基于確信可靠性理論的蠕變壽命模型應(yīng)用研究

楊 晗, 王浩偉, 李清榮, 陳 敏, 彭 博

(北京航空航天大學(xué)云南創(chuàng)新研究院, 云南 昆明 650233)

0 引 言

金屬材料在溫度不變、載荷不變的條件下,隨著時間的增長而產(chǎn)生緩慢塑性變形的現(xiàn)象被稱為蠕變。蠕變可以在任何溫度范圍發(fā)生,但對于絕大多數(shù)金屬材料而言,常溫下蠕變產(chǎn)生的變形量很小,往往可以忽略不計(jì)。但對于航空發(fā)動機(jī)葉片、工業(yè)轉(zhuǎn)化爐管、主蒸汽管道等在高溫環(huán)境下工作的構(gòu)件,就必須考慮蠕變所產(chǎn)生的變形以及可能由此引發(fā)的持久斷裂風(fēng)險。因此,評估構(gòu)件在高溫工況下的蠕變可靠壽命可以是保障高溫構(gòu)件安全正常使用的重要前提。

短時持久試驗(yàn)的長時蠕變壽命外推法是比較常用的蠕變壽命評估方法,目前常用的包括:經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式外推法、等溫線外推法、時間-溫度參數(shù)法等。其中,最早發(fā)展的線性外推持久強(qiáng)度法側(cè)重蠕變鍛煉機(jī)理的研究;此后發(fā)展起來的以Larson-Miller法為代表的時間溫度參數(shù)法得到最為廣泛的研究和應(yīng)用;在對時間溫度參數(shù)法的研究和豐富中,逐漸發(fā)展出來根據(jù)蠕變曲線規(guī)律進(jìn)行壽命預(yù)測的方法,其中參數(shù)法比較受認(rèn)可。然而此類方法主要是基于大量的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ),且外推法適用范圍有限,超出范圍后會出現(xiàn)較大的偏差。

隨著可靠性學(xué)科的發(fā)展,可靠性的相關(guān)概念也被應(yīng)用到蠕變壽命評估中。Evans等人通過對比不同的分布模型,認(rèn)為12Cr12Mo14V鋼的蠕變失效時間符合對數(shù)正態(tài)分布。Zhao等人與Kim等人分別使用參數(shù)分散性的方法,考慮了材料存在的分散性問題,從可靠性的角度合理計(jì)算了材料在一定使用條件下的蠕變斷裂壽命。Zhang等人提出了一種分布式協(xié)同廣義回歸極值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法,并在此基礎(chǔ)上對某型航空發(fā)動機(jī)葉尖間隙進(jìn)行了可靠性分析。但總的來說,對于蠕變可靠壽命的研究,仍然是以大量實(shí)驗(yàn)為依托,然而蠕變持久試驗(yàn)所需時間較長,在工程實(shí)際中通常只能得到有限的樣本數(shù)據(jù)。此外,這些方法也僅考慮了材料的分散性可能帶來的固有不確定性影響,并未考慮對客觀世界規(guī)律認(rèn)識不足而產(chǎn)生的認(rèn)知不確定性,以及由工況、環(huán)境等因素帶來的不確定性。

為了量化工程應(yīng)用中廣泛存在的不確定性,國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了很多嘗試和研究,其中Liu等人于2007年提出不確定理論,是公理化數(shù)學(xué)一個新的分支,為解決小樣本問題和認(rèn)知不確定的問題提供了新的工具,在不同的研究領(lǐng)域中得到應(yīng)用。在工程實(shí)際及蠕變可靠壽命評估中往往很難得到充足的試驗(yàn)樣本,因此不確定理論可以作為評價蠕變過程不確定性的新手段。

在可靠性建模方面,Kang等人在結(jié)合工程實(shí)際和深入研究可靠性度量基本準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上,認(rèn)為可靠性是確定性和不確定性的綜合,提出了一種新的可靠性理論:確信可靠性理論。并定義確信可靠度為在認(rèn)識確定性規(guī)律基礎(chǔ)上量化不確定性得到的可靠度。確信可靠性理論以不確定理論和概率論為基礎(chǔ)。于格等人基于確信可靠性理論對齒輪的接觸疲勞可靠壽命進(jìn)行了研究,考慮了認(rèn)知不確定性,并通過分析找到了齒輪接觸疲勞的敏感參數(shù)。王浩偉等人基于不確定理論對退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,并利用時變不確定正態(tài)分布建立產(chǎn)品的退化方程,最終根據(jù)度量方程推導(dǎo)出產(chǎn)品可靠性模型。使用不確定統(tǒng)計(jì)中的極大似然估計(jì)法與假設(shè)檢驗(yàn)法解決參數(shù)估計(jì)與模型驗(yàn)證問題。Zu等人使用基于不確定理論用小樣本疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)建模和估計(jì)疲勞壽命的不確定性。Li等人基于不確定理論和確信可靠性理論建立了疲勞裂紋擴(kuò)展可靠壽命模型,并通過分析認(rèn)為不確定理論能在考慮認(rèn)知不確定時可以得到更穩(wěn)定的可靠性評價結(jié)果,并發(fā)現(xiàn)材料的分散性對疲勞壽命有顯著影響影響?？梢?確信可靠性理論為可靠性建模提供了新的思路,并在退化損傷與可靠壽命建模方面有了一定的研究與應(yīng)用基礎(chǔ)。

綜上,現(xiàn)有的蠕變壽命預(yù)測和可靠壽命建模方法,多需要以大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),且難以同時考慮材料分散性、工況和環(huán)境的波動性以及認(rèn)知不確定性?；诓淮_定理論的方法建立確信可靠性模型適用于工程實(shí)際中的小樣本情況,并能充分考慮存在的固有不確定性和認(rèn)知不確定性的影響。因此,本文將基于確信可靠性這一新理論,使用不確定理論的方法,建立蠕變確信可靠性壽命模型,為蠕變壽命的評估和預(yù)計(jì)提供一種新的思路與方法。

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

本節(jié)對本文工作的理論基礎(chǔ)進(jìn)行介紹,包括不確定理論與確信可靠性理論的重要定義與定理。

1.1 不確定理論

次可加公理:對于一列可數(shù)的事件序列,,…

是一個事件,則稱是一個不確定變量。

不確定分布:設(shè)是一個不確定變量,則函數(shù)

稱為的不確定分布。

逆不確定分布:令表示一個具有正則不確定分布()的不確定變量,則將()的反函數(shù)()稱作的逆不確定分布。

1.2 確信可靠性理論

確信可靠性理論遵循可靠性科學(xué)最基本的3個原理:裕量可靠原理、退化永恒原理、不確定原理。對于這3個原理,可以用以下3個方程來表示。

(1) 裕量方程:=(,)>0。

(2) 退化方程:=(,,,)。

(3) 度量方程:()=(>0)。

其中,裕量方程對應(yīng)裕量可靠原理,描述客體性能裕量的大小和故障判據(jù),即裕量本質(zhì)上是性能特性到性能閾值的距離,裕量大于0 則產(chǎn)品可靠。退化方程對應(yīng)退化永恒原理,客體的性能與系統(tǒng)的內(nèi)在屬性、外在屬性、物理時間沿著退化時矢發(fā)生不可逆的退化的規(guī)律,退化方程描述了產(chǎn)品確定性的退化規(guī)律。度量方程對應(yīng)不確定原理,描述了對于裕量方程中不確定性的量化,并據(jù)此給出產(chǎn)品的可靠度。由此可以認(rèn)為確信可靠度是在認(rèn)識確定性規(guī)律基礎(chǔ)上量化不確定性得到的可靠度。

2 蠕變過程的確信可靠性建模

本節(jié)將基于確信可靠度和不確定理論進(jìn)行蠕變壽命的可靠性建模,包括基于確信可靠理論的建模過程和基于不確定理論的參數(shù)不確定性表征。

2.1 確信可靠性理論

高溫下構(gòu)件的蠕變變形量和時間的關(guān)系曲線稱為蠕變曲線,如圖1所示,可以看出蠕變分為3個階段。

(1) 第Ⅰ階段:蠕變變形速率隨時間呈下降趨勢;

(2) 第Ⅱ階段:蠕變變形速率時間保持恒定;

(3) 第Ⅲ階段:蠕變變形速率隨時間呈上升趨勢,至構(gòu)件破壞。

圖1 蠕變曲線Fig.1 Creep curve

一般情況下,第Ⅰ階段及第Ⅲ階段相較于第Ⅱ階段持續(xù)時間較短,某些情況下甚至不出現(xiàn)第三階段。因此,為簡化建模過程,只考慮第Ⅱ階段的蠕變變形過程,即認(rèn)為蠕變變形速率隨時間保持恒定。此外,對于大多數(shù)金屬結(jié)構(gòu)件來說,施加載荷瞬間產(chǎn)生的彈性變形相較于蠕變變形很小,且為可恢復(fù)形變。因此,在建模過程中不考慮施加載荷瞬間產(chǎn)生的彈性形變。

基于以上假設(shè)和簡化處理,使用確信可靠性理論建立蠕變壽命模型。

蠕變速率受很多因素影響,可以表示為

(1)

在式(1)的基礎(chǔ)上,選擇蠕變變形量為蠕變過程的關(guān)鍵性能參數(shù)。按照故障閾值對性能參數(shù)的限定形式,可以將性能參數(shù)分為3類:

(1) 望小性能參數(shù):當(dāng)且僅當(dāng)≥時,產(chǎn)品發(fā)生故障;

(2) 望大性能參數(shù):當(dāng)且僅當(dāng)≤時,產(chǎn)品發(fā)生故障;

(3) 望目性能參數(shù):當(dāng)且僅當(dāng)≤th,或≥th,時,產(chǎn)品發(fā)生故障。

由此,裕量方程可構(gòu)建為如下的形式:

(2)

關(guān)鍵點(diǎn)斷裂應(yīng)變理論認(rèn)為,當(dāng)結(jié)構(gòu)內(nèi)部任意位置蠕變應(yīng)變累積超過某一臨界值時,結(jié)構(gòu)發(fā)生持久斷裂失效。因此,可以將蠕變累積應(yīng)變量到達(dá)某一臨界值作為蠕變失效的判斷條件,且蠕變變形量為望小性能參數(shù),由此構(gòu)建裕量方程,其中為蠕變變形量失效閾值:

(3)

蠕變變形量隨時間變化,可根據(jù)式(1)建立隨時間的退化方程:

(4)

當(dāng)裕量≥0時認(rèn)為是可靠的,因此可以建立可靠度方程:

(5)

2.2 參數(shù)不確定性表征

確信可靠度建模需要對不確定性進(jìn)行量化,因此在得到確定性的式(5)后還需要進(jìn)一步討論下式參數(shù)可能存在的不確定性：

(6)

參數(shù)不確定性可能有兩種情況:固有不確定性和認(rèn)知不確定性。固有不確定性的實(shí)質(zhì)是客體世界內(nèi)在的不確定性,又可以稱為是隨機(jī)不確定性。認(rèn)知不確定性是由于人的認(rèn)知能力的有限性而產(chǎn)生對客觀規(guī)律認(rèn)識的局限而造成的。由于材料的分散性、工況和環(huán)境的波動性、認(rèn)知的不完備等造成了式(6)中的參數(shù)具有固有不確定性與認(rèn)知不確定性的情況。因此,將式(6)中的參數(shù)根據(jù)其不確定性進(jìn)行分類。

對于固有不確定性參數(shù),其不確定性的來源主要為外加應(yīng)力、工作環(huán)境溫度以及材料性能的分散性。對于認(rèn)知不確定性參數(shù),其不確定性主要來源于對客觀規(guī)律認(rèn)知的不充分,即目前對于蠕變的機(jī)理與規(guī)律的研究和認(rèn)知并不完全。常數(shù)()的認(rèn)知不確定性主要來源于對材料、蠕變規(guī)律認(rèn)知的不充分;蠕變應(yīng)力指數(shù)()的認(rèn)知不確定性主要來源于對蠕變機(jī)理認(rèn)知的不充分;蠕變激活能()的認(rèn)知不確定性主要來源于對材料性能、蠕變機(jī)理認(rèn)知的不充分。具體參數(shù)滿足分布如表1所示,參數(shù)所滿足的不確定分布主要由經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行,和已有的數(shù)據(jù)規(guī)律進(jìn)行選擇。

表1 參數(shù)不確定性分布情況

(1) 存在固有不確定性的參數(shù):外加應(yīng)力(),溫度(),蠕變變形量失效閾值();

(2) 存在認(rèn)知不確定性的參數(shù):常數(shù)(),蠕變應(yīng)力指數(shù)(),蠕變激活能();

(3) 確定性參數(shù):氣體常數(shù)()。

(7)

考慮所有參數(shù)的不確定性時,根據(jù)定理1(運(yùn)算法則)可以將式(5)表達(dá)為

(8)

其中,不確定正態(tài)分布的逆不確定分布為

(9)

由式(8)可見,該過程需要考慮不確定性的參數(shù)較多,可根據(jù)情況進(jìn)行簡化。

(10)

(11)

2.3 分布參數(shù)的獲得

在工程實(shí)踐中,往往很難通過大量蠕變持試驗(yàn)獲得分布參數(shù)。確信可靠性理論中,除了可以通過少量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行不確定參數(shù)估計(jì)以外,還可以通過專家和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分布參數(shù)的確定,更適用于工程實(shí)際情況,且能充分利用專家和經(jīng)驗(yàn)的資源。因此,不同的參數(shù)分布中的未知參數(shù)可通過不確定估計(jì)、經(jīng)驗(yàn)確定及專家指定獲得。

(12)

式中:符號為取小之意,且,

(13)

在沒有試驗(yàn)和測量數(shù)據(jù)的情況下,還可以通過工程經(jīng)驗(yàn)和專家指定的方式確定未知參數(shù)。

2.4 參數(shù)不確定性優(yōu)化分析

在確信可靠模型建立完成后,還需要對參數(shù)不確定性的考慮進(jìn)行優(yōu)化分析。本文提出一種以失效時間模型為參照的參數(shù)不確定性優(yōu)化與分析方法。

將得到的蠕變確信可靠模型與基于失效時間數(shù)據(jù)的概率分布建模進(jìn)行比較,并考慮不同參數(shù)不確定性的影響。通過面積比的方法比較,優(yōu)化選擇最合適的參數(shù)不確定性表征,并最終得到更合理的蠕變確信可靠模型。

3 案例研究

某牌號Cr-Mo鋼在550 ℃下的蠕變試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示,該類鋼常用于超高壓機(jī)組螺栓與閥門,為典型金屬材料。

表2 某牌號Cr-Mo鋼蠕變試驗(yàn)數(shù)據(jù)(550 ℃)

3.1 分布參數(shù)及可靠度曲線

可將式(10)改寫為對數(shù)形式為

(14)

表3 失效應(yīng)變量統(tǒng)計(jì)

各分布參數(shù)及獲取方式如表4所示,根據(jù)式(9)和式(11)可計(jì)算得到此牌號Cr-Mo鋼材料在該條件下的可靠度隨時間變化的曲線,如圖2所示,并通過曲線可得到其可靠壽命:09=481 h,06=9 727 h?？煽慷仍谠缙陔S時間下降迅速,且下降速率隨時間逐漸降低,中后期可靠度隨時間下降趨勢較為平緩。

表4 分布參數(shù)及確定方式

圖2 某牌號Cr-Mo鋼考慮四參數(shù)不確定性條件下可靠度隨時間變化曲線Fig.2 Reliability versus time curve of a certain brand of Cr-Mo steel considering four parameter uncertainties

3.2 參數(shù)不確定性影響

不同參數(shù)的不確定性對可靠壽命曲線影響不同,因此依次考慮表4中參數(shù)的不確定性,在此基礎(chǔ)上研究不同參數(shù)不確定性對可靠度曲線的影響。在考慮某一參數(shù)不確定性時,認(rèn)為其余參數(shù)均為確定參數(shù),取值為分布參數(shù)。

圖3所示為分別考慮不同參數(shù)不確定性的情況下所計(jì)算得到的可靠度隨時間變化曲線?？梢园l(fā)現(xiàn),僅考慮的不確定性時所得曲線與同時考慮四參數(shù)時所得曲線最類似,說明參數(shù)的不確定性對可靠壽命的影響最為顯著,甚至掩蓋了另外3個參數(shù)的影響。由于參數(shù)不確定性的影響,蠕變確信可靠度在早期就迅速下降,而中后期確信可靠度下降曲線則趨于平緩。因此對于蠕變過程來說,需要重點(diǎn)控制參數(shù)的不確定性。參數(shù)與蠕變機(jī)理有關(guān),而蠕變機(jī)理又與材料、載荷和對蠕變機(jī)理的認(rèn)知水平有關(guān),因此可以控制材料的分散性和工況的波動性以減少參數(shù)的不確定性,以減小可靠度曲線早起的下降趨勢,增加可靠壽命。

圖3 某牌號Cr-Mo鋼分別考慮單參數(shù)不確定性的可靠度隨時間變化曲線Fig.3 Reliability versus time curves of a certain brand of Cr-Mo steel with single parameter uncertainty

3.3 參數(shù)不確定性優(yōu)化與分析

表5為一種Cr-Mo鋼(12Cr12Mo14V)在173 MPa/550 ℃條件下的失效時間數(shù)據(jù),認(rèn)為其失效時間滿足對數(shù)正態(tài)分布。某Cr-Mo鋼減小參數(shù)不確定性后確信可靠度隨曲線與12Cr12Mo14V鋼基于失效時間的可靠度曲線如圖4所示。其中,藍(lán)色實(shí)線為減小參數(shù)不確定性后的蠕變確信可靠度曲線,根據(jù)曲線得到的蠕變可靠壽命:=8 213 h,=16 390 h。對比圖2可發(fā)現(xiàn)在減小的不確定性以后,早期可靠度不再出現(xiàn)明顯的下降,可靠壽命也得到顯著的提高。

表5 12Cr12Mo14V蠕變失效時間數(shù)據(jù)(173 MPa/550 ℃)

圖4 某Cr-Mo鋼減小n不確定性后確信可靠度隨時間變化曲線與12Cr12Mo14V鋼基于失效時間的可靠度曲線Fig.4 Reliability versus time curve of certain Cr-Mo steel with reduced uncertainty of n and reliability curve of 12Cr12Mo14V steel based on failure time

此外,由圖4可以觀察到,優(yōu)化參數(shù)不確定性后的確信可靠度曲線與通過失效時間得到的可靠度曲線有著類似的變化趨勢,這說明此時得到的蠕變確信可靠度模型所得到的結(jié)果與慣常使用的基于失效數(shù)據(jù)的概率可靠度模型得到的結(jié)果有一定程度上的一致性。在早期的高可靠度階段,二者相差較小,且基于確信可靠性理論得到的結(jié)果相對保守;而在中后期,則是基于失效時間數(shù)據(jù)得到的可靠度相對基于確信可靠性理論得到的結(jié)果更為保守。造成這種差異的主要原因是參數(shù)的對蠕變確信可靠度的影響,使得可靠度在早期下降快,在中后期下降趨于平緩。

為了進(jìn)一步討論參數(shù)不確定性的影響,可以考慮極端情況,即不考慮參數(shù)的不確定性,將其取確定值為545,其余3個參數(shù)的分布不變,則式(11)可寫為

(15)

結(jié)合式(9)和式(15)計(jì)算得到蠕變確信可靠度曲線,將得到的可靠度曲線與失效基于失效時間數(shù)據(jù)的曲線進(jìn)行對比,如圖5所示,并可獲得蠕變可靠壽命:09=11 260 h,06=17 360 h。

圖5 某Cr-Mo鋼不考慮n不確定性條件下確信可靠度隨時間變化曲線與12Cr12Mo14V鋼基于失效時間的可靠度曲線Fig.5 Reliability versus time curve of certain Cr-Mo steel without considering uncertainty of n and reliability curve based on failure time for 12Cr12Mo14V steel

在不考慮的不確定性后,早期可靠度不再明顯下降,因此高可靠度下的可靠壽命相較于考慮參數(shù)不確定性的情況下有所提高。此時,蠕變的確信可靠度曲線與基于失效時間的可靠度曲線趨勢更為相似,在整個過程中基于失效時間的可靠度結(jié)果都相對保守。這也進(jìn)一步說明,參數(shù)在很大程度上影響了蠕變確信可靠度曲線的變化趨勢,從而影響其可靠壽命模型的結(jié)果,最主要影響的是早期的可靠度變化趨勢。

將基于失效時間數(shù)據(jù)的模型作為參照,采用面積比的方法分別表征圖4和圖5中基于確信可靠理論的可靠度曲線與基于失效時間數(shù)據(jù)的可靠度曲線的相抵度。具體方法為:計(jì)算兩條曲線所圍面積和兩條曲線與坐標(biāo)軸所圍面積的比值,如圖6所示。因此,面積比計(jì)算公式為

(16)

圖6 面積比法所求面積示意圖Fig.6 Schematic diagram of area ratio method

由此分別計(jì)算原文圖4與圖5中兩條曲線的面積比分別為0.278和0.067 5。即圖5中兩條曲線的相似性更好。說明在不考慮參數(shù)不確定性的情況下,確信可靠模型與基于失效時間數(shù)據(jù)的概率統(tǒng)計(jì)模型有很好的相似度。

在案例中,基于確信可靠性理論和不確定理論進(jìn)行了蠕變可靠性建模,得到蠕變的確信可靠度曲線。該方法使用不確定理論及運(yùn)算法則,可以方便簡單地考慮多個參數(shù)不確定性影響。此外,參數(shù)的分布可以通過多種方式獲取,即除了通過試驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)等常規(guī)使用的方法外,還可以通過經(jīng)驗(yàn)和專家指定等較為主觀的方法。使用該方法建?？梢缘玫脚c工程實(shí)踐中廣泛使用的基于失效時間的概率統(tǒng)計(jì)方法得到的可靠度模型較為一致的結(jié)果,從而給難以開展蠕變試驗(yàn)、缺乏蠕變試驗(yàn)數(shù)據(jù)、蠕變試驗(yàn)成本較高等情況提供了蠕變壽命建模方法,具有工程實(shí)用價值。

4 結(jié) 論

本文基于確信可靠性理論為蠕變壽命建模提供新方法,該方法可以通過使用不確定理論的運(yùn)算法則同時充分考慮材料分散性、載荷波動性、溫度波動性、認(rèn)知不完全性等帶來的不確定性,相比較使用概率方法有計(jì)算簡單易行的優(yōu)勢。

基于確信可靠性理論的蠕變可靠性壽命建模方法在使用中可以通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)、經(jīng)驗(yàn)確定和專家指定等多種方法獲得參數(shù)分布,在缺少試驗(yàn)數(shù)據(jù)和試驗(yàn)難以進(jìn)行的情況下提供了蠕變可靠壽命評估的手段,具有較好的工程應(yīng)用價值。

不同參數(shù)的不確定性對可靠度曲線的影響程度不同,在蠕變過程中,蠕變應(yīng)力指數(shù)的不確定性對所得可靠度曲線影響最大,需要重點(diǎn)關(guān)注,在對參數(shù)不確定性的進(jìn)行調(diào)整和控制以后,可以得到與基于失效時間數(shù)據(jù)的概率分布模型方法得出的類似的建模計(jì)算結(jié)果。

在建模方法上,目前的局限主要在未考慮參數(shù)間的相關(guān)性,未來的研究中可以從參數(shù)間的影響因素和其相關(guān)性出發(fā),去修正已有的確信可靠度模型,使得模型更完備。在應(yīng)用層面,本文僅考慮蠕變這一單一的失效模式,未考慮復(fù)合失效模式的作用,未來的研究可以針對蠕變-疲勞、蠕變-腐蝕等多種失效模式共同作用的情況開展研究。