典例剖析 有的放矢

張麗

解決方程與不等式類問題，要充分理解方程與不等式的概念，掌握方程與不等式的解法，會(huì)用方程或不等式解決實(shí)際問題。本文以三個(gè)例題為載體，剖析易錯(cuò)點(diǎn)，有的放矢，希望能幫助同學(xué)們更好地理解“方程與不等式”的相關(guān)內(nèi)容。

例1 已知關(guān)于x的方程kx2-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 。

【錯(cuò)解剖析】部分同學(xué)認(rèn)為這是關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式大于等于0，求k的取值范圍。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是對一元二次方程的概念、基本形式認(rèn)識(shí)不到位。只有一元二次方程中含未知數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)不為零，才能保證最高次項(xiàng)是二次項(xiàng)，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)含參數(shù)時(shí)，要注意需分類討論。

【解法思路】此題未指明是關(guān)于未知數(shù)x的幾次方程。觀察方程kx2-2x+1=0，發(fā)現(xiàn)x2的系數(shù)k是否為零，決定了此方程的類型。①當(dāng)k=0時(shí)，方程-2x+1=0為一元一次方程;②當(dāng)k≠0時(shí)，方程kx2-2x+1=0為一元二次方程。

【正解】①當(dāng)k=0時(shí)，方程-2x+1=0為一元一次方程，符合題意;

②當(dāng)k≠0時(shí)，方程kx2-2x+1=0為一元二次方程，

由題意可得（-2）2-4k≥0，

即k≤1且k≠0。

綜上所述，k的取值范圍是k≤1。

例2 若關(guān)于x的不等式組[x<3a+2，x>a-4]無解，則a的取值范圍是（ ）。

A.a≤-3 B.a<-3

C.a>3 D.a≥3

【錯(cuò)解剖析】部分同學(xué)易列出不等式3a+2

【解法思路】此題考查的是不等式組的含參數(shù)問題，解法不唯一。下面列舉兩種常見方法。方法一：從解不等式組的角度入手，即先求出不等式組的解集，把不等式的解集通過數(shù)軸表示出來，根據(jù)不等式組無解求出a的范圍，此處需重點(diǎn)考慮臨界值，即3a+2=a-4是否符合題意;方法二：從函數(shù)圖像的角度入手，即分別畫出函數(shù)y1=3a+2，y2=a-4的圖像，兩線相交于點(diǎn)（-3，-7），觀察函數(shù)圖像可得a的取值范圍。這兩種方法均借助“形”來求解，即用數(shù)軸或函數(shù)圖像表示出不等式組的解集。數(shù)形結(jié)合，形象直觀。

【正解】由題意可知，3a+2≤a-4，解得a≤-3。故選A。

例3 將一箱蘋果分給若干個(gè)小朋友，若每位小朋友分5個(gè)蘋果，則還剩12個(gè)蘋果;若每位小朋友分8個(gè)蘋果，則有一個(gè)小朋友分到蘋果但不到8個(gè)蘋果。問這一箱蘋果有多少個(gè)？小朋友有多少人？

【錯(cuò)解剖析】設(shè)有x個(gè)小朋友，列出不等式組[（5x+12）-8x>0，（5x+12）-8x<8。]產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因在于審題不仔細(xì)，條件“有一個(gè)小朋友分到蘋果但不到8個(gè)蘋果”的意思是“有（x-1）個(gè)小朋友分到8個(gè)蘋果，還有一個(gè)小朋友分到蘋果的數(shù)量是大于等于1，小于等于8的正整數(shù)”。用不等式（組）解決實(shí)際問題，要理清題意，抓住題目中表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞“至多”“至少”“不超過”“不到”等，找出不等關(guān)系，列出不等式（組），最后還要檢驗(yàn)解的實(shí)際意義。

【解法思路】此題考查的是用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題，先設(shè)未知數(shù)（設(shè)小朋友有x人），根據(jù)“若每位小朋友分5個(gè)蘋果，則還剩12個(gè)蘋果”列出代數(shù)式，蘋果共有（5x+12）個(gè)，再根據(jù)“若每位小朋友分8個(gè)蘋果，則有一個(gè)小朋友分到蘋果但不到8個(gè)蘋果”找到兩個(gè)不等關(guān)系，列出不等式組求解，最后要考慮實(shí)際意義。

【正解】設(shè)有x個(gè)小朋友。

根據(jù)題意，得

[（5x+12）-8（x-1）>0，（5x+12）-8（x-1）<8。]

解得4

因?yàn)閤為正整數(shù)，所以x=5或x=6。

當(dāng)x=5時(shí)，5x+12=37;

當(dāng)x=6時(shí)，5x+12=42。

答：有5個(gè)小朋友，37個(gè)蘋果或者有6個(gè)小朋友，42個(gè)蘋果。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級中學(xué)）

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