孫 紅

(南京工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 江蘇 南京 211167)

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有非局部性,非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程.和整數(shù)階導(dǎo)數(shù)相比,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)能夠更加準(zhǔn)確地描述許多自然界中的現(xiàn)象.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,由分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展起來的分?jǐn)?shù)階微分方程已廣泛應(yīng)用于光學(xué)與熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)識別、控制和機器人及其他應(yīng)用領(lǐng)域[1-3].因此,分?jǐn)?shù)階偏微分方程引起了人們的廣泛關(guān)注,成為一個新的研究領(lǐng)域.

然而僅有少部分分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析解在特定情況下才能得到,而且這些解析解的形式通常比較復(fù)雜,是由一些特殊的函數(shù)給出的,如Wright函數(shù)、Mittag-Leffler函數(shù)等,這些函數(shù)對應(yīng)的級數(shù)收斂較慢,在實際應(yīng)用中非常不方便.因此,求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值解引起了許多學(xué)者的關(guān)注.

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有很多不同的定義,有Caputo導(dǎo)數(shù)、Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)、Rietz導(dǎo)數(shù)等.時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)常用的有Caputo導(dǎo)數(shù)和Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù).在時間均勻網(wǎng)格上,Caputo導(dǎo)數(shù)離散公式常用的有2-α階L1公式、3-α階L1-2公式、3-α階L2-1σ公式、3階離散公式等[4-7];Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)常用的離散公式有2階GL公式和4階GL公式[8-9]等.本文考慮的是時間分?jǐn)?shù)階Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù).

對于時間分?jǐn)?shù)階擴散方程,由于問題的解在初值處存在弱奇異性,在時間均勻網(wǎng)格上解的低正則性會降低數(shù)值解的精度,產(chǎn)生巨大的計算量.為了解決這類現(xiàn)象,文獻(xiàn)[10-14]提出時間非均勻網(wǎng)格上的數(shù)值方法.本文基于文獻(xiàn)[12-13]中的方法,對時間分?jǐn)?shù)階次擴散方程建立時間方向非均勻的緊差分格式.

本文考慮時間分?jǐn)?shù)階擴散方程:

(1)

1 差分格式的建立

(2)

非均勻時間網(wǎng)格上的L1R離散公式的截斷誤差如下.

若時間方向選用分層網(wǎng)格tn=T(n/N)γ,其中γ≥1, 則截斷誤差與正則參數(shù)σ及γ有關(guān),且為O(τmin{1+α,γσ}).

設(shè)u,v∈μh,引入記號:

設(shè)u,v∈μh,定義內(nèi)積和范數(shù):

〈u,v〉A(chǔ)1=〈A1u,v〉,〈u,v〉A(chǔ)2=〈A2u,v〉,

在點(xi,yj,tn-1/2)處考慮方程(1),應(yīng)用L1R離散格式方程(2)有:

(3)

用算子A作用式(3),并由引理3,得:

(i,j)∈ω,1≤n≤N

(4)

略去式(4)中的小量項,由初邊值條件得到差分格式:

(5)

2 差分格式的收斂性

(6)

差分格式(5)的數(shù)值解滿足如下的收斂性結(jié)果.

證明:式(6)兩邊同時與en-1/2作內(nèi)積,得:

〈τnRn-1/2,en-1/2〉, 1≤n≤N

(7)

對式(7)每一項分別進(jìn)行估計.式(7)左端項有

(8)

式(7)右端第一項,有:

(9)

應(yīng)用引理2,式(9)最后一個等號中的兩項分別得到估計:

將上面兩項帶入式(9),得到:

(10)

利用Cauchy-Schwarz不等式以及Young不等式,?ε>0,對于式(7)的右端第二項,有:

〈τnRn-1/2,en-1/2〉≤τn‖Rn-1/2‖·‖en-1/2‖≤

(11)

將式(8)、式(10)和式(11)代入式(7),得:

(12)

引入記號:

(13)

對式(13)關(guān)于n求和,當(dāng)τ<1時,得:

3 數(shù)值實驗

orderτ=log2(E(M,N)/E(M,2N))

空間方向的階定義為:

orderh=log2(E(M,N)/E(2M,N))

首先測試數(shù)值格式時間方向的精度,固定空間網(wǎng)格數(shù)M=216,時間網(wǎng)格數(shù)N為20、40、80、160,表1給出對不同的α、σ、γ數(shù)值格式解的L2模誤差以及時間方向收斂階.由表1可見,差分格式(5)在時間方向的收斂階為min{1+α,γσ},與定理的理論結(jié)果一致.

表1 時間方向的L2模誤差及收斂階

然后測試數(shù)值格式空間方向的精度,固定空間網(wǎng)格數(shù)N=3 000,空間網(wǎng)格數(shù)M取4、8、16、32.表2給出了當(dāng)α=0.6時數(shù)值格式解的L2模誤差以及空間方向收斂階.由表2可見,差分格式(5)在空間方向的收斂階為4,與理論結(jié)果相吻合.

表2 空間方向的L2模誤差及收斂階

4 結(jié)語

本文對時間分?jǐn)?shù)階次擴散方程構(gòu)造時間方向非均勻的差分格式.時間Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)采用在非均勻網(wǎng)格上基于L1R公式離散,空間方向采用四階緊致差分格式.對所構(gòu)造的差分格式的收斂性進(jìn)行了理論證明.數(shù)值算例驗證了所建立的差分格式的精度和有效性.