余石瓊

方程是小學(xué)數(shù)學(xué)中代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，學(xué)習(xí)方程是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從算術(shù)范圍跨入代數(shù)范圍的一個重要階段。算術(shù)用數(shù)字符號表示數(shù)量關(guān)系，代數(shù)用字母符號表示相等關(guān)系，兩者有明顯的不同。這種不同，一方面能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的迅速發(fā)展，另一方面會使學(xué)生在初學(xué)時經(jīng)歷一段不適應(yīng)期。教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)方程，可采用以下三種有效策略。

一、把握方程概念：注重本質(zhì)，講清含義

現(xiàn)行各版本的教材都把方程的意義定義為“含有未知數(shù)的等式叫方程”。其中，凸顯方程的兩個必要條件是“等式”和“含有未知數(shù)”。這就必然導(dǎo)致出現(xiàn)x=0，a+b=x等符合以上條件的“方程”。東北師范大學(xué)史寧中教授指出，方程的定義必須強(qiáng)調(diào)它的本質(zhì)屬性，即表達(dá)出已知量與未知量的相等關(guān)系。他對方程的定義是“含有未知數(shù)且表示兩個數(shù)量相等關(guān)系的式子”。他認(rèn)為，方程不只是簡單地對是否含有未知數(shù)和是否是等式這兩個外部特征的凸顯，更多關(guān)注的是兩個數(shù)量之間的相等關(guān)系。在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，不管是教師還是學(xué)生，判斷一個式子是否是方程的依據(jù)，一看是否是等式，二看是否含有未知數(shù)，而對方程本質(zhì)的已知量與未知量相等關(guān)系則沒有關(guān)注。顯然，這種輕本質(zhì)重形式的認(rèn)識是不可取的。南京大學(xué)鄭毓信教授也認(rèn)為，“能夠流利地說出方程的定義”與“能夠依據(jù)符號表達(dá)式的外在形式正確判斷這是否為方程”，不能被看成是理解方程的主要標(biāo)志。

在教學(xué)“方程”內(nèi)容之前，北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級下冊專門安排了一節(jié)課“等量關(guān)系”，下面是其第一個情境圖。

這樣的教材設(shè)計，意在學(xué)習(xí)方程之前，先進(jìn)行指向“相等關(guān)系”（教材中為“等量關(guān)系”，道理是一樣的）的理解與體驗，以促進(jìn)學(xué)生對方程本質(zhì)的把握。

二、選用方程解法：聯(lián)系實(shí)際，靈活選擇

方程教學(xué)中必然會碰到解方程方法的選擇問題，特別是究竟利用等式性質(zhì)還是四則運(yùn)算各部分關(guān)系來解方程，如36-x=2.5，36÷x=4.5等求方程中的減數(shù)或除數(shù)的題型時，利用四則運(yùn)算各部分關(guān)系兩步就能解決，甚至有的學(xué)生直接可以口算完成。如果用等式性質(zhì)來解決，它的書寫過程就會十分冗長。

我曾做過一項調(diào)查，讓六年級畢業(yè)班學(xué)生完成利用減法各部分關(guān)系解方程和利用等式的性質(zhì)解方程的題目。大部分學(xué)生都采用減法和除法，利用各部分之間的關(guān)系來解方程，他們甚至都不曾想過可以利用等式的性質(zhì)來解此類方程;同時，在對相應(yīng)班級任課教師進(jìn)行訪談時，針對“在方程教學(xué)中，你都要求學(xué)生掌握哪些解方程的方法”的問題（四則運(yùn)算各部分關(guān)系，等式的性質(zhì)，兩種方法都可以），訪談結(jié)果顯示，大多數(shù)教師選擇讓學(xué)生兩種方法都掌握，并要求根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇方法解方程。然而，現(xiàn)行各大版本教材都要求運(yùn)用等式的性質(zhì)來解方程。這樣要求的原因一是利用四則運(yùn)算各部分關(guān)系雖然能解決方程，但碰到較為復(fù)雜的方程就不方便解決，具有一定的局限性;二是考慮中小學(xué)解方程方法的銜接，中學(xué)教材內(nèi)容都是采用等式的性質(zhì)來解方程的，學(xué)生如果一味習(xí)慣利用四則運(yùn)算各部分關(guān)系來解方程，不僅影響了中學(xué)解各種方程組的學(xué)習(xí)，而且不利于代數(shù)思維的發(fā)展;三是利用等式性質(zhì)解決方程，更能讓學(xué)生感悟到方程的本質(zhì)，即方程是表示已知量與未知量之間相等關(guān)系的式子。

很多一線教師特別是老教師，對利用等式的性質(zhì)來解決方程都不習(xí)慣，有的甚至認(rèn)為是簡單方法復(fù)雜化，因此產(chǎn)生了排斥心理。他們認(rèn)為，利用四則運(yùn)算各部分關(guān)系來解方程，思維上符合學(xué)生的解題習(xí)慣，簡單易懂且不容易出錯。特別是當(dāng)遇到類似36-x=2.5，36÷x=4.5等求方程中減數(shù)或除數(shù)的題型時，利用等式的性質(zhì)解決起來就比較麻煩，要通過繁雜的等式變形才能解出方程，而利用四則運(yùn)算各部分關(guān)系就能快速地解出方程。同時，教師也常陷入“到底要不要把自認(rèn)為簡單的利用四則運(yùn)算各部分關(guān)系來解方程這一方法教授給學(xué)生”以及“在平常的解題中要求學(xué)生用哪種方法解方程”等困惑。其實(shí)，教學(xué)時，我們不必?fù)?dān)心學(xué)生用四則運(yùn)算各部分關(guān)系解方程是否影響中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、是否阻礙代數(shù)思維發(fā)展等問題，可以把四則運(yùn)算各部分關(guān)系作為解方程的一種輔助方法，使學(xué)生根據(jù)實(shí)際題目，靈活多樣地運(yùn)用不同的方法來解方程。

三、選用解題方法：加強(qiáng)辨析，感悟歸納

在對學(xué)生進(jìn)行“你是否喜歡用方程解來解決問題”的問卷調(diào)查中，90%的學(xué)生都不喜歡用方程來解決實(shí)際問題，這不得不引起我們的反思和關(guān)注。學(xué)生為什么不喜歡用方程解決實(shí)際問題呢？原因是他們覺得解方程的過程太麻煩了，書寫步驟繁瑣。不可否認(rèn)，學(xué)生初學(xué)方程時都要經(jīng)歷“分析題意，找等量關(guān)系”“寫設(shè)句、列方程”“解方程”“檢驗”四個步驟，有些教師甚至還要求學(xué)生把題目的等量關(guān)系式和檢驗過程完整地寫出來，每完成一道題都要寫上半頁紙。冗長的解題過程，把學(xué)生“嚇壞了”，而同一道題如果用算術(shù)解，只要兩三步就可完成，簡潔明了。兩種解題過程，形成了鮮明的對比，學(xué)生自然覺得算術(shù)解比較簡單，于是心理上就十分抵觸用方程解決問題。同時，用方程解決問題是學(xué)生從已習(xí)慣的算術(shù)思維向代數(shù)思維的徹底轉(zhuǎn)變，難度較大，必須要有一個適應(yīng)和接受過程。

那么，該如何讓學(xué)生喜歡上用列方程來解決問題呢？我認(rèn)為，加強(qiáng)算術(shù)解和方程解的比較，凸顯列方程解決問題的價值是關(guān)鍵。要讓學(xué)生充分體驗方程解比算術(shù)解的優(yōu)勢所在，特別是在解決較為復(fù)雜的實(shí)際問題時，利用方程解來解決問題就比算術(shù)解通俗易懂且不易出錯。

首先，可以出示一道例題。

小亮現(xiàn)在身高1.53米，他現(xiàn)在的身高比出生時的3倍少0.03米，求小亮出生時的身高。

若要求學(xué)生用自己喜歡的方法獨(dú)立解決，很大一部分學(xué)生會利用算術(shù)解完成，其中可能也會出現(xiàn)（1.53-0.03）÷3的錯誤方法。

師：你是怎么思考的？

生：先求出小亮出生時身高的3倍，再把它除以3。

師：1.53-0.03表示什么？

生：小亮出生時身高的3倍是多少？

生：他說得不對，出生時身高的3倍應(yīng)該是1.53+0.03。

師：你又是怎么想的呢？

生：現(xiàn)在的身高1.53米不足出生身高的3倍的，要加上0.03米才是出生時3倍，而且剛才我用畫線段圖的方法驗證過。

師：說得非常好！剛才他還借助線段圖解決問題，這是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法。那你的列式是什么？

生：我的列式是（1.53+0.03）÷3。

師：還有不同的解決方法嗎？

生：我用方程解，3x-0.03=1.53。

師：你是怎么想的呢？

生：我順著題意，找出等量關(guān)系，小亮出生時的身高×3-0.03米=現(xiàn)在的身高。

師：剛才他用了一個“順著題意”的詞語。是的，我們在列方程解決問題時都可以順著事件的發(fā)展進(jìn)行思考，從而解決問題。請同學(xué)們用方程求出小亮的體重。

以上教學(xué)過程，學(xué)生在列方程解決問題時，都是順著事件發(fā)展的順序，相對方便地進(jìn)行思考問題，屬于正向邏輯思考，降低了思維難度，節(jié)約了思維成本。這樣，使學(xué)生相對輕松地解決問題。此外，還要讓學(xué)生在比較中體會方程解比算術(shù)解的優(yōu)勢所在：雖然方程解書寫過程多一些，但不容易出錯。這樣，就能讓學(xué)生體會“磨刀不誤砍柴工”的意義。學(xué)生在兩種解方程方法的對比中，不但對“方程表示已知量與未知量相等關(guān)系”的本質(zhì)屬性有了更深的認(rèn)識，而且提高了解決問題的能力，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

接著，可以出示下面兩道例題：

①冬冬家買來一袋15千克的面粉，吃了[3/5]，吃了多少千克？

②冬冬家買來一袋面粉，吃了[3/5]，正好是9千克。原來這袋面粉重多少千克？

師：觀察兩道題有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：都是把一袋面粉看作單位“1”，都吃了一袋面粉的[3/5]，不同是要求的問題不同。

師：看來你會解決這兩道問題，列式解答的依據(jù)是什么？

生：列式解答的依據(jù)是分析題意，找出等量關(guān)系式。

（學(xué)生寫出等量關(guān)系式并列式，并指名回答）

生：兩道題目的等量關(guān)系式都是一樣的，都是面粉的總重量×[3/5]=吃了的面粉的重量。

師：那你是怎么列式的？

生：第①題用算術(shù)解15×[3/5]=9（千克）;第②題用方程解，設(shè)原來這袋面粉重x千克。[3/5]x=9，算出x=15。

師：觀察兩道列式，你們想提什么問題？

生：第①題為什么用算術(shù)解？第②題為什么用方程解？

師：多好的問題呀！誰能回答這個問題？

生：第①題已知單位“1”是一袋面粉總重量，要求吃了多少千克面粉，依據(jù)數(shù)量關(guān)系用算術(shù)解就能快速地算出;而第②題，已知是吃了面粉的數(shù)量，要我們?nèi)デ髥挝弧?”是多少千克，用方程解比較簡單、易懂。

師：歸納得真好！先請同學(xué)們把你的發(fā)現(xiàn)跟同桌說一說，說完之后再自己出一組題，分別用不同的方法解決。

（學(xué)生獨(dú)立出題后，指名匯報）

從例題分析再到學(xué)生自己出題，通過一組組“形似質(zhì)異”的題組對比練習(xí)，使學(xué)生從中感悟并歸納出不管是方程法解決問題，還是算術(shù)法解決問題，都可以列出相同的數(shù)量關(guān)系式;如果已知單位“1”的數(shù)量，要求普通量就可以用算術(shù)解去解決;如果已知普通量，而要求單位“1”一般選擇列方程解決問題等結(jié)論。同時，逐漸建立了這一類型題目的方程模型。學(xué)生能針對不同的題目，利用自己總結(jié)的結(jié)論，選擇不同的方法靈活、正確地解決相關(guān)實(shí)際問題，不僅能獲得成功解決問題的成就感，而且也有利于提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

綜上所述，方程是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)和轉(zhuǎn)折點(diǎn)，讓學(xué)生建構(gòu)方程模型是重中之重。在具體的教學(xué)活動中，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對方程意義的體驗，充分感受方程的本質(zhì)，使學(xué)生了解方程的實(shí)際應(yīng)用價值，為發(fā)展代數(shù)思維奠定基礎(chǔ)。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）