基于解析Preisach模型的非晶合金磁滯特性模擬

余蓓，李曉露

(上海電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，上海200090)

0 引言

非晶合金憑借其低矯頑力、高磁導(dǎo)率、低損耗等優(yōu)點，近年來已被廣泛應(yīng)用于高頻變壓器等高頻電力設(shè)備中[1 - 2]。在非晶合金的應(yīng)用中，其固有的磁滯特性會對變壓器的勵磁電流、能量損耗等產(chǎn)生重要影響[3 - 4]，因而如何準(zhǔn)確、高效模擬非晶合金的磁滯特性具有重要意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對非晶合金的磁滯特性研究主要通過實驗測量的方式，而鮮有設(shè)計相關(guān)理論和模型對其進行準(zhǔn)確模擬。例如，文獻[5]為了探究非晶合金的損耗機理，通過實驗直接測量了大量磁滯回線，進而對其形狀、矯頑力、剩磁等特性進行分析。文獻[6]直接在實測非晶合金磁滯特性曲線的基礎(chǔ)上，進行數(shù)值分解，從而提出了一種雙曲模型模擬非晶合金磁疇壁移動、磁疇旋轉(zhuǎn)等磁化過程。現(xiàn)有已被提出模擬磁性材料磁滯特性的磁滯模型有Jile-Atherton(J-A)[7 - 9]、Preisach[10 - 13]模型等。其中，J-A模型是一種基于磁性材料內(nèi)在能量守恒的物理模型，由于其在推導(dǎo)過程中存在多處近似處理，導(dǎo)致其模擬精度較低。Preisach模型是一種基于宏觀磁滯現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，求解精度較高，但參數(shù)辨識需要大量實驗數(shù)據(jù)，且實現(xiàn)過程較為復(fù)雜、耗時。由于非晶合金的磁滯回線相較于電工鋼片更加細(xì)窄、損耗更低，因此本文選擇對精度較高的Preisach模型進行改進。

為了解決Preisach模型數(shù)值求解較為耗時、復(fù)雜等問題，有學(xué)者對經(jīng)典Preisach磁滯模型進行了改進。例如，Vecchia R D提出了Everett函數(shù)的概念，可有效避免經(jīng)典Preisach磁滯模型雙重積分的計算[14]。在此基礎(chǔ)上，Dlala E利用極限磁滯回線實驗數(shù)據(jù)構(gòu)造了一階回轉(zhuǎn)曲線，提出了基于該一階回轉(zhuǎn)曲線數(shù)據(jù)辨識Everett函數(shù)的方法，從而避免了使用過多實驗數(shù)據(jù)[15]，但是該模型的計算效率較低。Mayergoyz在經(jīng)典Preisach磁滯模型基礎(chǔ)上加入了可逆磁化分量，從而提高了模型的模擬精度，但其分布函數(shù)的辨識依賴于一階回轉(zhuǎn)曲線和二階回轉(zhuǎn)曲線的測量，同時求解過程中涉及求導(dǎo)等計算，容易產(chǎn)生誤差[10]。另外，有學(xué)者利用Cauchy-Lorentz、Gaussian、Lognormal、Hyperbolic tangent等解析函數(shù)來近似分布函數(shù)，這種方法雖然減小了分布函數(shù)辨識的復(fù)雜度，但模擬精度相對而言較低[16 - 19]。

為了能夠快速準(zhǔn)確模擬非晶合金磁滯特性以及計算其損耗，首先，根據(jù)非晶合金極限磁滯回線實測值計算Preisach分布函數(shù)、分析分布函數(shù)基本特征，從而選擇合適的解析函數(shù)對分布函數(shù)進行辨識，并對其積分得到閉合形式的Everett函數(shù)表達式，從而確定非晶合金不可逆磁化分量，這樣避免了Preisach模型分布函數(shù)辨識復(fù)雜、計算耗時的問題；而后，考慮可逆磁化分量對非晶合金磁滯特性的影響，引入雙曲正切函數(shù)來表征非晶合金可逆磁化分量；最終，通過線性疊加的方式建立了一種新的適用于非晶合金磁滯特性準(zhǔn)確、快速模擬的解析Preisach模型。實驗及仿真結(jié)果證明了本文所提Preisach模型的準(zhǔn)確性以及有效性。

1 經(jīng)典Preisach模型

經(jīng)典Preisach磁滯模型將磁性材料的磁滯回線表示成無數(shù)個矩形磁滯算子的疊加。單個矩形磁滯算子如圖1所示的矩形回線，其中β和α分別代表磁滯算子正、負(fù)向翻轉(zhuǎn)的臨界值，同時每個磁滯算子的磁化狀態(tài)γ僅有“+1”和“-1”兩個值。當(dāng)外加磁場強度H作為輸入且小于α?xí)r，γ=-1；當(dāng)外加磁場強度H大于β時，γ=+1。將每一個磁滯算子的磁滯特性疊加后，便得到了磁性材料的磁滯特性：

圖1 單元磁滯算子

B(t)=?Tμ(α,β)γ(α,β,H(t))dαdβ

(1)

式中：μ(α，β)為Preisach模型的分布函數(shù)，表示Preisach平面內(nèi)磁滯算子的分布密度；T為三角形積分區(qū)域。磁場強度H作為輸入，磁通密度B為輸出。圖2中分布函數(shù)μ(α，β)的積分域被階梯線L分為兩個區(qū)域S+和S-，S+內(nèi)磁滯算子磁化狀態(tài)γ取值為+1，S-內(nèi)磁滯算子磁化狀態(tài)γ取值為-1。階梯線L上的轉(zhuǎn)折點對應(yīng)外加磁場強度H(t)的歷史極值，當(dāng)H(t)增大時，階梯線水平上移，S+區(qū)域增大；當(dāng)H(t)減小時，階梯線垂直左移，S-區(qū)域增大。因此，式(1)可寫成以下形式。

B(t)=?S+μ(α,β)dαdβ-?S-μ(α,β)dαdβ

(2)

為了避免經(jīng)典Preisach模型中的雙重積分計算引入Everett函數(shù)，其定義是在Preisach平面內(nèi)對分布函數(shù)μ(α，β)進行積分，表達式如下。

E(x,y)=?Tμ(α,β)dαdβ

(3)

式中：T為以α=β為斜邊的等腰直角三角形對應(yīng)的積分區(qū)域，(x，y)表示的是該等腰三角形頂點坐標(biāo)，如圖2中陰影區(qū)域。

圖2 Preisach模型分布函數(shù)積分域

2 解析Preisach模型

本文在經(jīng)典Preisach模型的基礎(chǔ)上，加入可逆磁化分量，如式(4)所示。其中，等號右邊的第一項表示不可逆磁化分量，第二項表示可逆磁化分量，k(α)為可逆磁化分量的分布函數(shù)。

(4)

由式(2)可知，磁通密度B(t)求解的關(guān)鍵在于分布函數(shù)的確定?，F(xiàn)階段，針對分布函數(shù)的辨識大多利用一階回轉(zhuǎn)曲線或者同心磁滯回線。其中，一階回轉(zhuǎn)曲線可以通過數(shù)值方法或者實驗數(shù)據(jù)生成，前者計算過程復(fù)雜且計算速度慢，后者需要大量的實驗數(shù)據(jù)且測量精度無法保證；同心磁滯回線實驗數(shù)據(jù)雖然測量精度比較準(zhǔn)確，但是涉及數(shù)值積分時會放大誤差。因此，本文提出利用解析函數(shù)對式(4)中的分布函數(shù)進行辨識，并基于式(3)推導(dǎo)出解析形式的閉合Everett函數(shù)表達式，從而計算出非晶合金磁感應(yīng)強度B(t)。

首先，假設(shè)圖1中的磁滯算子上升支與下降支不相關(guān)，則不可逆磁化分量分布函數(shù)μ(α，β)可近似為兩個單值函數(shù)的乘積，表達式如下：

μ(α,β)=μ(α)×μ(-β)=f(α)×f(-β)

(5)

利用所選非晶合金樣品實驗測量的極限磁滯回線數(shù)據(jù)，基于二階偏微分法得到離散分布函數(shù)的數(shù)值和形狀，如圖3所示。根據(jù)所得不可逆磁化分量分布函數(shù)的數(shù)值和形狀，辨識得到式(5)中單值函數(shù)f(z)，如式(6)所示，對應(yīng)的擬合結(jié)果如圖4所示。

圖3 Preisach模型分布函數(shù)離散值

圖4 Preisach分布函數(shù)擬合結(jié)果

(6)

通過調(diào)整參數(shù)a、b、c的值提高函數(shù)f(z)與非晶合金分布函數(shù)μ(α，β)的擬合精度。為使函數(shù)f(z)形式更簡潔緊湊，令B=1/c，C=eb/c，A=a×C，得到第二個表達式。解析形式的分布函數(shù)表達式如下。

μ(α,β)=f(α)×f(-β)

(7)

對上述解析形式的分布函數(shù)進行雙重積分，計算得到Everett函數(shù)表達式如式(8)所示。

(8)

其中，L表達式為：

(9)

這種解析形式的Everett函數(shù)表達式僅包含基本的代數(shù)運算，具有運算簡單、計算速度快、便于數(shù)值仿真等優(yōu)點。

當(dāng)外加磁場強度H(t)從負(fù)的最值-HM開始增大到正的最值HM，形成磁滯回線的上升支，此時不可逆磁化分量磁通密度Bu可通過Everett函數(shù)表示為：

Bu=-BM+2E(H,-HM)

(10)

式中BM為飽和磁通密度。

同理，當(dāng)外加磁場強度H(t)從正的最值HM開始減小到負(fù)的最值-HM，形成磁滯回線的下降支，此時磁通密度Bd可表示為：

Bd=BM-2E(HM,H)

(11)

由于非晶合金的磁滯回線更加細(xì)窄，因此，通過添加更多參數(shù)變量提高非晶合金不可逆磁化分量的模擬精度，即以多項和形式表示Everett函數(shù)，n為參數(shù)變量個數(shù)，如式(12)—(13)所示。

E(x,y)=

(12)

(13)

通過上述的Everett函數(shù)表達式和式(10)—(11)，即可求得磁滯回線上任一點的不可逆磁化分量磁通密度值。首先計算磁通密度最值BM，結(jié)果如下。

BM=E(HM,-HM)=

(14)

(15)

磁滯回線上升支某一點的不可逆磁化分量磁通密度表達式為：

Bu=-BM+

(16)

(17)

磁滯回線下降支某一點的不可逆磁化分量磁通密度表達式為：

Bd=BM-

(18)

(19)

對于式(4)中的可逆磁化分量分布函數(shù)k(α)，研究表明，可逆磁化分量計算方法主要有對測量得到的B-H曲線回轉(zhuǎn)點處的斜率(可逆磁導(dǎo)率)進行積分，以及利用含參函數(shù)來近似模擬可逆磁化曲線兩種。

本文根據(jù)Mayergoyz提出的移動Preisach模型擬合的可逆磁化分量特性以及文獻[20]中可逆磁化分量計算方法，利用雙曲正切函數(shù)來近似計算可逆磁化分量，表達式如式(20)所示。這樣不僅考慮了磁場強度輸入值H(t)對可逆磁化分量的影響，而且僅需要對參數(shù)進行提取，計算過程進一步簡化。

(20)

式中k1、k2、k3分別為與可逆磁化分量相關(guān)的待提取變量。

綜上所述，將式(16)—(17)或式(18)—(19)與式(20)代入式(4)中對應(yīng)項，便可得到適應(yīng)于非晶合金磁滯特性模擬的解析Preisach模型。

3 實驗驗證與仿真分析

3.1 實驗平臺

為了驗證所提磁滯模型的精度，本文選用BROCKHAUS軟磁材料磁特性測量系統(tǒng)測量非晶合金磁環(huán)樣品在不同磁感應(yīng)強度下的磁滯回線。該測量系統(tǒng)專用于軟磁材料的磁性能測量，可根據(jù)測量需求選擇不同的測量線圈單元。由于該測量系統(tǒng)采用全數(shù)字化的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，可實現(xiàn)磁場強度H與磁感應(yīng)強度B的并行存儲，因此保證了H和B同步測量，避免因相位差而產(chǎn)生的測量誤差。同時，該測量系統(tǒng)還采用自適應(yīng)負(fù)反饋算法，自動調(diào)節(jié)激勵電源的輸出電壓，從而保證了磁滯回線等磁特性數(shù)據(jù)測量的準(zhǔn)確性。因此，該測量系統(tǒng)的測量方法及結(jié)果符合國際電工委員會標(biāo)準(zhǔn)“IEC 60404- 2”。利用實測的原邊電流和副邊空載電壓，計算磁場強度H(t)和磁感應(yīng)強度B(t)，如式(21)—(22)所示。

(21)

(22)

式中：N為線圈匝數(shù)；i為初級線圈勵磁電流；u為次級線圈電壓；lm為等效磁路長度；S為非晶合金磁環(huán)等效截面積。

本文采用牌號為1K101的鐵基非晶合金磁環(huán)[21]，參數(shù)為：內(nèi)徑90 mm，外徑100 mm，高20 mm，質(zhì)量180.45 g。測量該非晶合金磁環(huán)直流條件下不同磁密時的磁滯回線，結(jié)果如圖5所示。實驗測量結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該非晶合金磁環(huán)飽和磁密約為1.0 T，此時對應(yīng)的磁場強度在17 A/m左右。

圖5 1K101非晶合金實驗測量磁滯回線

3.2 解析模型參數(shù)辨識

由于解析Preisach模型涉及較多參數(shù)變量，因此關(guān)鍵是找到合適的參數(shù)提取算法。本文基于對現(xiàn)有參數(shù)提取算法[9,22 - 23]的研究，采用單目標(biāo)多變量二進制遺傳算法對Preisach模型參數(shù)進行辨識。對于多變量優(yōu)化問題，遺傳算法將各個變量的二進制碼串聯(lián)在一起形成碼鏈，迭代優(yōu)化后，再進行解碼，提高參數(shù)提取的準(zhǔn)確性。遺傳算法目標(biāo)函數(shù)如式(23)，Bcal、Bmea分別為仿真值與實驗測量值。遺傳算法提取解析Preisach模型參數(shù)的過程如圖6所示。

圖6 解析Preisach模型參數(shù)辨識流程圖

通過將實驗數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果比較，選取n=3，既可以保證解析Preisach模型的準(zhǔn)確性又可以防止參數(shù)過多造成計算量過大，由此得到的參數(shù)辨識結(jié)果如表1所示。

表1 n=3時，非晶合金解析模型辨識參數(shù)

(23)

3.3 磁滯特性模擬與仿真

為了驗證本文所提解析Preisach模型的準(zhǔn)確性，將表1中參數(shù)值分別代入非晶合金不可逆磁化分量和可逆磁化分量表達式中，利用MATLAB對1K101鐵基非晶合金磁環(huán)靜態(tài)磁滯特性進行仿真，將擬合結(jié)果與實驗測量數(shù)據(jù)以及經(jīng)典Preisach模型仿真結(jié)果進行對比，結(jié)果如圖7所示(Bp表示磁滯回線峰值磁密)。

圖7 不同磁密下的仿真結(jié)果

從以上結(jié)果可以看出，無論在低磁密時還是飽和磁密附近，相對于經(jīng)典Preisach模型，本文所提解析Preisach模型擬合效果都更好，精度更高。同時，解析Preisach模型由于僅涉及簡單的數(shù)值計算，因此計算速度相比于經(jīng)典Preisach模型大大提升。

表2 損耗計算結(jié)果

從損耗對比結(jié)果可以看出，解析Preisach模型計算誤差均控制在10%以內(nèi)，證明了該模型的計算精度較高?？紤]到該解析模型便于數(shù)值仿真、準(zhǔn)確性高且計算速度快，因此滿足實際工程要求。

4 結(jié)論

為了可以準(zhǔn)確快速地模擬非晶合金磁滯特性以及計算其損耗，本文提出了一種解析Preisach模型，得到以下結(jié)論。

1)本文首先根據(jù)非晶合金極限磁滯回線實測值計算Preisach分布函數(shù)離散值以及分析分布函數(shù)基本特征，利用特定的解析函數(shù)對分布函數(shù)進行辨識，并對其積分得到閉合形式的Everett函數(shù)表達式，從而確定非晶合金不可逆磁化分量；而后，根據(jù)Mayergoyz提出的移動Preisach模型擬合的可逆磁化分量特性，考慮到可逆磁化分量對非晶合金磁滯特性的影響，利用雙曲正切函數(shù)計算非晶合金可逆磁化分量；最后，通過線性疊加的方式建立了解析Preisach模型。

2)基于構(gòu)建的解析Preisach模型對1K101鐵基非晶合金磁環(huán)在不同磁密下的磁滯回線進行模擬，發(fā)現(xiàn)仿真結(jié)果與實驗測量磁滯回線差距較小，且損耗計算誤差均控制在10%內(nèi)。驗證了該磁滯模型不僅可準(zhǔn)確地模擬非晶合金磁滯特性、計算損耗，而且在分布函數(shù)辨識、數(shù)值實現(xiàn)、計算精度等方面都有較大提升，滿足實際工程中對非晶合金磁滯特性模擬的要求。