該工況.