夏 蘇，袁 沭

(1. 中國(guó)科學(xué)院云南天文臺(tái)，云南 昆明 650216；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

偏振測(cè)量是天體物理和太陽(yáng)物理研究的強(qiáng)大觀測(cè)手段，我們可以利用它直接獲得天文目標(biāo)的重要物理和幾何信息，而這些信息是其他觀測(cè)手段無(wú)法獲得的。例如，太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡利用偏振光譜觀測(cè)診斷太陽(yáng)大氣中的磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)[1]；恒星發(fā)出的偏振輻射擁有更為豐富的物理內(nèi)涵[2]。由于目標(biāo)的低偏振特性，天文偏振測(cè)量始終處于一種光子饑餓的觀測(cè)狀態(tài)。因此，利用大口徑望遠(yuǎn)鏡收集更多的光子，以提高目標(biāo)偏振信號(hào)的信噪比成為天文偏振測(cè)量的重要發(fā)展方向。望遠(yuǎn)鏡的儀器偏振效應(yīng)，即望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)對(duì)入射偏振信號(hào)的改變，是當(dāng)前高精度天文偏振測(cè)量面臨的主要技術(shù)問(wèn)題。對(duì)于大口徑反射望遠(yuǎn)鏡，儀器偏振主要由金屬鏡面的反射偏振效應(yīng)引起。根據(jù)菲涅爾公式，金屬鏡面的損耗和延遲是入射角與鍍膜材料折射率的函數(shù)。微觀上，金屬膜由大量線尺度在幾十納米的金屬晶粒隨機(jī)堆疊而成，其光學(xué)特性是鍍膜材料、鍍膜工藝、使用環(huán)境和時(shí)間的函數(shù)[3]。因此，為了能夠準(zhǔn)確把握金屬薄膜的偏振特性，對(duì)望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行準(zhǔn)確的偏振光學(xué)設(shè)計(jì)或建模，并最終消除儀器偏振對(duì)偏振測(cè)量精度的影響，我們需要在實(shí)驗(yàn)室對(duì)金屬鍍膜材料的偏振特性進(jìn)行精確全面的測(cè)量研究。

大口徑望遠(yuǎn)鏡常用鋁膜反射鏡，其偏振特性已廣泛研究。純鋁膜鍍制完成之后不久，在表面生成天然的氧化鋁薄膜[4-5]。氧化鋁薄膜在保護(hù)鋁膜的同時(shí)也改變了鋁鏡的偏振特性，因此，在表征鋁鏡的偏振特性時(shí)，必須考慮氧化膜的影響[6]。然而氧化鋁薄膜仍然不能阻止水分等污染，因此在鍍完鋁膜后繼續(xù)在表面鍍一層氧化硅保護(hù)膜[3,7]，偏振特性也會(huì)有很大的變化。

傳統(tǒng)的橢偏測(cè)量法是對(duì)固定入射角度的橢偏光譜數(shù)據(jù)(ψ, Δ)進(jìn)行擬合，在擬合過(guò)程中使用色散模型約束各個(gè)波長(zhǎng)的折射率[8-10]，有時(shí)還需要使用已知的文獻(xiàn)值約束參數(shù)變化。因此，傳統(tǒng)方法反演的參數(shù)準(zhǔn)確度很大程度上依賴于色散模型的選取，而且由于自由度減少與參數(shù)假設(shè)等限制，對(duì)于復(fù)雜的樣品需要建立十分復(fù)雜的結(jié)構(gòu)模型才能進(jìn)行較好的表征。

本文提出一種鋁膜偏振特性測(cè)量方法，該方法首先對(duì)鋁膜的繆勒矩陣關(guān)鍵元素進(jìn)行直接測(cè)量，然后基于雙層膜的結(jié)構(gòu)模型，使用測(cè)得的繆勒矩陣數(shù)據(jù)在不依賴色散模型以及參數(shù)假設(shè)的情況下反演光學(xué)參數(shù)。

1 測(cè)量原理與方法

天文目標(biāo)發(fā)出的偏振輻射的偏振狀態(tài)可以用斯托克斯(Stokes)向量表示，即Sin=(IQUV)T，其中，I為入射光總強(qiáng)度；Q為垂直于水平偏振方向的強(qiáng)度參數(shù)；U為±45°偏振方向的強(qiáng)度參數(shù)；V為圓偏振的強(qiáng)度參數(shù)；上角標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置。經(jīng)過(guò)鏡面反射后的斯托克斯向量表示為Sout=MSin，其中，M為鏡面反射的繆勒矩陣，它的展開(kāi)式為

(1)

其中，矩陣各元素可以分為3類[11]，按照下標(biāo)描述為I→X(X=Q,U,V)表示儀器起偏；X1→X2≠1(X1,2=Q,U,V)表示儀器串?dāng)_；X→X(X=Q,U,V)表示儀器退偏。

當(dāng)入射與出射的斯托克斯向量按如圖1的偏振坐標(biāo)系，即鏡面反射變換的本征坐標(biāo)系定義時(shí)，其中+Q對(duì)應(yīng)光的s分量，金屬鏡面反射的繆勒矩陣可以簡(jiǎn)化為[12]

(2)

其中，ψ和Δ為橢偏參數(shù)?？紤]到金屬反射繆勒矩陣的對(duì)稱性,偏振特性主要由mI→Q,mU→U和mV→U表征。因此，在隨后的討論中，繆勒矩陣僅指以上3個(gè)非0陣元。

我們使用商業(yè)相位調(diào)制橢偏儀(UVISEL-Plus, Horiba)采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，系統(tǒng)光學(xué)結(jié)構(gòu)如圖2。從光源(氙燈)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)一個(gè)起偏器(洛匈棱鏡)后斜入射樣品表面,由于樣品的偏振特性,反射光的偏振發(fā)生改變,經(jīng)過(guò)光彈調(diào)制器(Photoelastic Modulator, PEM)和分析器(洛匈棱鏡)的調(diào)制后由光譜儀探測(cè)，最后得到3個(gè)測(cè)量量(I0,Is,Ic)。這些量的大小取決于基于反射面的起偏器的方位角P、調(diào)制器的方位角M、分析器的方位角A和橢偏參數(shù)(ψ,Δ)，表示為[13]

(3)

圖1 入射光與出射光的偏振坐標(biāo)系

圖2 相位調(diào)制橢偏儀的光學(xué)結(jié)構(gòu)示意圖

數(shù)據(jù)采集單元采集Is和Ic的數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)方法需要通過(guò)Is和Ic求得橢偏參數(shù)，然后把橢偏參數(shù)轉(zhuǎn)化為樣品的特性。此時(shí)求解橢偏參數(shù)需要進(jìn)行反余弦或反正弦函數(shù)操作，其定義域限制在[-1, 1]，由于Is和Ic微小的誤差，計(jì)算過(guò)程中會(huì)超過(guò)定義域，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。為了計(jì)算的準(zhǔn)確性，我們可以直接通過(guò)對(duì)Is和Ic進(jìn)行擬合研究鋁鏡的偏振特性。由(3)式可知，通過(guò)調(diào)整偏振器、調(diào)制器和分析器的方位角，我們可以得到不同的測(cè)量數(shù)據(jù)。對(duì)比(2)式可知，鋁鏡繆勒矩陣的幾個(gè)非實(shí)數(shù)元素可以由兩種調(diào)制下的Is和Ic表示，當(dāng)P=45°，M=0°，A=45°時(shí)，

Is1=sin2ψsinΔ ，

Ic1=sin2ψcosΔ ；

(4a)

當(dāng)P=45°，M=45°，A=90°時(shí)，

Is2=sin2ψsinΔ ，

Ic2=cos2ψ.

(4b)

此時(shí)，我們可以直接測(cè)量繆勒矩陣的元素，相比于傳統(tǒng)橢偏儀對(duì)橢偏參數(shù)的測(cè)量，可以得到反射鏡更多的信息。鋁鏡測(cè)量數(shù)據(jù)用繆勒矩陣表示為

(5)

為了研究鋁鏡的偏振特性，我們需要獲得足夠多的信息，針對(duì)儀器的測(cè)量能力，我們采集鋁反射鏡樣品(PF05-03-G01, THORLABS)在多入射角度(角度范圍50～80°，間隔2°)下的光譜數(shù)據(jù)(波長(zhǎng)范圍400～1 200 nm，間隔25 nm)。圖3顯示了測(cè)量得到的繆勒矩陣關(guān)鍵項(xiàng)(mI→Q，mU→U，mV→U)，高度軸代表元素的大小。由圖3可以看出，這3個(gè)繆勒矩陣元素的光譜隨著入射角的變化有明顯變化。

圖3 測(cè)量得到的繆勒矩陣關(guān)鍵元素Fig.3 The key elements of measured Mueller matrix

2 數(shù)據(jù)分析

與純鋁膜相比，加了氧化硅保護(hù)層鋁鏡的偏振特性變得更加復(fù)雜。圖4給出了理想情況下帶有保護(hù)層鋁膜的分層結(jié)構(gòu),其中，nm為空氣的折射率；nf為氧化硅的折射率；nb為金屬鋁的復(fù)折射率(定義nb=nr-iκ)；θm為光線在空氣中的入射角；θf(wàn)是氧化層內(nèi)的折射角；θb為復(fù)數(shù)，不再有簡(jiǎn)單的折射角意義,但仍然服從斯涅爾(Snell)定律。因此符合圖4的菲涅爾(Fresnel)反射系數(shù)為

(7)

根據(jù)(2)式和(6)式，并結(jié)合橢偏參數(shù)的定義ψeiΔ=rp/rs，我們可以為圖4的結(jié)構(gòu)建立偏振模型

圖4 保護(hù)鋁膜的理想結(jié)構(gòu)模型示意圖

(8)

其中，nm，nr，κ和nf都是λ的函數(shù)。

由(8)式可以得出偏振特性與物理參數(shù)之間的關(guān)系，本文假設(shè)nm=1。特定入射角與特定波長(zhǎng)下的繆勒矩陣關(guān)鍵項(xiàng)mI→Q，mU→U，mV→U與光學(xué)參數(shù)的關(guān)系為

(9)

若使用測(cè)量的繆勒矩陣元素，并利用上述關(guān)系求解光學(xué)參數(shù)，此時(shí)只能建立3個(gè)方程。本文的方法不使用任何文獻(xiàn)值，需要求解4個(gè)參數(shù)，方程個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，無(wú)法求解。多個(gè)入射角數(shù)據(jù)在單層鋁膜時(shí)不能得到更多的信息，而對(duì)于帶氧化層的結(jié)構(gòu)，光在氧化層間多次反射后，不同入射角可以提供額外的信息[14]。因此，我們可以加入更多入射角度的測(cè)量數(shù)據(jù)以增加方程個(gè)數(shù)，每增加一個(gè)入射角度，可以增加3個(gè)方程，理論上只需要兩個(gè)角度就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)光學(xué)參數(shù)的超定,一般使用盡可能多的方程反演光學(xué)參數(shù)。光學(xué)參數(shù)之間存在相關(guān)性，例如df和κ是正相關(guān)[15]，為了限制相關(guān)性的影響，我們同時(shí)擬合多個(gè)波長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，每個(gè)波長(zhǎng)的κ值不同，而df是統(tǒng)一的。在擬合光譜數(shù)據(jù)時(shí)，傳統(tǒng)方法習(xí)慣使用色散模型對(duì)各個(gè)波長(zhǎng)的折射率進(jìn)行約束且只使用單個(gè)入射角的數(shù)據(jù)，擬合效果與反演參數(shù)準(zhǔn)確度高度依賴模型的選取，而且由于自由度的減少與參數(shù)假設(shè)等限制，復(fù)雜的樣品需要建立十分復(fù)雜的結(jié)構(gòu)模型才能進(jìn)行完整的表征。本文基于圖4的雙層膜結(jié)構(gòu)模型，使用多個(gè)入射角的光譜數(shù)據(jù)，同時(shí)擬合多個(gè)波長(zhǎng)點(diǎn)的nr，κ，nf與共同的df，且不使用色散模型，此反演方法自由度更高，能夠?qū)Χ鄠€(gè)入射角的光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行表征。我們使用Levenberg-Marquardt算法[16]解決這個(gè)非線性最小二乘優(yōu)化的問(wèn)題：

(10)

其中，n為鋁鏡繆勒矩陣的個(gè)數(shù)；mI→Q，mU→U和mV→U分別為計(jì)算得到的關(guān)鍵項(xiàng)。

入射角的數(shù)據(jù)越多提供的信息越多,反演未知參數(shù)的精度也越高，因此，我們用上文描述的方法同時(shí)擬合50～80°入射角的光譜數(shù)據(jù)，并使用傳統(tǒng)方法反演結(jié)果作為對(duì)比。在傳統(tǒng)方法中，鋁膜復(fù)折射率使用Drude-Lorentz色散模型，氧化硅使用Lorentz色散模型，然后分別對(duì)入射角60°和70°(入射角選在樣品的贗布儒斯特角附近，測(cè)量數(shù)據(jù)靈敏度高)的ψ與Δ數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

擬合效果由計(jì)算值和原始數(shù)據(jù)殘差與原始數(shù)據(jù)的比值決定，記為相對(duì)殘差，單位為百分比。圖5(a)是兩種方法在60°和70°入射角的相對(duì)殘差，其中實(shí)線代表本文方法的相對(duì)殘差，虛線代表傳統(tǒng)方法的相對(duì)殘差。對(duì)于mI→Q，mU→U和mV→U，本文提出的方法比傳統(tǒng)方法的擬合效果好，尤其是mI→Q元素，傳統(tǒng)方法的相對(duì)殘差在50%左右，而本文方法的相對(duì)殘差幾乎為0。本文方法是對(duì)多個(gè)入射角的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到的擬合結(jié)果符合多入射角的偏振特性，對(duì)于其他角度的相對(duì)殘差也能達(dá)到相同的水平。此外，兩種方法的殘差曲線中同時(shí)出現(xiàn)相對(duì)殘差突然變大的波長(zhǎng)點(diǎn)，這是因?yàn)闃悠吩谶@個(gè)波長(zhǎng)點(diǎn)的偏振特性特別弱，幾乎為0(例如在入射角70°時(shí)，其中一個(gè)突變點(diǎn)725 nm處的儀器起偏特性只有7×10-4)，作為分母求得的相對(duì)誤差會(huì)變得特別大。若不考慮個(gè)別突變點(diǎn)，兩條曲線相比，可以看出本文方法的擬合效果更好。表1顯示了兩種方法反演的氧化層厚度，它們之間只相差0.5 nm左右，兩種方法測(cè)得的厚度基本一致。

表1 本文方法與傳統(tǒng)方法反演的df

圖5 (a)兩種方法在60°和70°入射角時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)的相對(duì)殘差；(b)， (c)和(d)分別為兩種方法反演的nr，κ和nf隨波長(zhǎng)變化的對(duì)比圖

兩種方法擬合的光學(xué)參數(shù)與文獻(xiàn)參考值對(duì)比如圖5(b)， (c)和(d)，其中，實(shí)線是由多個(gè)波長(zhǎng)點(diǎn)的結(jié)果平滑連接而成，虛線是鋁膜復(fù)折射率(來(lái)自文[9])與氧化硅的折射率(來(lái)自文[17])的文獻(xiàn)參考曲線。對(duì)于nr，κ與nf，圖中3條曲線的變化趨勢(shì)基本保持一致，只是本文方法與傳統(tǒng)方法在數(shù)值上略有差別，一是因?yàn)閭鹘y(tǒng)方法使用色散模型不能完全表征反射鏡的偏振特性，忽略了很多影響偏振特性的因素，二是因?yàn)楸疚姆椒紤]了mI→Q的變化特性。尤其是圖5(b)，本文方法與參考曲線在大于1 000 nm波段的差異明顯增大，參考曲線是由傳統(tǒng)方法求得，也是在70°入射角對(duì)鋁膜樣品進(jìn)行的測(cè)量。因此，參考曲線與傳統(tǒng)方法在70°測(cè)量本文的樣品十分相近，但在大于1 000 nm的波段有所差異。對(duì)于傳統(tǒng)方法在入射角60°的結(jié)果，同樣在大于1 000 nm波段與參考曲線有所差異。因此，本文方法與參考曲線的差異可以認(rèn)為是樣品的差異導(dǎo)致。而本文方法與傳統(tǒng)方法曲線之間的差異可以認(rèn)為是不考慮樣品各向異性的前提下，均衡多個(gè)入射角偏振特性的結(jié)果。本文方法的曲線不夠平滑，是因?yàn)楸疚姆椒](méi)有使用色散模型等對(duì)光學(xué)參數(shù)隨波長(zhǎng)的變化趨勢(shì)進(jìn)行約束，只使用共同的氧化膜厚度建立各個(gè)波長(zhǎng)點(diǎn)之間的聯(lián)系，得到的結(jié)果反而能夠真實(shí)反映當(dāng)前波長(zhǎng)點(diǎn)的偏振特性。

3 結(jié) 論

本文首先介紹了對(duì)保護(hù)鋁膜的繆勒矩陣關(guān)鍵元素進(jìn)行直接測(cè)量的原理和方法，然后介紹了在不依賴色散模型以及參數(shù)假設(shè)的情況下反演光學(xué)參數(shù)的方法和結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法反演得到的光學(xué)參數(shù)與傳統(tǒng)方法的結(jié)果一致。相比于傳統(tǒng)方法，該方法獲取了更多的偏振特性信息，且自由度更高，能夠?qū)ζ裉匦?尤其是儀器起偏特性mI→Q)進(jìn)行更好的表征。本文方法的結(jié)果曲線不夠平滑，因?yàn)楸疚姆椒](méi)有使用色散模型等對(duì)光學(xué)參數(shù)隨波長(zhǎng)的變化趨勢(shì)進(jìn)行約束，得到的結(jié)果反而能夠真實(shí)反應(yīng)當(dāng)前波長(zhǎng)點(diǎn)的偏振特性。本文方法是對(duì)多個(gè)入射角的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到的反演結(jié)果符合多入射角的偏振特性，而且基于簡(jiǎn)單的雙層膜結(jié)構(gòu)，更有利于未來(lái)對(duì)未知入射角的偏振特性進(jìn)行預(yù)測(cè)和驗(yàn)證。