(重慶理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，重慶400054)

0 引 言

在正交頻分復(fù)用系統(tǒng)中，相干檢測要求精確的信道估計。傳統(tǒng)的信道估計需要大于信道長度的導(dǎo)頻數(shù)去恢復(fù)完整的信道估計，并沒有考慮多徑無線信道的特性。事實上，在信道時延擴展中，大多數(shù)信道脈沖響應(yīng)系數(shù)為零或近乎為零，即寬帶無線信道一般呈現(xiàn)稀疏結(jié)構(gòu)[1-2]。近年來，壓縮感知(Compressed Sensing,CS)技術(shù)在信道估計的應(yīng)用引起了許多學(xué)者的關(guān)注，稀疏信道估計可以表述為稀疏恢復(fù)問題，在接收端僅用較少的測量值就能夠恢復(fù)原始信號。與傳統(tǒng)的最小二乘(Least Square,LS)法和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error,MMSE)法相比，基于CS的導(dǎo)頻輔助信道估計能夠呈現(xiàn)更好的信道估計質(zhì)量，且能夠有效節(jié)省導(dǎo)頻數(shù)量，其中導(dǎo)頻圖案設(shè)計是信道估計中的關(guān)鍵難題之一。

傳統(tǒng)導(dǎo)頻圖案都是要求導(dǎo)頻等間隔放置才能夠獲得最優(yōu)信道估計效果，但在基于CS的導(dǎo)頻輔助信道估計中，同樣的導(dǎo)頻放置方法并不適用。文獻[3]從實現(xiàn)最小測量矩陣互相關(guān)值的意義上證明，只有基于循環(huán)差集(Cyclic Difference Set,CDS)的導(dǎo)頻設(shè)計才是最優(yōu)的。對于循環(huán)差集不滿足的情況下，提出了許多方案去尋找接近最優(yōu)的導(dǎo)頻圖案。文獻[4]將矩陣互相關(guān)定義為采樣矩陣中的任意兩列之間最大內(nèi)積值，通過隨機導(dǎo)頻搜索算法生成一定數(shù)量的導(dǎo)頻組，計算每組導(dǎo)頻中的最大互相關(guān)值，從中挑選最小的一組作為最優(yōu)導(dǎo)頻。雖然該算法復(fù)雜度較低，但算法精度取決于隨機次數(shù)及隨機概率。文獻[5]提出一種基于導(dǎo)頻位置差異方差最小化(Positions Differences Occurrences,PDO)的貪婪算法來尋找合適的導(dǎo)頻索引集。文獻[6]提出雙循環(huán)導(dǎo)頻搜索算法，每一次外循環(huán)導(dǎo)頻都作為內(nèi)循環(huán)的初始導(dǎo)頻，通過設(shè)置內(nèi)外循環(huán)次數(shù)可以靈活控制算法的精度與時長，但該算法還是屬于貪婪算法，每次循環(huán)都是獨立進行，算法效率并不高效，可能存在局部最優(yōu)的情況，估計效果不夠理想。文獻[7]采用基于樹的反向迭代算法搜索導(dǎo)頻位置，保留每次迭代中最小互相關(guān)值的導(dǎo)頻，但該迭代樹并不是完備樹，也可能存在收斂到局部最優(yōu)的情況。

本文提出一種新的采樣矩陣互相關(guān)評價準則并將使用該準則的導(dǎo)頻圖案應(yīng)用于信道估計；同時，通過分析相鄰導(dǎo)頻之間的間隔大小關(guān)系，提出一種新的高效導(dǎo)頻搜索算法，能夠快速收斂到較小的互相關(guān)值。從仿真結(jié)果看，對比現(xiàn)有互相關(guān)準則及導(dǎo)頻搜索算法，本文新提出的準則和算法具有一定的優(yōu)勢。

1 基于CS的信道估計模型

假設(shè)一個包含N個子載波的正交頻分復(fù)用系統(tǒng)，令其中Np個作為導(dǎo)頻子載波，p1,p2,…,pNp表示導(dǎo)頻位置，規(guī)定1≤p1

yP=XPWPh+nP=Ah+nP。

(1)

式中:yP=Sy是P×1維向量，接收信號y=[y(0),y(1),…,y(N-1)]T；XP=SXST是P×P對角矩陣；WP=SW是P×L矩陣；h=[h0,h1,…,hL-1]T為信道的時域沖激響應(yīng)采樣值；nP=Sn是P×1維噪聲向量；A=XPWP是P×L維測量矩陣；S矩陣由N×N維單位矩陣中與導(dǎo)頻位置對應(yīng)的P行組成，[η(1),η(2),…,η(Np)]T～CN(0，σ2INp)滿足獨立同分布的高斯白噪聲；WNp×L為從一個矩陣維度為N×N的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)矩陣中挑選Np個導(dǎo)頻所在的行和前L列所構(gòu)成的部分DFT矩陣，

(2)

傳統(tǒng)的LS信道估計問題針對的是采樣矩陣A中行數(shù)大于列數(shù)的情況，即Np≥L。通常情況下，無線信道中的大部分能量僅分布在少量抽頭上，因此可認為信道h具有稀疏結(jié)構(gòu)。此時，再用LS信道估計不能很好估計信道質(zhì)量，故可通過壓縮感知理論去解決稀疏信號問題，利用少量導(dǎo)頻即可恢復(fù)原始信號，即Np

2 導(dǎo)頻設(shè)計準則

2.1 傳統(tǒng)的最小互相關(guān)準則

由壓縮感知理論可得，在沒有噪聲的情況下，若想通過測量值y和采樣矩陣A以很高概率恢復(fù)h，則矩陣A必須滿足有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property,RIP)[8]，即

(3)

式中：常數(shù)δs∈(0,1)。

然而，驗證矩陣A是否滿足RIP特性是個NP-難問題，目前還沒有一種公認確定的辦法能夠在多項式時間內(nèi)得出結(jié)論，因此可以比較矩陣列之間的互相關(guān)準則來代替RIP。文獻[9]證明采樣矩陣互相關(guān)準則強于RIP，互相關(guān)值越小稀疏重構(gòu)的概率就越高。

采樣矩陣互相關(guān)定義如下：

(4)

式中：〈·,·〉為內(nèi)積；A(i)代表采樣矩陣A的第i列。

倘若Np個導(dǎo)頻功率相同，即

|x(p1)|2=|x(p2)|2=…=|x(pNp)|2，

(5)

將式(2)代入式(4)中，可得

(6)

對矩陣A每個列向量進行歸一化，并令G=abs(AHA)，可得G是一個對稱矩陣，其對角線元素gij,i=j為1，非對角線元素gij代表矩陣A中的第i列和第j列的互相關(guān)值大小。因此，式(6)又可表示為

(7)

由式(6)可以看出，導(dǎo)頻分布P=[p1,p2,…,pNp]決定了最大互相關(guān)值μ(A)的大小。因此，導(dǎo)頻圖案設(shè)計就是尋找合適的Np個導(dǎo)頻位置使得μ(A)足夠小，即

(8)

文獻[3]指出采用較小μ(A)值的導(dǎo)頻圖案不一定能有更好的估計效果，從互相關(guān)定義上看，該準則只能反映測量矩陣兩列間的局部相關(guān)性，并不能很好體現(xiàn)所有列之間的全局相關(guān)性。文獻[10]認為任意兩列之間相關(guān)性為零的采樣矩陣才是最優(yōu)的，即矩陣G越接近單位矩陣，評價性能越準確。

γ(A)=‖G-I‖2。

(9)

然而，根據(jù)循環(huán)差集設(shè)計的理想矩陣并不是單位矩陣，而是矩陣中每個非對角線元素接近于零且大小相等，因此該準則不能很好評價采樣矩陣的恢復(fù)性能。文獻[11]僅考慮G中相關(guān)值較大的元素，選取t=0.15作為閾值，將超過閾值的元素三次方和作為矩陣的評價準則。

(10)

該方法雖簡化了采樣矩陣整體相關(guān)性，但并沒有包含所有的元素，不能夠完全正確有效地評價整體相關(guān)性好壞。另外，文獻[11]只針對N=512、Np=24、L=50的特殊情況，并沒有一定的普適性。因此，如何定義合適的導(dǎo)頻設(shè)計準則去準確評價采樣矩陣的重建性能仍是一個有待研究的問題。

2.2 新的導(dǎo)頻圖案設(shè)計準則

通常情況下，好的信道估計要求采樣矩陣A各列之間相關(guān)性越小越好，且較大互相關(guān)值個數(shù)越少越好，盡可能滿足G中各個非對角線元素較小且相等。若G中除最小元素外的每個元素與最小元素的距離越近，就說明A中各列之間的相關(guān)程度就越小。因此，本文提出一種新的導(dǎo)頻圖案準則，即最小互相關(guān)距離立方和準則。

首先搜尋G中最小元素的值:

(11)

接著，計算剩余每個元素與該最小元素的距離立方和。因為G為一個對稱矩陣，且對角線上元素均為1，故可僅考慮G下三角元素。

(12)

式中：c=k-l，k、l分別代表為G的第k行和第l列。

導(dǎo)頻圖案設(shè)計問題可以轉(zhuǎn)化為求解以下最優(yōu)化問題：

(13)

從式(12)可以看出，求解式(13)僅與導(dǎo)頻位置索引集合Popt有關(guān)。而在N個空閑位置選擇P個確定位置是個組合優(yōu)化問題，且子載波數(shù)量遠遠大于導(dǎo)頻數(shù)，即N?P，故窮盡所有可能導(dǎo)頻位置去選擇最優(yōu)位置解是不切實際的，可通過導(dǎo)頻搜索算法尋找次優(yōu)解，盡可能地接近最優(yōu)解。

3 基于樹的順序替換導(dǎo)頻間隔搜索算法

現(xiàn)有導(dǎo)頻搜索算法都從導(dǎo)頻位置考慮。文獻[10]采用基于并行樹的循序替換導(dǎo)頻位置搜索算法，即在每一個導(dǎo)頻位置上都循環(huán)遍歷所有可能取值，并分別計算其互相關(guān)值，若子載波數(shù)量N較大，將會造成導(dǎo)頻搜索時長過長。

由文獻[4]附錄可得，適當?shù)膶?dǎo)頻間隔能擁有較好的互相關(guān)值，過大或過小的導(dǎo)頻間隔都會影響估計質(zhì)量。根據(jù)2.2節(jié)提出的新導(dǎo)頻圖案設(shè)計準則，本文從導(dǎo)頻間隔角度考慮導(dǎo)頻圖案位置，提出一種新的導(dǎo)頻搜索算法，即基于樹的順序替換導(dǎo)頻間隔搜索算法。算法具體步驟如下：

初始化：設(shè)樹的數(shù)量為Ntree=M1，存活分枝數(shù)量為Nsuv=M2；導(dǎo)頻數(shù)量Np，OFDM子載波數(shù)目N，根節(jié)點號l=1。

Step1 根節(jié)點號為l，從N個子載波中隨機挑選Np個位置，得到一組導(dǎo)頻圖案P作為初始導(dǎo)頻圖案。

Step3 選擇存活分枝。根據(jù)式(12)計算所有新生成導(dǎo)頻圖案對應(yīng)的ξ值，升序排列所有ξ值，選擇前M2個導(dǎo)頻圖案PM2作為下一次替換父節(jié)點。令存活分枝序號j=1，m=m+1。

Step5 判斷是否替換完所有存活分枝。若j滿足為M2，則一共至多可以產(chǎn)生M2×((a+70)-(a+5)+1)個新的導(dǎo)頻圖案，并繼續(xù)執(zhí)行Step 6；若不滿足，則使得j=j+1，并返回Step 4。

Step6 根據(jù)式(12)計算新的M2×((a+70)-(a+5)+1)個導(dǎo)頻圖案對應(yīng)的ξ值，升序排列所有ξ值，選擇前M2個導(dǎo)頻圖案PM2作為下一個位置替換父節(jié)點。

Step7 判斷是否替換完所有導(dǎo)頻位置。若m滿足為Np，則記錄當前最小ξ值及其對應(yīng)的導(dǎo)頻圖案Pl，并繼續(xù)執(zhí)行Step 8；若不滿足，則使j=1，m=m+1并返回Step 4繼續(xù)循環(huán)。

Step8 判斷是否循環(huán)完所有樹。若l滿足為M1，則繼續(xù)執(zhí)行Step 9；若不滿足，則執(zhí)行l(wèi)=l+1并返回Step 1。

Step9 輸出結(jié)果。從M1個可選圖案P1,P2,…,PM1中選擇最小ξ值對應(yīng)的導(dǎo)頻圖案Popt作為最優(yōu)導(dǎo)頻圖案。

圖1 二分支樹結(jié)構(gòu)

4 仿真分析

4.1 均方誤差和誤碼率比較

圖2 不同導(dǎo)頻設(shè)計中的誤碼率

圖3 不同導(dǎo)頻設(shè)計中的均方誤差

由仿真結(jié)果可得，在導(dǎo)頻數(shù)較少的條件下，通過傳統(tǒng)的LS算法恢復(fù)得到的信道估計遠遠不如基于壓縮感知的信道估計；在基于壓縮感知的信道估計中，等間隔均勻?qū)ьl并不是最優(yōu)的，傳統(tǒng)導(dǎo)頻搜索算法與文獻[6]提出的SSS算法均采用采樣矩陣最小互相關(guān)準則，通過該準則選取出來的導(dǎo)頻位置能夠比均勻?qū)ьl更好地估計出真實信道；與采樣矩陣最小互相關(guān)準則相比，采用新準則設(shè)計出的導(dǎo)頻圖案信道估計均方誤差更低，在相同的誤碼率情況下最多能夠節(jié)省約4 dB信噪比,與基于壓縮感知的均勻?qū)ьl信道估計相比信道估計均方誤差減小約16 dB；與文獻[10]提出的算法相比，本文算法誤碼率和均方誤差曲線均略低于文獻[10]算法，然而兩者性能相差很小，算法曲線近乎一致，最大僅有約0.1 dB性能差距。在復(fù)雜度方面，本文算法的計算復(fù)雜度更低，算法效率上具有相對優(yōu)勢。仿真結(jié)果表明，與其他采樣矩陣評價準則相比，本文提出的最小互相關(guān)距離立方和準則能夠得到更優(yōu)的信道估計質(zhì)量。

4.2 不同導(dǎo)頻搜索算法性能比較

為了比較不同導(dǎo)頻搜索算法之間的性能差異，本節(jié)從ξ值優(yōu)化結(jié)果和導(dǎo)頻優(yōu)化效率兩個方面分析評價。由于考慮到實驗結(jié)果會受循環(huán)次數(shù)的影響，外循環(huán)次數(shù)設(shè)置為1，初始導(dǎo)頻均為[14,16,21,23,77,84,122,126,170,172,174,175,176,191,221,224,282,366,373,386,423,426,432,436]，待替換導(dǎo)頻個數(shù)為24個。從圖4可以看出，兩種導(dǎo)頻搜索算法在前一半導(dǎo)頻位置時ξ值收斂速度較快；隨著導(dǎo)頻不斷替換更新，在后一半導(dǎo)頻位置中ξ值收斂速度逐漸放緩。從第8個導(dǎo)頻位置處開始，本文提出的新算法仍能保持較大的收斂趨勢，與文獻[6]提出的SSS算法相比，能夠找到更小的ξ值。

圖4 不同導(dǎo)頻搜索算法中ξ值的下降曲線

導(dǎo)頻搜索效率關(guān)鍵在于導(dǎo)頻搜索算法時長，每一個待替換導(dǎo)頻都需計算一次ξ值。為了保證算法公平，SSS算法外循環(huán)次數(shù)和TSS算法樹個數(shù)均為M1，SSS算法內(nèi)循環(huán)次數(shù)和TSS算法存活分枝個數(shù)均為M2。不同算法優(yōu)化后的ξ值及運行時長如表1所示。從表1可得，與SSS算法相比，本文算法的收斂速度更快，且能獲得更小的ξ值。綜合導(dǎo)頻優(yōu)化效率和ξ值優(yōu)化結(jié)果，本算法具有更優(yōu)的導(dǎo)頻搜索能力。

表1 不同算法優(yōu)化后的ξ值及運行時長

4.3 互相關(guān)準則運算選擇比較

為了確定哪種運算更加符合導(dǎo)頻準則，利用5 000組不同導(dǎo)頻集合仿真獲得在不同信噪比條件下的MSE，并對每個導(dǎo)頻在5 dB到20 dB內(nèi)的所有MSE取平均。將5 000組不同導(dǎo)頻集合對應(yīng)的最小平均MSE按順序排序，選擇前10個導(dǎo)頻集合，其對應(yīng)序號分別為2540，956，1937，979，320，199，261，3588，2643，1233。同時將這5 000組導(dǎo)頻集合分別采用和、平方和、立方和與四次方和運算進行計算，順序排列所有互相關(guān)值，取前10個最小互相關(guān)值的序號，將這些序號與最小平均MSE序號相一致的序號列在表2中。從表2可以得出，立方和與四次方和都能夠與最小平均MSE序號保持較好的一致性，而在復(fù)雜度上，四次方和的計算量較大，因此選擇立方和作為準則較為合適。

表2 不同運算與具有最小平均MSE相重合的序號

5 結(jié)束語

本文針對基于CS的OFDM稀疏信道估計中的導(dǎo)頻設(shè)計問題，提出新的采樣矩陣互相關(guān)定義和導(dǎo)頻設(shè)計準則。不同于傳統(tǒng)互相關(guān)準則，該準則能夠更好地反映采樣矩陣全局相關(guān)性。同時，本文在基于樹的循序?qū)ьl位置搜索算法的基礎(chǔ)上，考慮了相鄰導(dǎo)頻之間的間隔關(guān)系，提出一種新的基于樹的順序替換導(dǎo)頻間隔搜索算法。仿真結(jié)果表明，本文算法能夠在較短的時間內(nèi)快速收斂到更小的互相關(guān)值，通過該算法所搜索得到的導(dǎo)頻應(yīng)用于信道估計中具有更小的誤碼率和均方誤差。

本文的采樣矩陣是傅里葉采樣矩陣，下一步將研究高斯矩陣、伯努利矩陣等作為采樣矩陣時如何準確評價采樣矩陣的重建性能的問題。