劉 萍，李玉龍，張安民，趙 巖

（宿遷學(xué)院，江蘇宿遷 223800）

0 引言

羅茨泵是利用2個(gè)相同羅茨轉(zhuǎn)子共軛旋轉(zhuǎn)中所產(chǎn)生的進(jìn)口真空吸力，將流體介質(zhì)輸送到出口的一類容積設(shè)備［1］，隨著其在空天海洋裝備中的逐步運(yùn)用［2］，相應(yīng)的輕量化要求也越來(lái)越高［3-5］。研究表明“泵容積效率≈轉(zhuǎn)子容積利用系數(shù)×（100%－內(nèi)泄漏率）”決定了泵的輕量化程度［6］，其中，容積利用系數(shù)越大和內(nèi)泄漏率越小，容積效率就越高，輕量化程度就越好；容積利用系數(shù)=“轉(zhuǎn)子頂圓柱體積中用于擠出介質(zhì)的部分葉槽容積/轉(zhuǎn)子頂圓柱的體積”≈“1－1/轉(zhuǎn)子形狀系數(shù)的平方”［7］；內(nèi)泄漏率≈徑向泄漏率+軸向泄漏率+共軛泄漏率［6］。因此在轉(zhuǎn)子的輪廓設(shè)計(jì)中，總希望通過(guò)采用最大化的形狀系數(shù)和最小化的內(nèi)泄漏控制措施，以期獲得更高的容積效率和更好的輕量化效果［8-9］。目前，在常見漸開線、擺線、圓弧等轉(zhuǎn)子中，圓弧轉(zhuǎn)子所具有2葉的1.670、3葉的1.477、4葉的1.368為已知最大形狀系數(shù)［6］，能否進(jìn)一步提高該最大形狀系數(shù)呢？為此，擬就所期望的更大形狀系數(shù)和更小內(nèi)泄漏率，提出一種由轉(zhuǎn)子半葉節(jié)圓弧的弦高線（簡(jiǎn)稱為節(jié)弦高）為節(jié)圓內(nèi)共軛輪廓段的特殊構(gòu)造方法，并就其高形化技術(shù)的應(yīng)用展開進(jìn)一步研究。

1 轉(zhuǎn)子形狀系數(shù)對(duì)共軛輪廓段形狀的影響

對(duì)于葉頂葉谷均采用圓弧過(guò)渡的普通轉(zhuǎn)子［10］，其形狀系數(shù)的大小由轉(zhuǎn)子輪廓中的共軛段形狀直接決定，且共軛段由（節(jié)圓）外共軛段和（節(jié)圓）內(nèi)共軛段兩部分組成。以3葉漸開線普通轉(zhuǎn)子的半葉輪廓為例，ε0=1.20，1.35，1.46三種普通轉(zhuǎn)子形狀系數(shù)下的外共軛段12和內(nèi)共軛段23，如圖1所示。其中，ε0=1.46為漸開線普通轉(zhuǎn)子的上限形狀系數(shù)［11］，o為轉(zhuǎn)子中心，頂 op、谷軸 ov分別為轉(zhuǎn)子葉頂部、谷部的對(duì)稱軸，簡(jiǎn)稱為頂軸、谷軸；頂軸、谷軸的平分軸為中軸o2，頂軸與節(jié)圓的交點(diǎn)為頂節(jié)點(diǎn)a，谷軸與節(jié)圓的交點(diǎn)為谷節(jié)點(diǎn)b。

圖1 形狀系數(shù)對(duì)共軛輪廓段形狀的影響Fig.1 Influence of shape coefficient on the shape of conjugate profile segment

由3種普通轉(zhuǎn)子形狀系數(shù)ε0下12+23段曲線的形狀變化，知ε0越大，23段具有逐步貼近半葉節(jié)圓弧ab弦高2d的變化趨勢(shì)，則當(dāng)23段采用該弦高時(shí)，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子稱為節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子，該轉(zhuǎn)子理應(yīng)取得比3葉漸開線普通轉(zhuǎn)子1.46的上限形狀系數(shù)的更大形狀系數(shù)，且節(jié)弦高的平-凸共軛模式較漸開線的凸-凸模式，更利于抑制共軛泄漏［3］。

2 轉(zhuǎn)子共軛輪廓段上的雙對(duì)稱幾何關(guān)系

圖2中，設(shè)點(diǎn)6，7為節(jié)圓上關(guān)于中軸互為對(duì)稱的2個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的圓心角均為（2N），N為轉(zhuǎn)子葉數(shù)，點(diǎn)6，7在段12，23上的法向垂足為輪廓點(diǎn)4，5。

圖2 共軛輪廓段間的雙對(duì)稱幾何關(guān)系Fig.2 Double symmetric geometric relations between conjugate profile segments

由兩相同轉(zhuǎn)子間的共軛原理［10］，知輪廓線46，57具有相同的瞬徑ρ（θ），線46與線 6o間、線57與線7o間具有相同的瞬角α（θ），即點(diǎn)6，7為點(diǎn)4，5的共軛瞬心，及線46與線86關(guān)于點(diǎn)6處節(jié)圓切線對(duì)稱、線86與線57關(guān)于中軸對(duì)稱，或者說(shuō)外共軛瞬徑46/外共軛段12與內(nèi)共軛瞬徑57/內(nèi)共軛段23間具有一種互為雙對(duì)稱的幾何關(guān)系。則由其中任一確定的共軛段，透過(guò)彼此間的雙對(duì)稱幾何關(guān)系，能求出另一待定的共軛段。

為此，在圖2示出的xoy坐標(biāo)系下，外共軛段12和內(nèi)共軛段23的規(guī)律曲線方程為：

式中 r ——節(jié)圓半徑。

3 普通轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)及其輪廓構(gòu)造

對(duì)于節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子的輪廓，其內(nèi)共軛段23為確定段，外共軛段12為待求段。由圖3所示節(jié)弦高23的位置關(guān)系，得：

圖3 節(jié)弦高內(nèi)共軛轉(zhuǎn)子的普通輪廓構(gòu)造Fig.3 Ordinary-profile structure of conjugate rotor with chord height of pitch arc as inner conjugate profile segment

并由式（1），得外共軛段12的規(guī)律曲線方程為：

其次，由θ=φ，得節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)ε0為：

最后，將式（2）所給出的 ρ/r和式（4）所給出的ε0代入下式（容積利用系數(shù)式）［7］：

得節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)λ0為：

3葉節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子副的3D模型及其相關(guān)幾何量的測(cè)量，如圖4所示。其中，3D模型由UGNX軟件依據(jù)式（1）（2）繪制，節(jié)圓半徑取為r=100 mm，由3D模型測(cè)量出的葉頂半徑為ra=150 mm，轉(zhuǎn)子端面的面積為A=34 133.440 3 mm2且轉(zhuǎn)子副無(wú)嚙合余隙。

圖4 3葉節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子副及其測(cè)量Fig.4 3-lobe ordinary-profile rotor pairs with chord height of pitch arc as inner conjugate profile segment and area measurement

3葉節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子的驗(yàn)證形狀系數(shù)為ra/r=150/100=1.5，與式（4）給出的理論形狀系數(shù)完全一致，且由驗(yàn)證容積利用系數(shù)計(jì)算式（式（7））計(jì)算結(jié)果與式（6）給出的理論容積利用系數(shù)完全一致，說(shuō)明節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子的ε0式（4）和λ0式（6）正確。

與具有已知最大上限形狀系數(shù)和上限容積利用系數(shù)的圓弧普通轉(zhuǎn)子［11］（式（8））相比，2，3，4葉節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)提高了2.23%，1.56%和1.07%，容積利用系數(shù)提高了2.29%，2.70%和2.55%，且加工相對(duì)簡(jiǎn)單。

4 高形轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)及其輪廓構(gòu)造

為充分控制節(jié)弦高內(nèi)共軛普通轉(zhuǎn)子的葉頂徑向泄漏和緩解排氣側(cè)壓縮反沖現(xiàn)象對(duì)該徑向泄漏的影響［12］，可采用如圖5所示的節(jié)弦高內(nèi)共軛高形構(gòu)造［13］。其中，頂mp、谷nv圓弧的圓心均為轉(zhuǎn)子中心o，半徑分別為rε、（2－ε）r，圓心角均為頂封角γ，ε為高形轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)，即ε=mo的連線長(zhǎng)度lmo/節(jié)圓半徑r。

圖5 節(jié)弦高內(nèi)共軛轉(zhuǎn)子的高形輪廓構(gòu)造Fig.5 Tall-profile structure of conjugate rotor with chord height of pitch arc as inner conjugate profile segment

由于頂圓弧mp與泵殼腔內(nèi)圓弧面具有轉(zhuǎn)子中心o的共同圓心，所以葉頂間隙為徑向等縫隙，較普通轉(zhuǎn)子的徑向凸-凹縫隙，能有效降低徑向泄漏。

圖5中，取對(duì)應(yīng)于β＞φ的節(jié)圓點(diǎn)9，則三角形△mo9中的角∠mo9=β－φ＋γ，由前述雙對(duì)稱幾何關(guān)系知邊長(zhǎng)m9的長(zhǎng)度lm9為點(diǎn)3，9的連線長(zhǎng)度l39，角∠m9o=π－∠39o；三角形△3o9中的邊長(zhǎng)o3的長(zhǎng)度lo3=rcosφ。

在三角形△3o9中，由三角形幾何關(guān)系，得：

在三角形△mo9中，由三角形幾何關(guān)系，lm9=l39，∠m9o=π －∠39o 及l(fā)o3=rcosφ，得mo的連線長(zhǎng)度lmo為：

則節(jié)弦高內(nèi)共軛高形轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)ε為：

及節(jié)弦高內(nèi)共軛高形轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)λ為：

由m9的長(zhǎng)度lm9=l39，角∠m9o=π －∠39o，及三角形△mo9中的：

得節(jié)弦高內(nèi)共軛高形轉(zhuǎn)子的頂封角γ為：

N=3下ε（β）、γ（β）、λ（β）的變化規(guī)律，見表1。以3葉β=50.8°的節(jié)弦高內(nèi)共軛高形轉(zhuǎn)子為例，此時(shí)ε=1.60、λ=0.57，針對(duì)其普通轉(zhuǎn)子的ε0=1.50、λ0=0.517 1，ε提高了 6.67%，λ提高了10.03%。針對(duì)與具有已知最大上限形狀系數(shù)1.477和上限容積利用系數(shù)0.503 5的圓弧普通轉(zhuǎn)子，ε提高了8.33%，λ提高了13.21%。

表1 3葉高形轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)和頂封角及容積利用系數(shù)Tab.1 Shape coefficient, top sealing angle and volume utilization coefficient of 3-lobe tall-profile rotor

當(dāng)θ位于［φ，β］區(qū)間內(nèi)時(shí)，采用雙對(duì)稱構(gòu)造方法，得與點(diǎn)3共軛的（節(jié)圓）外輪廓段1 m的規(guī)律曲線方程為：

式中 ρ（θ）——圖5中線段36的長(zhǎng)度；

α（θ）——線段36與線段6o的夾角。

當(dāng)θ位于［φ－γ，β］區(qū)間內(nèi)時(shí)，采用雙對(duì)稱構(gòu)造方法，得與點(diǎn)m共軛的（節(jié)圓）內(nèi)輪廓段3n的規(guī)律曲線方程為：

式中 l（θ）——圖5中線段6m的長(zhǎng)度；

τ（θ）——圖5中線段6m與線段6o的夾角。

3葉節(jié)弦高內(nèi)共軛高形轉(zhuǎn)子副的3D模型及其相關(guān)幾何量的測(cè)量，如圖6所示。其中，β取50.80°，節(jié)圓半徑r=100 mm，由3D模型測(cè)量出的的葉頂半徑ra=160 mm，頂封角γ=4°，轉(zhuǎn)子端面面積A=33 255.964 2 mm2，半葉余隙面積 185.547 5 mm2。則，全葉余隙面積為S=1 113.285 mm2，3葉節(jié)弦高內(nèi)共軛轉(zhuǎn)子的高形驗(yàn)證形狀系數(shù)為ra/r=160/100=1.6，且由其高形驗(yàn)證容積利用系數(shù)計(jì)算式（式（7））所得結(jié)果及頂封角均與表1給出的對(duì)應(yīng)理論值完全一致，說(shuō)明節(jié)弦高內(nèi)共軛高形轉(zhuǎn)子的式（11）、式（12）、式（14）及輪廓構(gòu)造式（15）（16）正確。

圖6 3葉節(jié)弦高內(nèi)共軛高形轉(zhuǎn)子副及其面積測(cè)量Fig.6 3-lobe tall-profile rotor pairs with chord height of pitch arc as inner conjugate profile segment and area measurement

5 普通轉(zhuǎn)子與高形轉(zhuǎn)子的優(yōu)劣比較

從泵輕量化效果所涉及的形狀系數(shù)和內(nèi)泄漏看，高形轉(zhuǎn)子因徑向泄漏率小于、形狀系數(shù)大于普通轉(zhuǎn)子，故高形轉(zhuǎn)子更利于取得最大化的形狀系數(shù)和最小化的徑向泄漏。同時(shí)，高形轉(zhuǎn)子副在不同的旋轉(zhuǎn)區(qū)間內(nèi)，將會(huì)出現(xiàn)不同的共軛/密封點(diǎn)位。設(shè)ω為旋轉(zhuǎn)角，則0≤ω＜γ內(nèi)將有5個(gè)，ω=γ有4個(gè)，γ≤ω＜β-φ有3個(gè)（如圖7所示），ω=β-φ有2個(gè)，β-φ≤ω＜φ內(nèi)有1個(gè)的不同共軛/密封點(diǎn)位數(shù)。

圖7 高形轉(zhuǎn)子副不同區(qū)間內(nèi)的密封點(diǎn)位數(shù)Fig.7 Number of sealing points in different rotating intervals of tall-profile rotor pairs

以 3葉 β=50.8°為例，相對(duì)于 0＜ ω ＜φ內(nèi)僅有1個(gè)共軛/密封點(diǎn)位的普通轉(zhuǎn)子副，多點(diǎn)位共軛/密封區(qū)間占比 β/φ-1=69.33%，因此共軛泄漏更小。

由于羅茨轉(zhuǎn)子泵多為非高速流體介質(zhì)，轉(zhuǎn)子間也存在較大非接觸間隙，所以共軛區(qū)多點(diǎn)位共軛/密封不會(huì)形成類似齒輪泵的困油現(xiàn)象，或者這種現(xiàn)象很輕微。

但高形轉(zhuǎn)子副存在一定的余隙空間，其內(nèi)的高壓出口介質(zhì)會(huì)隨著轉(zhuǎn)子副的旋轉(zhuǎn)而回流到泵的低壓進(jìn)口腔，從而影響到象羅茨真空泵進(jìn)口腔內(nèi)介質(zhì)的真空度質(zhì)量，故羅茨真空泵不建議使用高形轉(zhuǎn)子副。

6 結(jié)論

（1）內(nèi)共軛輪廓段采用節(jié)弦高的普通轉(zhuǎn)子，具有比圓弧轉(zhuǎn)子更大的形狀系數(shù)和容積利用系數(shù)。

（2）內(nèi)共軛輪廓段采用節(jié)弦高的高形轉(zhuǎn)子，將進(jìn)一步獲得更大的形狀系數(shù)和容積利用系數(shù)。

（3）高形轉(zhuǎn)子副的2～5個(gè)多共軛/密封的點(diǎn)位數(shù)及高達(dá)69.33%區(qū)間占比，加上平-凸共軛模式的自身優(yōu)勢(shì)，使共軛泄漏最小化，徑向等縫隙密封使徑向泄漏最小化。