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      相似三角形中的求值問題

      2022-03-27 10:27:12王東東
      關(guān)鍵詞:相似三角形比值線段

      摘 要:在一些相關(guān)平面幾何中的求值問題中,經(jīng)常借助相似三角形的構(gòu)造、判定與性質(zhì)等的應(yīng)用,合理轉(zhuǎn)化,直觀形象,能有效解決計數(shù)、線段、比值、面積以及綜合應(yīng)用等相關(guān)問題的求值,展示相似三角形的效能,引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

      關(guān)鍵詞:相似三角形;三角形;計數(shù);線段;比值;面積

      中圖分類號:G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A?? 文章編號:1008-0333(2022)05-0038-03

      收稿日期:2021-11-15

      作者簡介:王東東(1981.12-),男,山東省新泰人,本科,中學(xué)高級教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

      相似三角形是在初中平面幾何中一個非常重要的內(nèi)容,包括相似三角形的定義、判定、性質(zhì)等,涉及特殊的直角三角形相似的判定及直角三角形的射影定理,是平面幾何的重要知識點(diǎn)與考點(diǎn)之一.在破解一些相關(guān)的平面幾何求解問題中,巧妙借助相似三角形的相關(guān)知識來處理,經(jīng)??梢院侠磙D(zhuǎn)化,化難為易,出奇制勝.下面就結(jié)合幾類常見的相似三角形中的求值問題,緒如計數(shù)、長度、比值、面積以及綜合應(yīng)用等相關(guān)的求值加以實(shí)例剖析.

      1 計數(shù)問題

      例1 如圖所示,在△ABC中,ED∥AB,F(xiàn)G∥AC,PH∥BC,相應(yīng)的交點(diǎn)分別為A1、B1、C1,則圖中與△ABC相似的三角形的個數(shù)為_________個.

      分析 根據(jù)相似三角形的性質(zhì),要判斷圖中與△ABC相似的三角形,可以從平行的條件出發(fā),找到對應(yīng)的角相等,從而得以確定兩三角形相似.

      解析 由于PH∥BC,那么∠APH=∠B,而∠A是公共角,則△APH∽△ABC,同理可以判斷△BGF∽△ABC,△CED∽△ABC,進(jìn)一步,F(xiàn)G∥AC,那么∠PFC1=∠A,又∠FPC1=∠B,△FPC1∽△ABC,同理可以判斷△DGA1∽△ABC,△HEB1∽△ABC,而ED∥AB,那么∠FPC1=∠A1B1C1,而∠FPC1=∠B,則∠A1B1C1=∠B,同理可得∠A1C1B1=∠C,則△A1B1C1∽△ABC,所以圖中與△ABC相似的三角形的個數(shù)共有7個,故填答案:7.

      點(diǎn)評 三角形相似的判定關(guān)鍵是結(jié)合三角形相似的性質(zhì)加以分析,在求解三角形相似的問題的過程中,往往是在熟練掌握相應(yīng)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,結(jié)合直觀圖形加以正確分析.

      2 長度問題

      例2 如圖,正方形ABCD的邊長是2,BE=CE,MN=1,線段MN的兩端在CD、AD上滑動,當(dāng)DM=_________時,△ABE與△DMN相似.

      分析 因?yàn)閮蓚€三角形都是直角三角形,故它們相似當(dāng)且僅當(dāng)兩直角邊之比相等,據(jù)此可列一個方程,再結(jié)合MN=1列方程組,解此方程組得DM的值.

      解析 要使△ABE∽△DMN,而這兩個三角形都是直角三角形,依題意,可得DM2+DN2=1DMDN=ABBE=2或DM2+DN2=1DMDN=BEAB=12,解得DM=55或255,

      故填答案:55或255.

      點(diǎn)評 本題是探求兩個三角形相似的條件問題,實(shí)質(zhì)是以三角形相似為條件,求線段長度問題,關(guān)鍵是找到相應(yīng)的比值并結(jié)合相關(guān)條件加以求解.特別在實(shí)際求解時,要考慮全面.比如本例中就容易忽視其中的一種情形.

      3 比值問題

      例3 如圖3所示,AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D,C,AC經(jīng)過圓心O,且BC=2OC,則ACAD=

      _________.

      分析 通過作出輔助線OD,根據(jù)兩直角三角形△ADO與△ACB相似來建立關(guān)系式,結(jié)合題目條件來證明對應(yīng)的等式成立.

      證明:連接OD,因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D,C,

      所以∠ADO=∠ACB=90°,

      又因?yàn)椤螦=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB,

      所以BCOD=ACAD,

      又BC=2OC=2OD,故AC=2AD,

      即ACAD=2,

      故填答案:2.

      點(diǎn)評 結(jié)合輔助線的構(gòu)造,利用直角三角形的相似以及相關(guān)條件加以確定相關(guān)的求值問題.對于平面幾何中的求值問題,關(guān)鍵是正確通過相關(guān)的輔助線引入,加以相應(yīng)條件的變換與轉(zhuǎn)移,從而達(dá)到求值的目的.

      4 面積問題

      例4 如圖所示,在四邊形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),EC∥AD,DE∥BC,若S△BEC=1,S△ADE=3,則S△CDE的值為_________.

      分析 根據(jù)平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化三角形的面積比為對應(yīng)的線段比,結(jié)合平行線所確定的角的關(guān)系證明△BEC∽△EAD,結(jié)合比例性質(zhì)轉(zhuǎn)化為面積之間的比值即可求解S△CDE的值.

      解析 由于EC∥AD,

      可得S△DCE∶S△ADE=EC∶AD,

      而DE∥BC,則有S△BCE∶S△CDE=BC∶ED,

      又因?yàn)椤螮CB=∠DEC=∠ADE,∠BEC=∠EAD,

      所以△BEC∽△EAD,

      可得EC∶AD=BC∶ED,

      即S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE,

      解得S△CDE=3,故填答案:3.

      點(diǎn)評 通過平行線的性質(zhì),結(jié)合相似三角形中的對應(yīng)邊的比例關(guān)系與相應(yīng)的三角形的面積的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用來分析與處理問題.

      5 綜合應(yīng)用問題

      例5 如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,E是BC上的點(diǎn),EF⊥AE交CD于F.試猜想:點(diǎn)E在什么位置時,△ADF的面積最小?最小面積是多少?并證明你的結(jié)論.

      分析 要猜想對應(yīng)點(diǎn)的位置,關(guān)鍵是結(jié)合相應(yīng)的幾何圖形與關(guān)系式加以分析判斷,巧妙引入未知數(shù),通過建立有關(guān)面積的函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)的最值問題來判斷對應(yīng)的幾何問題.

      解析 當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時,△ADF的面積最小,最小面積是6.

      下面證明以上猜想的結(jié)論:

      設(shè)BE=x,那么EC=4-x

      由于四邊形ABCD是正方形,∠AEF=90°,

      則△ABE∽△ECF,可得ABEC=BEFC,

      即44-x=xFC,則FC=x-14x2,

      可得DF=DC-FC=4-(x-14x2)=4-x+14x2

      所以S△ADF=12AD·DF

      =12×4(4-x+14x2)

      =12x2-2x+8

      =12(x-2)2+6,

      故當(dāng)x=2時,即E是BC的中點(diǎn)時,△ADF的面積最小,最小面積是6.

      點(diǎn)評 在平面幾何問題中,往往可以有機(jī)地結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)等相關(guān)問題,利用函數(shù)等相關(guān)問題的性質(zhì)來處理與解決對應(yīng)的平面幾何問題,這是一種非常巧妙與有效的辦法.關(guān)鍵是正確加以平面幾何問題的代數(shù)化,并加以正確的分析與判斷.

      相似三角形及其應(yīng)用是在初中平面幾何的基礎(chǔ)知識上的進(jìn)一步拓展與提升,特別在一些平面幾何的求值問題中,合理借助輔助線與相似三角形的構(gòu)造,通過對應(yīng)的定義、判定、性質(zhì)等一系列的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、圖形直觀能力與創(chuàng)造思維能力,成為歷年中考數(shù)學(xué)命題中的一大熱點(diǎn)問題,要引起高度重視.

      參考文獻(xiàn):

      [1] 田傳弟.妙用拼圖法求tan15°的值[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2020(01):12-14.

      [2] 王鋒.平行“牽”相似求值如添“翼”[J].中學(xué)生數(shù)理化(初中版·中考版),2020(Z1):9-11.

      [3] 鄭泉水.構(gòu)造相似三角形解中考題一例[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(初中版),2016(03):10+12.

      [責(zé)任編輯:李 璟]

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