相似三角形中的求值問題

摘 要：在一些相關(guān)平面幾何中的求值問題中，經(jīng)常借助相似三角形的構(gòu)造、判定與性質(zhì)等的應(yīng)用，合理轉(zhuǎn)化，直觀形象，能有效解決計數(shù)、線段、比值、面積以及綜合應(yīng)用等相關(guān)問題的求值，展示相似三角形的效能，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

關(guān)鍵詞：相似三角形;三角形;計數(shù);線段;比值;面積

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）05-0038-03

收稿日期：2021-11-15

作者簡介：王東東（1981.12-），男，山東省新泰人，本科，中學(xué)高級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

相似三角形是在初中平面幾何中一個非常重要的內(nèi)容，包括相似三角形的定義、判定、性質(zhì)等，涉及特殊的直角三角形相似的判定及直角三角形的射影定理，是平面幾何的重要知識點(diǎn)與考點(diǎn)之一.在破解一些相關(guān)的平面幾何求解問題中，巧妙借助相似三角形的相關(guān)知識來處理，經(jīng)?？梢院侠磙D(zhuǎn)化，化難為易，出奇制勝.下面就結(jié)合幾類常見的相似三角形中的求值問題，緒如計數(shù)、長度、比值、面積以及綜合應(yīng)用等相關(guān)的求值加以實(shí)例剖析.

1 計數(shù)問題

例1 如圖所示，在△ABC中，ED∥AB，F(xiàn)G∥AC，PH∥BC，相應(yīng)的交點(diǎn)分別為A1、B1、C1，則圖中與△ABC相似的三角形的個數(shù)為_________個.

分析 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，要判斷圖中與△ABC相似的三角形，可以從平行的條件出發(fā)，找到對應(yīng)的角相等，從而得以確定兩三角形相似.

解析 由于PH∥BC，那么∠APH=∠B，而∠A是公共角，則△APH∽△ABC，同理可以判斷△BGF∽△ABC，△CED∽△ABC，進(jìn)一步，F(xiàn)G∥AC，那么∠PFC1=∠A，又∠FPC1=∠B，△FPC1∽△ABC，同理可以判斷△DGA1∽△ABC，△HEB1∽△ABC，而ED∥AB，那么∠FPC1=∠A1B1C1，而∠FPC1=∠B，則∠A1B1C1=∠B，同理可得∠A1C1B1=∠C，則△A1B1C1∽△ABC，所以圖中與△ABC相似的三角形的個數(shù)共有7個，故填答案：7.

點(diǎn)評 三角形相似的判定關(guān)鍵是結(jié)合三角形相似的性質(zhì)加以分析，在求解三角形相似的問題的過程中，往往是在熟練掌握相應(yīng)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合直觀圖形加以正確分析.

2 長度問題

例2 如圖，正方形ABCD的邊長是2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端在CD、AD上滑動，當(dāng)DM=_________時，△ABE與△DMN相似.

分析 因?yàn)閮蓚€三角形都是直角三角形，故它們相似當(dāng)且僅當(dāng)兩直角邊之比相等，據(jù)此可列一個方程，再結(jié)合MN=1列方程組，解此方程組得DM的值.

解析 要使△ABE∽△DMN，而這兩個三角形都是直角三角形，依題意，可得DM2+DN2=1DMDN=ABBE=2或DM2+DN2=1DMDN=BEAB=12，解得DM=55或255，

故填答案：55或255.

點(diǎn)評 本題是探求兩個三角形相似的條件問題，實(shí)質(zhì)是以三角形相似為條件，求線段長度問題，關(guān)鍵是找到相應(yīng)的比值并結(jié)合相關(guān)條件加以求解.特別在實(shí)際求解時，要考慮全面.比如本例中就容易忽視其中的一種情形.

3 比值問題

例3 如圖3所示，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC=2OC，則ACAD=

_________.

分析 通過作出輔助線OD，根據(jù)兩直角三角形△ADO與△ACB相似來建立關(guān)系式，結(jié)合題目條件來證明對應(yīng)的等式成立.

證明：連接OD，因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，

所以∠ADO=∠ACB=90°，

又因?yàn)椤螦=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，

所以BCOD=ACAD，

又BC=2OC=2OD，故AC=2AD，

即ACAD=2，

故填答案：2.

點(diǎn)評 結(jié)合輔助線的構(gòu)造，利用直角三角形的相似以及相關(guān)條件加以確定相關(guān)的求值問題.對于平面幾何中的求值問題，關(guān)鍵是正確通過相關(guān)的輔助線引入，加以相應(yīng)條件的變換與轉(zhuǎn)移，從而達(dá)到求值的目的.

4 面積問題

例4 如圖所示，在四邊形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC=1，S△ADE=3，則S△CDE的值為_________.

分析 根據(jù)平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化三角形的面積比為對應(yīng)的線段比，結(jié)合平行線所確定的角的關(guān)系證明△BEC∽△EAD，結(jié)合比例性質(zhì)轉(zhuǎn)化為面積之間的比值即可求解S△CDE的值.

解析 由于EC∥AD，

可得S△DCE∶S△ADE=EC∶AD，

而DE∥BC，則有S△BCE∶S△CDE=BC∶ED，

又因?yàn)椤螮CB=∠DEC=∠ADE，∠BEC=∠EAD，

所以△BEC∽△EAD，

可得EC∶AD=BC∶ED，

即S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE，

解得S△CDE=3，故填答案：3.

點(diǎn)評 通過平行線的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形中的對應(yīng)邊的比例關(guān)系與相應(yīng)的三角形的面積的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用來分析與處理問題.

5 綜合應(yīng)用問題

例5 如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是BC上的點(diǎn)，EF⊥AE交CD于F.試猜想：點(diǎn)E在什么位置時，△ADF的面積最小？最小面積是多少？并證明你的結(jié)論.

分析 要猜想對應(yīng)點(diǎn)的位置，關(guān)鍵是結(jié)合相應(yīng)的幾何圖形與關(guān)系式加以分析判斷，巧妙引入未知數(shù)，通過建立有關(guān)面積的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的最值問題來判斷對應(yīng)的幾何問題.

解析 當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時，△ADF的面積最小，最小面積是6.

下面證明以上猜想的結(jié)論：

設(shè)BE=x，那么EC=4-x

由于四邊形ABCD是正方形，∠AEF=90°，

則△ABE∽△ECF，可得ABEC=BEFC，

即44-x=xFC，則FC=x-14x2，

可得DF=DC-FC=4-（x-14x2）=4-x+14x2

所以S△ADF=12AD·DF

=12×4（4-x+14x2）

=12x2-2x+8

=12（x-2）2+6，

故當(dāng)x=2時，即E是BC的中點(diǎn)時，△ADF的面積最小，最小面積是6.

點(diǎn)評 在平面幾何問題中，往往可以有機(jī)地結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)等相關(guān)問題，利用函數(shù)等相關(guān)問題的性質(zhì)來處理與解決對應(yīng)的平面幾何問題，這是一種非常巧妙與有效的辦法.關(guān)鍵是正確加以平面幾何問題的代數(shù)化，并加以正確的分析與判斷.

相似三角形及其應(yīng)用是在初中平面幾何的基礎(chǔ)知識上的進(jìn)一步拓展與提升，特別在一些平面幾何的求值問題中，合理借助輔助線與相似三角形的構(gòu)造，通過對應(yīng)的定義、判定、性質(zhì)等一系列的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、圖形直觀能力與創(chuàng)造思維能力，成為歷年中考數(shù)學(xué)命題中的一大熱點(diǎn)問題，要引起高度重視.

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[責(zé)任編輯：李 璟]