對一道解三角形題的探究與思考

葉洪清

(浙江省杭州市余杭文昌高級中學 311121)

三角函數(shù)與解三角形是高考重點內(nèi)容之一，也是學生較容易取得滿分的題型，但是筆者在一次參與高三數(shù)學聯(lián)考的閱卷過程中，發(fā)現(xiàn)較多學生對解三角形的大題束手無策，閱卷過程中也出現(xiàn)了較多的空白卷，針對該題的低得分率，本文作出了一些思考，現(xiàn)做簡要分析.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求sin(A-B)的值;

試題分析本題主要考查學生分析問題與解決問題的能力以及對基礎知識的綜合運用能力，極大程度上考查了學生的思維能力以及運算能力. 大部分考生對第(1)小題感到束手無策，覺得跟平時的解三角形題型不一樣，因此導致該題的得分偏低，但在閱卷過程中也出現(xiàn)了一些解題的亮點，但這些亮點僅僅是來自于平時數(shù)學成績優(yōu)異的學生.

2 課堂論解

①

同理可得

②

由①②,得

可得2a2+ab-6b2=0.

點評解法1與解法2都可以得到第(1)小題的正確答案，但是對學生的思維能力要求較高，而且運算過程較為繁瑣，只有具備較強的運算能力和邏輯推理能力才能得出正確答案.特別是解法2，先求得邊長之間的關(guān)系，然后再運用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解正余弦值，計算量就會變得很大. 而考卷中給出的正解如下：

點評解法3先采用正弦定理進行邊化弦，采用倍角公式變形逆用進行降次，再進行配角，然后用兩角和的余弦公式展開化簡，最后進行求值，該解法過程非常順暢，對公式的應用也比較自然.

為何學生給出的解題過程與標準答案大相徑庭？是因為題型偏離了常規(guī)的命題意途？還是學生缺少這種解決新問題的能力？還是學生并沒有掌握課堂上的所學知識？我們再來看一個錯解：

錯解由兩角和的正弦公式和余弦定理可得，

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

點評該解題結(jié)果雖然是正確的，但是解題過程是錯誤的，而且錯的非常明顯，學生主要是對于正弦定理認識不足，直接將弦與邊等同起來，這也是大多數(shù)學生在平時運用正弦定理時容易犯的錯誤，但為何該解題過程得到了正確的答案？我們是否可以對該解題過程稍加修飾來獲得正確的答案呢？答案是肯定的.

則sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

從以上錯解中可以看出學生對基礎知識應用的條件不夠熟悉，只有等式兩邊都含有弦(邊)的時候才能通過正弦定理直接化為邊(弦)，教師在正弦定理的應用教學中應該引入常數(shù)，讓學生自身去閱讀并領悟正弦定理所能應用的條件與情景，親身體驗新知識的接受過程，讓學生知其然，知其所以然. 事實上，學生的創(chuàng)造力是無窮的，我們教師在從教過程中也應該時刻滿足學生的好奇心，幫助示范引導，千萬不要直觀地否定學生的解答，盡量放慢課堂教學步伐，傾聽學生的奇思妙想，引導學生選擇不同的方法去解決各種新穎問題，并學會在不同方法的比較中領悟各種方法的本質(zhì)以及適用的情境，從而突破解題瓶頸，達到靈活解題的目的.

針對以上問題，筆者在講解該題時除了給出以上解法外，還指出了學生在解題過程中需要避免的問題，而讓筆者感到意外的是，學生通過比較條件，提出這么一個問題：是否有sin2A-sin2B=sin(A-B)sin(A+B)成立？如果等式成立，怎么證明？面對學生提出的這一奇怪結(jié)論，本人并沒有直接否定，而是引導學生思考，從剛才的解答過程與方法中尋找所要證明的元素，動員學生積極思考，運用已有的知識進行論證，因此結(jié)論成立是肯定的，證明過程只需運用二倍角公式以及參照解法3的步驟就可以得到此結(jié)論(此處省略)，而且也為了讓學生加深對這一公式的記憶，證明過程由學生自己獨立完成，這也體現(xiàn)了學生的奇思妙想與驚人的創(chuàng)造力，敢于大膽猜想 ，積極嘗試.

為加深學生對本節(jié)課所學知識的掌握程度，讓學生能夠?qū)?shù)學知識內(nèi)容及其形態(tài)內(nèi)化為認知經(jīng)驗，使新舊認知充分碰撞，使所獲得的新認知具有心理意義，從而進一步提升學生的數(shù)學思維素養(yǎng)，提升解題的驅(qū)動力和數(shù)學學科的綜合素養(yǎng)，筆者給出了如下試題以供學生練習.

例2 (1)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，且滿足(a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B),試判斷△ABC的形狀.

(2)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，且2sin(A-B)=asinA-bsinB,a≠b.

(1)求邊c；

(2)若△ABC的面積為1，且tanC=2，求a+b的值.

3 解題反思

在對題目進行求解之后，我們應該讓學生進行自我解題反思，特別是進行實踐基礎上的理性反思，反思如何發(fā)現(xiàn)問題以及采取什么方法去解決問題，反思這其中運用了哪些基本的思想方法和技能技巧以及會發(fā)生怎樣的錯誤和原因，而在給學生平時的試題訓練中，也應當立足通性通法的考查，講究題型新穎，重在本質(zhì)，以此來區(qū)分學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，盡量給學生以“眼前一亮，煥然一新”的感覺.浙江省近幾年的數(shù)學高考命題設計大致也是從數(shù)學問題本身出發(fā)，構(gòu)造含樸實的素材和豐富內(nèi)蘊的試題，充分體現(xiàn)了數(shù)學的內(nèi)在本質(zhì)與現(xiàn)實背景，回歸教材，堅持出基礎題，考靈活題，突出對考生綜合能力的考查. 因此，我們教師的教學需要合理定位，立足教材，精選習題，在平時數(shù)學教學中充分認識學生的個體水平差異性，讓每位學生主動學自己的數(shù)學，正確應對每位學生的學習要求，給予學生充足的思考求解時間，準確定位高考目標，強調(diào)對運算能力和思維能力的培養(yǎng)，讓學生形成良好的思維品質(zhì)，同時，在平時的課堂訓練與高考模擬中，也應該強調(diào)心態(tài)的重要性， 讓學生學會調(diào)整心態(tài)，從而應對紛繁復雜的高考試題.

4 感悟小結(jié)

新高考的改革對我們數(shù)學教師也提出了新的要求，特別是在平時的教學中，教師應當注重知識與發(fā)展的過程，通過一題多解，幫助學生理清知識的發(fā)展邏輯和知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，通過變式拓展領悟知識的發(fā)生和發(fā)展規(guī)律，每一位數(shù)學教師都應該深入鉆研教材編排的意圖，研究教材中教學目標與教學內(nèi)容，進而確定相應的教學方法和教學策略，提升自己的思想修養(yǎng)、文化素養(yǎng)和專業(yè)技能，加強數(shù)學知識發(fā)展的延續(xù)性與連貫性，突出知識點之間本身存在的內(nèi)在聯(lián)系，增強數(shù)學教學的本質(zhì)，關(guān)注概念的理解和運用，有意識地啟發(fā)學生多角度思考問題，引導學生學會比較方法的繁簡，培養(yǎng)學生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的眼光，拓展學生的數(shù)學理性思維，引導學生學會自主探究、自主鉆研，提升學生分析問題的能力以及解決問題的能力，幫助建立良好的認知結(jié)構(gòu)，充分實現(xiàn)知識與能力的結(jié)合，讓學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)，積累數(shù)學思想和實踐的基本活動經(jīng)驗，形成良好的數(shù)學學科核心素養(yǎng).