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文章編號：10069798（2022）02000707;DOI：10.13306/j.10069798.2022.02.002

摘要：為解決Volterra級數(shù)的非線性均衡器（volterraseriesnonlinearpost-distortionequalizer，VS-NPE）內(nèi)核數(shù)量大、計算困難等問題，本研究采用壓縮感知重構(gòu)算法中的正交匹配追蹤算法（orthogonalmatchingpursuit，OMP）和改進的近似消息傳遞算法（approximatemessagepassing，AMP）計算VS-NPE內(nèi)核參數(shù)。改進的AMP算法應(yīng)用時，需對VS-NPE測量矩陣歸一化處理，然后將AMP算法迭代過程引入阻尼因子和穩(wěn)固閾值函數(shù)，進而提高模型構(gòu)建精度。仿真結(jié)果表明，在訓練樣本長度較小時，OMP算法和改進的AMP算法仍擁有較高的重構(gòu)精度，且OMP算法計算的模型內(nèi)核數(shù)量減少65%，有效降低模型復雜度。另外，基于上述兩個算法的VS-NPE在歸一化功率譜和誤碼率（biterrorratio，BER）性能上展現(xiàn)了良好的失真補償性，證明了所提方案的有效性和可行性。該研究有助于構(gòu)建強健的VS-NPE模型，顯著緩解可見光通信系統(tǒng)信道非線性失真。

關(guān)鍵詞：可見光通信;非線性均衡器;壓縮感知;正交匹配追蹤

中圖分類號：TN911.22;TN92;TP391.9文獻標識碼：A

可見光通信（visiblelightcommunication，VLC）是一種新型的信息傳輸方式，緩解了傳統(tǒng)無線通信系統(tǒng)頻譜資源緊缺的問題。但VLC系統(tǒng)具有嚴重的非線性失真，其最關(guān)鍵的因素是LED非線性特性。近年來，有學者提出預失真補償技術(shù)和后失真補償技術(shù)，其中基于后失真補償技術(shù)的非線性均衡器因其優(yōu)勢明顯而被廣泛應(yīng)用[13]。均衡器是根據(jù)VLC強度調(diào)制直接檢測（intensitymodulationdirectdetection，IM/DD）的逆特性構(gòu)造非線性模型，將其放置在接收端，對IM/DD信道進行非線性補償。沃爾特拉級數(shù)（volterraseries，VS）在建模動態(tài)非線性系統(tǒng)方面的優(yōu)勢，常被用作均衡器行為模型的基本函數(shù)[25]。基于VS的非線性后失真均衡器（VS-nonlinearpost-distortionequalizer，VS-NPE）建模的關(guān)鍵是其內(nèi)核參數(shù)的提取，而VSNPE內(nèi)核個數(shù)隨著非線性階數(shù)和記憶深度呈指數(shù)增長，增加了內(nèi)核參數(shù)計算難度。因此，降低計算復雜度，提高計算精度成為VS內(nèi)核參數(shù)提取的關(guān)鍵問題。常用的內(nèi)核計算方法包括最小二乘（leastsquares，LS）[1]、遞歸最小二乘（recursiveleastsquares，RLS）[2]、卡爾曼（Kalman）濾波[4]和壓縮感知（compressedsensing，CS）[67]等，其中LS雖結(jié)構(gòu)簡單，但在進行參數(shù)更新時需反復進行耗時較多的矩陣求逆運算。相比之下，RLS收斂性較好，但其復雜度較高[2];Kalman濾波具有良好的穩(wěn)定性，但是算法中的噪聲和測量噪聲對參數(shù)估計影響較大[4]。CS是一種有效的稀疏重構(gòu)方案[67]，可實現(xiàn)在信號采樣的同時完成壓縮，并利用較少的采樣值對信號進行重建，實現(xiàn)了低復雜度的壓縮編碼。重構(gòu)算法是CS的核心，常見的重構(gòu)算法有正交匹配追蹤（orthogonalmatchingpursuit，OMP）[8]、近似消息傳遞（approximatemessagepassing，AMP）[9]和基本追蹤（basicpursuit，BP）[6]等。CS的可行性要求重構(gòu)信號在變換域中是稀疏的或本身是稀疏的，且測量矩陣應(yīng)滿足有限等距性質(zhì)（restrictedisometryproperty，RIP）的條件。VS的內(nèi)核參數(shù)滿足稀疏性且測量矩陣滿足RIP條件。基于此，本研究利用OMP和AMP算法計算VS-NPE內(nèi)核參數(shù)，仿真分析其內(nèi)核計算能力，評估VS-NPE模型[1011]對VLC系統(tǒng)失真補償性能，為緩解VLC系統(tǒng)非線性失真提供了一種基于壓縮感知的VS-NPE方案。該研究具有一定的可行性和有效性。

1系統(tǒng)模型

1.1OFDM調(diào)制

正交頻分復用（orthogonalfrequencydivisionmultiplexing，OFDM）調(diào)制技術(shù)由于其傳輸速率高且抗碼間干擾強的優(yōu)勢，多被用于VLC系統(tǒng)中。該系統(tǒng)使用IM/DD方法傳輸單極性實信號，傳統(tǒng)的OFDM需限制輸入信號的頻譜，使其滿足Hermitian共軛對稱，進而輸出單極性實信號。目前實現(xiàn)上述目標的方法有直流偏置正交頻分復用（DC-biasedopticalorthogonalfrequencydivisionmultiplexing，DCO-OFDM）調(diào)制技術(shù)[12]和非對稱限幅（asymmetricallyclippedopticalorthogonalfrequencydivisionmultiplexing，ACO-OFDM）調(diào)制技術(shù)，本研究采用DCO-OFDM調(diào)制技術(shù)對VLC系統(tǒng)進行建模。

1.2IM/DD信道

IM/DD是收發(fā)兩端采用LED和光電二極管（photodiode，PD）分別完成電光轉(zhuǎn)換、光電轉(zhuǎn)換的通信系統(tǒng)?；贗M/DD信道的VLC系統(tǒng)如圖1所示。圖1中，發(fā)送端將信號源映射到子載波，雙極性信號通過添加直流偏置而轉(zhuǎn)換為單極信號，并驅(qū)動LED調(diào)制得到光信號，在自由空間傳播鏈接之后，光信號由PD捕獲并轉(zhuǎn)換為電信號。因此，IM/DD信道建模應(yīng)同時考慮LED、光信道和PD。

LED常表現(xiàn)出非線性記憶效應(yīng)[1314]，因此，本研究借助Wiener模型對LED建模，該模型包括線性時不變（lineartimeinvariant，LTI）模塊和非線性（nonlinear，NL）模塊[15]。LTI模塊可表示為

其中，n為函數(shù)變量;fc為截止頻率，fc=20MHz。NL模塊建模為

實際的LED具有單向?qū)щ娦院头蔷€性。因此，建模后的LED應(yīng)設(shè)置最小開啟電流Imin=0.1A，最大前向電流Imax=1A和直流偏置IDC=0.4A，使LED工作在有效工作區(qū)。

本研究采用IEEE802.11協(xié)議的室內(nèi)可見光多徑信道模型，其信道脈沖響應(yīng)（channelimpulseresponse，CIR）可表示為

其中，Nr是在探測器處接收到的射線數(shù)量;Pn是第n射線的光功率;δt是狄克拉函數(shù);τn是第n射線的傳播時間。將PD視為狄克拉響應(yīng)hPDn=RPDδn，設(shè)RPD=1為響應(yīng)度。

信道噪聲建模是均值為零且方差為σ2e的加性高斯白噪聲（additivewhitegaussiannoise，AWGN），則輸出zn可表示為

其中，f（n）是NL模塊輸出;xn表示DCO-OFDM調(diào)制信號;表示卷積運算;hNr是信道脈沖響應(yīng);en表示信道噪聲。由式（4）可得，zn涉及的LED非線性和色散效應(yīng)將影響隨后的信號解調(diào)。因此，在接收端設(shè)計信號處理模塊對信號zn進行均衡，以補償LED非線性失真及信道損失。

1.3后失真均衡器行為模型

VS模型是可用于非線性系統(tǒng)的通用模型，可以逼近任意非線性函數(shù)。本研究采用VS建立后失真均衡器模型，對應(yīng)的全內(nèi)核VS-NPE輸出[4]可表示為

其中，K是非線性階數(shù);Hk[zn]表示激勵;zn表示VS-NPE的輸入;D是記憶深度;hkc1，…，ck是VS內(nèi)核;Ωkn=∏ki=1zn-ci是對應(yīng)的回歸量;en是測量噪聲。由于VS的輸出與內(nèi)核系數(shù)是線性關(guān)系，可將式（5）重寫為矩陣形式，即

其中，x是輸出信號的連續(xù)采樣向量;Z是VS測量矩陣;h是VS模型內(nèi)核列向量;e是測量噪聲向量。由式（6）可知，構(gòu)建后失真均衡器模型的關(guān)鍵是內(nèi)核向量h的估計。

本研究訓練VS-NPE模型時，將IM/DD信道模型中的xn和zn作為訓練樣本，利用一些信號處理算法獲得VS-NPE的內(nèi)核系數(shù)，進而得到估計值n，以min‖xn-n‖2=min‖en‖2為優(yōu)化目標來評估參數(shù)計算方法的優(yōu)劣。

2基于壓縮感知的VS-NPE參數(shù)計算

2.1OMP算法

壓縮感知是一種稀疏信號重構(gòu)方法，即從y∈RN測量結(jié)果中恢復稀疏信號h∈RM。其測量模型為

式中，A∈RN×M表示傳感矩陣;n是噪聲。壓縮感知理論的關(guān)鍵是通過解決優(yōu)化問題實現(xiàn)重構(gòu)，重構(gòu)信號為

其中，是重構(gòu)信號;‖h‖1是h的l1范數(shù);ε是信號重構(gòu)的上限誤差。

OMP是CS的重構(gòu)算法之一，可用于解決式（8）的優(yōu)化問題。OMP算法在匹配追蹤算法的原子選擇策略基礎(chǔ)上正交化所有選定的原子，然后使用LS更新所選原子的線性組合系數(shù)，每次迭代都會更新所選原子集[16]。該算法從查找矩陣A和y最相關(guān)的行開始，反復查找信號的殘差值。與殘差rt的相關(guān)性由下式進行選擇，即

其中，pt是索引項;i是原子下標;S是所選系數(shù)集;（·）H是對矩陣做共軛轉(zhuǎn)置;A為傳感矩陣;rt是迭代t次的殘差值。將所選索引合并到所選系數(shù)S=S∪pt的集合中，再利用LS計算重構(gòu)信號，即

其中，y是測量值。每次迭代的殘差重新計算作為原子選擇的新標準。

2.2AMP算法

AMP[9]算法是解決式（8）優(yōu)化問題的一種有效方法。該算法從0=0，0=y迭代開始，在迭代t次時，AMP算法可表示為

其中，y是測量值;A是傳感矩陣;t∈RM是h迭代t次時的當前估計;rt-1是迭代t-1次時的殘差;‖t‖0是當前估計t中的非零個數(shù);N表示矩陣A的行數(shù);η·;·是軟閾值函數(shù);AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置;θ是閾值參數(shù)。η·;·的表達式為

其中，signx是符號函數(shù);α=1.005是通過迭代固定的調(diào)整常數(shù);σ是經(jīng)驗度量;N是殘差向量的維度。

2.3穩(wěn)固閾值A(chǔ)MP算法

AMP算法有效的前提是測量矩陣應(yīng)滿足獨立同分布（independentlyidenticallydistribution，IID）[17]，VS-NPE測量矩陣未能達到IID標準。本研究將歸一化處理測量矩陣，使其格式更為標準便于后續(xù)數(shù)據(jù)處理。提出一種穩(wěn)固閾值的AMP（stabilitythreshold-AMP，ST-AMP）算法用于VS-NPE內(nèi)核計算，ST-AMP算法核心思想是在AMP算法基礎(chǔ)上引入阻尼思想，并修改軟閾值函數(shù)為穩(wěn)固閾值函數(shù)，結(jié)合LS算法完成內(nèi)核計算。根據(jù)訓練樣本的輸入信號和VS-NPE模型信息，生成VS測量矩陣Z=z1…zN∈RN×M，以Z的列特征計算歸一化因子Ψ=diag‖z1‖2，…，‖zN‖2∈RM×M[18]，利用Ψ將等式（6）重寫為

其中，ZΨ=ZΨ-1表示歸一化測量矩陣;hΨ=Ψh表示VS-NPE的歸一化內(nèi)核;e表示測量噪聲。通過歸一化處理Z，使新矩陣ZΨ更加方便進行數(shù)據(jù)處理。

在AMP算法迭代過程引入阻尼技術(shù)[19]來提升算法收斂性，并修改存在恒定誤差的軟閾值函數(shù)為穩(wěn)固閾值函數(shù)，最終得到ST-AMP算法迭代過程，即

其中，rt是迭代t次時的殘差;β1，β2∈0，1是阻尼因子，設(shè)置β1=β2=0.008;htΨ是重構(gòu)信號;bt與式（11）中的含義一致;γ·;·是穩(wěn)固閾值函數(shù)，可彌補軟閾值函數(shù)的恒定誤差[20];θ與式（12）中的含義一致;γ·;·定義為

其中，參數(shù)b是正實數(shù)，設(shè)置b=2。

當hΨ的估計滿足收斂要求時，提取支持集h=Ψ-1hΨ。其中h的稀疏支持集是h的大系數(shù)分量的下標集Ni=i：（h）i>μ，μ是系數(shù)閾值。提取Ni后，用LS算法計算基于Ni的uΨ為

其中，A為傳感矩陣;uΨ=hNi。根據(jù)Ni信息對h進行重構(gòu)，得到VS-NPE參數(shù)內(nèi)核。

3仿真分析

根據(jù)上述理論，搭建基于IM/DD信道的VLC系統(tǒng)，通過迭代收斂性、歸一化均方誤差（normalizedmeansquareerrer，NMSE）ENMS性能、內(nèi)核數(shù)量和線性化能力等方面對比OMP算法和ST-AMP算法性能。訓練所需的模擬環(huán)境采用文獻[21]室內(nèi)空房間的VLC信道模型，訓練樣本選取帶寬125MHz，循環(huán)前綴長32的DCO-OFDM信號，而驗證數(shù)據(jù)的設(shè)置也區(qū)別于訓練樣本。

3.1模型結(jié)構(gòu)

由于記憶深度D和非線性階數(shù)K的確定直接影響了VS-NPE模型的結(jié)構(gòu)和性能，對比兩個算法性能之前，需提前確定參數(shù)（D，K）。本實驗仿照粒子群的尋優(yōu)思想確定模型參數(shù)（D，K），以ENMS作為尋優(yōu)目標，D分別選取2～5，K分別選取1～5，共組成20組（D，K），計算每組參數(shù)對應(yīng)的ENMS，取ENMS最小的一組為最優(yōu)參數(shù)組。歸一化均方誤差與（D，K）構(gòu)成的三維曲面圖如圖2所示。由圖2可知，OMP算法和ST-AMP算法最優(yōu)模型參數(shù)都是（4，3），此時，ENMS分別為-34.54dB和-34.93dB，達到內(nèi)核參數(shù)計算精度。因此，所有實驗都將以模型參數(shù)（4，3）作為訓練基礎(chǔ)。

3.2算法重構(gòu)精度分析

在無噪情況下，分析對比OMP算法與ST-AMP算法的收斂性。當N=400時，歸一化均方誤差隨迭代次數(shù)變化曲線如圖3所示。由圖3可以看出，在訓練長度條件苛刻的情況下，OMP算法與ST-AMP算法的NMSE都隨迭代次數(shù)的增大而減小，最后趨于穩(wěn)定。OMP算法僅迭代10次后，ENMS即可收斂于-35.26dB，而ST-AMP算法則需迭代240次時，ENMS才趨于穩(wěn)定，近似收斂于-35.86dB。兩種算法相比，OMP算法收斂速度更快，而ST-AMP算法收斂穩(wěn)定后ENMS更優(yōu)。

歸一化均方誤差性能隨訓練樣本長度變化曲線如圖4所示，該曲線對比OMP和ST-AMP算法的ENMS性能。隨著訓練樣本長度N的增加，兩條曲線都逐漸趨于穩(wěn)定。兩者相比，ST-AMP算法在N=400時，可達到ENMS=-30dB，比OMP算法小1.85dB，可見ST-AMP算法在訓練規(guī)模較小時，仍能保持較好的重構(gòu)精度。繼續(xù)增大N值，ST-AMP算法最終收斂于-33.78dB，而OMP算法最終收斂于-31.93dB，可見ST-AMP算法重構(gòu)精度高于OMP算法。

設(shè)置樣本長度N=400，對比上述兩種算法計算的模型參數(shù)數(shù)量。確定模型參數(shù)（D，K）=（4，3），VS-NPE模型參數(shù)固定數(shù)量為84，ST-AMP和OMP計算所得參數(shù)數(shù)量分別為79和29，分別降低了6%和65%?？梢奜MP計算參數(shù)量減少最多，即通過OMP所得的VS-NPE模型結(jié)構(gòu)最為簡單，可有效降低硬件消耗。測試上述兩種算法在含噪情況下NMSE性能，設(shè)置N=400，信噪比（signal-noiseratio，SNR）RSN為40dB時，ST-AMP和OMP對應(yīng)的ENMS分別為-25.22dB和-25.45dB，證明了其在含噪情況下也可以正確重構(gòu)VS-NPE內(nèi)核系數(shù)。

3.3VS-NPE線性化能力

仿真分析所提方案的非線性補償性能，可通過比較功率譜密度和誤碼率，直觀地分析所提方案的功率譜密度，不同算法的VS-NPE輸出信號功率譜密度對比如圖5所示。圖5顯示了有均衡和無均衡情況下的接收信號功率譜密度。由圖5可以看出，在無均衡的情況下，接收信號的帶外和帶內(nèi)功率都不同程度的出現(xiàn)失真，且低頻和高頻部分嚴重衰減。在含有基于OMP和ST-AMP算法的均衡器的情況下，可有效地抑制接收信號帶內(nèi)、帶外功率的失真，證明上述兩個方案都具有較強的線性化能力。

當N=400，RSN=40dB時，基于不同算法構(gòu)建相應(yīng)的VS-NPE，對比其誤碼率性能，不同算法下VS-NPE的誤碼率曲線如圖6所示。由圖6可以看出，上述方案都具有較高的內(nèi)核重構(gòu)精度，OMP和ST-AMP兩個方案下的誤碼率性能都比原版明顯提升，其中ST-AMP算法在N=400的樣本規(guī)模下誤碼率性能最佳，并且它可以降低每比特所需信噪比，當誤碼率達到10-3時，比OMP降低近6dB信噪比，證明其緩減信道非線性的能力優(yōu)于OMP方案。

4結(jié)束語

本文利用CS重構(gòu)算法OMP和ST-AMP計算VS-NPE內(nèi)核參數(shù)，構(gòu)造強健的VS-NPE模型以緩解VLC信道失真。ST-AMP算法是結(jié)合CS中AMP算法和LS算法，且為AMP的迭代過程引入阻尼因子和穩(wěn)固閾值函數(shù)。仿真結(jié)果表明，當VS-NPE模型將參數(shù)（D，K）設(shè)置為最優(yōu)時，OMP算法的優(yōu)點是收斂速度快，且計算的模型內(nèi)核數(shù)量少，可有效降低模型復雜度及硬件損耗。ST-AMP算法的優(yōu)點是收斂穩(wěn)定后NMSE更小，證明ST-AMP算法收斂時參數(shù)辨識精度更高。另外，在樣本長度較小的苛刻條件下，兩種算法仍能保持較高的重構(gòu)精度。同時，分析OMP算法和ST-AMP算法所構(gòu)建的VS-NPE在VLC系統(tǒng)中的線性化能力，歸一化功率譜密度曲線證明上述兩種算法下的VS-NPE都具有線性化能力，可同時補償VLC信道輸出信號的帶內(nèi)、帶外非線性失真，但ST-AMP算法收斂速度仍存在不足，因此在后續(xù)工作中仍需對ST-AMP算法的迭代過程繼續(xù)優(yōu)化。

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ResearchonVLCNonlinearEqualizerBasedonCompressedSensing

LIUXi，MIAOPu，TIANDaming

（TheCollegeofElectronicInformation，QingdaoUniversity，Qingdao266071，China）

Abstract：InordertosolveVolterraseriesnonlinearpost-distortionequalizer（VS-NPE）problemssuchasthelargenumberofcoresandcalculationdifficulties，thisstudyusestheorthogonalmatchingpursuit（OMP）algorithmandimprovedapproximatemessagepassing（AMP）algorithmtocalculateVS-NPEkernelparameters.WhentheimprovedAMPalgorithmisapplied，theVS-NPEmeasurementmatrixneedstobenormalized，andthentheAMPalgorithmiterativeprocessisintroducedintothedampingfactorsandthestablethresholdfunctiontoimprovetheaccuracyofmodelconstruction.Thesimulationresultsshowthatwhenthetrainingsamplelengthissmall，theOMPalgorithmandtheimprovedAMPalgorithmstillhavehighreconstructionaccuracy，andthenumberofmodelcorescalculatedbytheOMPalgorithmisreducedby65%，whicheffectivelyreducesthemodelcomplexity.Inaddition，theVS-NPEbasedontheabovetwoalgorithmsshowsgooddistortioncompensationinnormalizedpowerspectrumandbiterrorratio（BER）performance，whichprovetheeffectivenessandfeasibilityoftheproposedscheme.ThisresearchhelpstobuildarobustVS-NPEmodel，whichcansignificantlyalleviatethechannelnonlineardistortionofvisiblelightcommunication（VLC）systems.

Keywords：visiblelightcommunication;nonlinearequalizer;volterraseries;orthogonalmatchingpursuit

收稿日期：20211116;修回日期：20220110

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61801257）;山東省自然科學基金資助項目（ZR2019BF001）

作者簡介：劉希（1997），女，碩士研究生，主要研究方向為通信信息處理。

通信作者：苗圃（1987），男，副教授，主要研究方向為下一代通信系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)。Email：mpvae@qdu.edu.cn