在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生運算能力的探究

程紅霞

運算能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》提出的十大“核心詞”之一。關(guān)于運算能力，很多教師對它在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位、價值和實踐操作等方面都有討論。發(fā)展學(xué)生的運算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的培養(yǎng)目標之一。培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，首先要了解其內(nèi)涵，對運算能力的培養(yǎng)要求做到心中有數(shù);其次，要結(jié)合數(shù)學(xué)課堂的實際情況，制定具體的培養(yǎng)策略。

一、關(guān)于運算能力內(nèi)涵的研究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》對運算能力的描述是：運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力，培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。從這段表達中，我們可以提煉幾個關(guān)鍵詞：正確運算、理解算理、方法合理（運算簡潔）。

對于運算能力內(nèi)涵的具體解讀，比較有代表性的是上海市特級教師曹培英老師提出的“四面體結(jié)構(gòu)模型”（如圖1）。

該四面體結(jié)構(gòu)模型不僅充分解讀了運算能力的內(nèi)涵，還為實踐提供了指導(dǎo)思想與可操作的方法。

曹老師以四面體模型形象直觀地解讀了運算能力的以下四方面內(nèi)涵：

其一，基本口算主要是指20以內(nèi)的加減與表內(nèi)乘除，基本口算是運算能力提升的基礎(chǔ)之一;其二，算法、算理是運算能力的“一體兩翼”，兩者相輔相成，不可偏廢;其三，基本口算與算法算理共同構(gòu)成了運算能力的底層基礎(chǔ)，運算策略的制訂及運算能力的進一步的提升，都要在這個基礎(chǔ)之上去進行;其四，運算策略包括對信息的挖掘、問題的定向與識別、方法的選擇與過程的簡潔、自覺評價。

除了曹老師這樣比較深度的解讀之外，還有很多學(xué)者對運算能力的內(nèi)涵進行了研究。其中一種較為合理的觀點是“綜合能力說”，認為運算能力是一種綜合的能力，是“運算技能與邏輯思維能力等的一種獨特的結(jié)合”“運算能力不是簡單的加減乘除的計算，而是與觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力及想象能力等有關(guān)的由低級到高級的綜合能力?！?/p>

從以上的內(nèi)涵解讀中，我們可以得到兩點有益的啟示：

一是運算能力具有一定的層次性和發(fā)展性。小學(xué)階段的數(shù)的認識和數(shù)的四則運算幾乎是同時發(fā)展的。隨著學(xué)生知識面的拓展，數(shù)的運算抽象程度不斷提高，運算能力也隨之不斷發(fā)展。教師在教學(xué)中要特別關(guān)注因?qū)W習內(nèi)容進階而引起的對運算能力發(fā)展的不同要求，使具體目標與教學(xué)策略有助于學(xué)生提升運算能力（見圖2）。

二是運算能力是一種綜合的數(shù)學(xué)能力。這和前文提到的綜合能力是相呼應(yīng)的。運算能力絕對不是算得又對又快，而是應(yīng)該包括正確理解數(shù)與基本運算概念等相關(guān)知識、辨識理解信息條件、合理選擇運算方法與策略、使運算過程符合算律、算理，盡可能簡潔地獲得運算結(jié)果并判斷運算結(jié)果的合理性。因此，每一次的運算過程都是諸多從低級到高級思維活動綜合應(yīng)用的結(jié)果。

二、運算能力的培養(yǎng)策略

基于對運算能力內(nèi)涵的解讀和研究，結(jié)合數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實際，我認為，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力可以有如下策略。

（一）重視數(shù)與基本運算概念的教學(xué)

重視數(shù)與基本運算概念的教學(xué)有助于學(xué)生感悟算理，利用算理推導(dǎo)算法，識別、理解各種數(shù)量關(guān)系，合理選擇運算策略，為學(xué)生運算能力提升提供有力的支撐。

1.加強對基本運算結(jié)構(gòu)的理解與識別

圖3是加減法的基本運算結(jié)構(gòu)圖，其中分為添加型、拿走型、部分—部分—全體型、比較型。

我們以3道題為例。第一題，淘氣有8元，笑笑又給他4元，兩人一共有多少元？這屬于添加型的題目。第二題，淘氣有8元，笑笑有4元，他們兩人一共有多少元？這個題目是部分—部分—全體型，我們也可以叫它并加型。第三題，淘氣有8元，笑笑比淘氣多4元，笑笑有多少元？這個題目是比較型。雖然這3道題的做法都是8+4=12元，但是它們的意義是不一樣的，對應(yīng)的基本的運算結(jié)構(gòu)也是不一樣的。由這3種基本的運算結(jié)構(gòu)變換不同的起始量、改變量、結(jié)果量，就構(gòu)成了加減法的豐富多彩的故事情境與問題解決樣態(tài)。同樣，乘除法也有類似的基本運算結(jié)構(gòu)，學(xué)生對于基本運算結(jié)構(gòu)的理解和識別，能夠幫助他們?nèi)ダ斫膺\算的概念，并有助于信息的提取、方法的合理選擇等，有利于學(xué)生運算能力的提升。

2.以多元表征促進運算概念和運算關(guān)系的理解

圖4出現(xiàn)了3種語言：模型、文字和符號，它們是多元表征5種形式當中的3種。在小學(xué)階段數(shù)的運算里，很多時候我們會借用3種語言的模式來協(xié)助學(xué)生去發(fā)展運算概念。我曾執(zhí)教了一節(jié)在多元表征中學(xué)習乘法分配律的課，這節(jié)課用到了模型、圖形、符號、文字4種表征方式。在執(zhí)教中，我是如何以多元表征來促進學(xué)生對運算概念和運算關(guān)系的理解呢？

首先，引導(dǎo)學(xué)生在模型和數(shù)字、算式之間做聯(lián)接（如圖5）。

出示圖5的左側(cè)圖，提問：可以用什么算式來表示這個圖形？3在哪里？5在哪里？3×5是什么意思？通過數(shù)形結(jié)合，明確“3”表示的是大方塊每行有3個小方塊，“5”表示的是大方塊每列有5個小方塊，而“3×5”則表示“橫著數(shù)，每行有3個，有5行，共有5個3;豎著數(shù)，每列有5個，有3列，共有3個5”。不僅在這里做了模型與數(shù)的聯(lián)結(jié)，更建立起了該模型與乘法運算之間的對應(yīng)關(guān)系。

出示圖5中的右側(cè)圖，提問：怎樣列式表示這兩個大方塊組合的情況？3×5+4×5是什么意思？（3+4）×5呢？兩者有什么區(qū)別？

再做算式和圖形之間的轉(zhuǎn)換：算式2×6+3×6=（2+3）×6表示的圖是什么樣子的？請再畫出來（如圖6）。

其次，設(shè)計關(guān)聯(lián)性任務(wù)來促進多元表征學(xué)習。

【任務(wù)一】每個人用同一種顏色的小方塊拼一個幾乘幾的大方塊，在拼的同時要用乘法算式來表示。

【任務(wù)二】思考自己拼出的大方塊是否可以跟目標大方塊連接成一個更大的方塊。我收集全班學(xué)生表征大方塊的乘法算式，與他們一起看算式，判斷哪些算式表示的方塊可以與目標方塊連接，哪些是不可以連接的，并思考、表達為什么不可以連接，為什么可以連接。完成后，啟發(fā)學(xué)生：按照連接方式的不同對這些算式進行分類，你想怎樣分？學(xué)生在想象、比較、分類中反復(fù)進行模型和算式之間的互相轉(zhuǎn)化。

【任務(wù)三】把5×9的大方塊拆分成2個方塊，可以怎樣拆？收集完拆分方塊的算式后，我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對這些算式進行觀察、比較、分類，思考“按照拆分方式的不同，可以將這些算式分成幾類”。

通過這樣不斷地去反思操作過程、細化多元表征學(xué)習、促進表征形式之間的互換互化，學(xué)生對乘法分配律中復(fù)雜的運算關(guān)系和運算結(jié)構(gòu)的理解和認知會越來越清晰、具體。這樣的學(xué)習有助于學(xué)生把握基本運算概念和復(fù)雜的運算關(guān)系，有助于算理理解與算法掌握，最終促進運算能力的提升。

（二）強化算理理解與基本算法的學(xué)習

在曹培英老師提出的四面體模型中，算理理解、算法掌握是提升運算能力的兩大基石?；谔嵘龑W(xué)生運算能力的計算教學(xué)需要教師在以下兩點上花費更多的心思。

1.在具體情境與操作活動中理解算理

在學(xué)習小數(shù)除法單元時，我專門設(shè)計了一節(jié)活動課，讓學(xué)生經(jīng)歷換錢、分錢的操作活動，記錄換錢和分錢的每一個步驟，用自己的方法解決小數(shù)除法的實際問題。

【活動背景】

你和你的4個小伙伴收集了一些廢品，一共賣了12元錢。5個人要平分賣廢品的收入。

【活動內(nèi)容】

想一想：廢品站的叔叔給了你1張10元，2張1元的鈔票，每個人拿到的錢數(shù)要相同，你會遇到什么問題？

換一換：每個小組有一次兌換零錢的機會，請先想好如何兌換，再到“零錢銀行”按需換取。

分一分，記一記（以元為單位）：小組內(nèi)將12元錢平分給5個小朋友，用算式記錄整個分的過程（分失敗的小組，請思考如何修正才能成功）。

學(xué)生在活動中有如下的一些記錄方法：

（1）10元÷5=2元，1.5元÷5=0.3元，2+0.3=2.3元

（2）10元÷5=2元，1元÷5=0.2元，0.5元÷5=0.1元，2+0.2+0.1=2.3元

（3）10元÷5=2元，10角÷5=2角，5角÷5=1角，2角+1角=3角，2元+3角=2.3元

（4）10元÷5=2元，15角÷5=3角，2元+3角=2.3元

通過討論，學(xué)生意識到（1）和（2）中的1.5元÷5=0.3元和1元÷5=0.2元、0.5元÷5=0.1元不符合換錢分錢的實際情況，因為1元換成了10角，分錢時分的是15角或者先分10角再分5角，所以符合操作過程的記錄應(yīng)該是（3）或者（4）。換錢、分錢、記錄都體現(xiàn)了細分計數(shù)單位的小數(shù)除法的本質(zhì)。這樣的活動為下一節(jié)課理解小數(shù)除法豎式計算的算理提供了具體而形象的支撐。具體的操作活動不僅加強了學(xué)生對于細分計數(shù)單位的體驗，更有助于將比較抽象的小數(shù)除法變得具體、可視化、易理解。

2.在算法多樣化中派生出基本算法

算法多樣化并不是簡單的“百花齊放”或先多樣再優(yōu)化，而是應(yīng)該從多樣化的算法中尋找到共通的算理，從而派生出具有普適性的基本算法。

如“小數(shù)乘整數(shù)”一課，這節(jié)課的主要任務(wù)是：計算0.3×4，并對自己的計算方法做簡單說明。學(xué)生有以下7種做法與相應(yīng)的說明。

（1）0.3×4=1.2

[3×4=12

12 ?1.2]

（2）3×4=12，12÷10=1.2

交流時學(xué)生補充：0.3×10=3。

（3）0.3+0.3+0.3+0.3=1.2

交流時學(xué)生補充：0.3+0.3=0.6，0.6+0.3=0.9，0.9+0.3=1.2。

（4）4×0.3=0.1×（3×4）=0.1×12=1.2

說明： ?0.3=0.1×3， ?3×4=12， 12×0.1=1.2。

（5）3×4=12（分為10和2）

10×0.1=1，2×0.1=0.2，1+0.2=1.2

（6）畫圖：

○○○ ○○○ ○○○ ○○○

○→0.1，12個0.1=1.2

（7）0.3 3 ，3×4=12

12 1.2

把學(xué)生的方法梳理出來之后，我提出了兩個相應(yīng)的問題，引導(dǎo)學(xué)生尋找多樣化算法中的共通之處：找出想法相同，但形式不同的方法有哪些？所有的方法都需要計算什么？（需要計算3×4=12，12個0.1是1.2）

教師在計算教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生嘗試多樣化的算法，并引導(dǎo)學(xué)生比較各種算法之間的聯(lián)系，揭示不同算法背后的算理本質(zhì)，從共通的算理中自然生長出基本算法。這也是“算法多樣化”的內(nèi)涵，即要在學(xué)生原生的非基本算法和通用的基本算法之間找到關(guān)聯(lián)處和生長點。

（三）突出對基本數(shù)學(xué)思想的感悟

基本數(shù)學(xué)思想的運用在“數(shù)的運算”版塊中占據(jù)的份量很重。如將未知轉(zhuǎn)化成已知，幫助學(xué)生理解算理、探究算法，這在教材里有相當多的體現(xiàn)。北師版教材中，在學(xué)習“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的時候，我們是把它轉(zhuǎn)化成表內(nèi)乘法來計算、理解算理;在學(xué)習“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的時候，則是將它轉(zhuǎn)化成“兩位數(shù)乘一位數(shù)”去理解算理和探究算法。轉(zhuǎn)化（化歸）的思想在計算教學(xué)中的應(yīng)用非常普遍。除此以外，在小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)的運算當中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法還有數(shù)形結(jié)合、推理、符號化、類比、數(shù)學(xué)模型等。教師要善于挖掘“數(shù)的運算”內(nèi)容中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與思想方法，助力學(xué)生探究學(xué)習，提升學(xué)生的運算能力。

（責任編輯：楊強）