王強 曾杰 焦高鋒 袁春華

摘要： 基于量子費歇爾信息和量子費希爾信息矩陣理論 ， 研究了三端口輸入的主動關(guān)聯(lián)馬赫-曾德爾（Mach-Zehnder， MZ）干涉儀在兩種不同輸入態(tài)下的相位估值極限.研究結(jié)果得到 ， 在單個端口輸入任意光場的情況下 ， 利用相位平均和量子費歇爾信息矩陣理論消除了輸入光場的漲落對相位估值極限的影響;而在雙端口輸入相干態(tài)的情況下 ， 無法消除光場漲落對估值極限的影響 ， 且相位估值極限依賴于輸入的雙相干光的初始相位.

關(guān)鍵詞：主動關(guān)聯(lián)馬赫-曾德爾干涉儀;? 量子費歇爾信息矩陣;? 相位估值;? 非線性分束器

中圖分類號： O431.2??? 文獻標志碼： A??? DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.016

Limit of multi-parameter phase estimation in an actively correlated Mach-Zehnder interferometer

WANG Qiang ，? ZENG Jie ，? JIAO Gaofeng ，? YUAN Chunhua

（School of Physics and Electronic Science， East China Normal University， Shanghai? 200241， China）

Abstract： In this paper， the phase estimation limits of an active-related Mach-Zehnder interferometer with three port inputs and two different input states was studied using quantum Fisher information and quantum Fisher information matrix theory. In the case of an arbitrary light field input to a single port， the effect of the input field fluctuation on the limit of phase estimation is eliminated by the theory of phase averaging and the quantum Fischer information matrix. In the case of a dual port input coherent state， the effect of the fluctuating light field on the estimation limit cannot be eliminated， and the phase estimation limit depends on the initial phase of the two input coherent states.

Keywords： actively correlated Mach-Zehnder interferometer;? quantum Fisher information matrix;? phase estimation;? nonlinear beam splitter

0? 引言

干涉儀的相位靈敏度是一個頗受關(guān)注的研究熱點. 在給定具體的探測方案后 ， 依賴誤差傳播理論[1]可以給出該方案下干涉儀的相位靈敏度;然而該方法無法歷遍所有可能的測量方案 ， 因此無法確定干涉儀在理想探測手段下的最佳相位靈敏度. Braunstein 和 Caves 提出的量子費歇爾信息理論可以完美地解決上述問題[2]. 量子費歇爾信息只依賴于特定的輸入狀態(tài) ， 而不依賴于特定的探測方案.此時相位靈敏度的最終界限由量子克拉美羅界（Quantum Cramér-Rao Bound ， QCRB）決定：?2?? 1/F ， 其中 F 為量子費歇爾信息[2-3]. 當考慮到實驗中存在著多個未知參數(shù)時 ， 需要將量子費歇爾信息擴展至量子費歇爾信息矩陣 （Quantum Fisher Information Matrix， QFIM）， 即可得某個未知參數(shù)的 QCRB—?2?? 1/F 其中 FM 為 QFIM[4].

馬赫-曾德爾干涉儀（MZ 干涉儀）和 SU（1， 1）干涉儀是當前精密測量領(lǐng)域中主流研究的兩類干涉儀 . MZ 干涉儀雖然可以容納強光場 ， 但在采用經(jīng)典光源（相干光）時其相位靈敏度極限受限于標準量子極限（Standard Quantum Limit， SQL）：?2?? 1/n ， 其中n 代表干涉儀中光子數(shù)[5]. 研究者們采用量子光源 ， 如壓縮態(tài)[5]、 N00N 態(tài)[6]、雙 Fock 態(tài)[7]、雙模壓縮態(tài)[8]等 ， 來突破 SQL. SU（1， 1）干涉儀[9] 采用非線性分束器 ， 如光參量放大器（Optical Parametric Amplifier， OPA）， 來替換 MZ 干涉儀中的線性分束器 ， 實現(xiàn)相位靈敏度的提高 . SU（1， 1）干涉儀可以逼近海森堡極限 （Heisenberg Limit， HL）：?2?? 1/n2[4]. 因此 SU（1， 1）干涉儀在理論上 [10-21]和實驗上[22-31]都得到了廣泛的研究 .但是 SU（1， 1）干涉儀無法容納強光場導致的其相位靈敏度絕對精度的不夠高.近年來 ， 結(jié)合這兩類干涉儀 ， 有研究者提出了一類 MZ 干涉儀的變型 —主動關(guān)聯(lián)馬赫-曾德爾 （Actively Correlated Mach-Zehnder， ACMZ）干涉儀[32]. ACMZ 干涉儀與傳統(tǒng)的 MZ 干涉儀相比 ， 在輸入上 ， 其中一個端口輸入強光場 ， 另外一個端口輸入由 OPA 輸出的雙模壓縮態(tài)的一模;在輸出上 ， 輸出的一模通過元器件 OPA 與雙模壓縮態(tài)的另外一模相結(jié)合 ， 實現(xiàn)了放大輸出. ACMZ 干涉儀與傳統(tǒng)的 SU（1， 1）干涉儀相比 ， 干涉儀中光子數(shù)量過少的問題得到了改善.

本文研究了兩種不同輸入態(tài)下 ACMZ 干涉儀相位測量的 QCRB.在單端口輸入光場的情況下， 通過兩類方式得到了相同的最優(yōu) QCRB;在雙相干態(tài)的情況下 ， 給出了最佳初始相位和的表達式 ， 并證明了初始相位波動對 QCRB 的影響能力 ， 以及其受到 ACMZ 干涉儀參數(shù)的影響.

1?? ACMZ 干涉儀模型

本文的 ACMZ 干涉儀主要組成如圖 1所示：線性分束器（Beam Splitter， BS）的一個輸入端口（模式 c）輸入強泵浦場 ， 另一個輸入端口（模式 b）輸入由非線性分束器 OPA 產(chǎn)生的雙模壓縮態(tài)的一個模式; ACMZ 干涉儀的4種模式用湮滅算符 i ，? i ， c?i ， d?i （i =0， 1）來描述;在 c 通道以及 d 通道嵌入未知相移作為本文的估值參數(shù) ， 即未知相移U1（?）均勻分布于兩臂 ， 兩臂均存在未知相移 U2（?）.

相移算符 U （?）依據(jù)未知相移的分布有著不同的構(gòu)建方式.第一類：當未知相移是平均分布于 c 通道和 d 通道時 ， 相移算符 U1（?）= ei? D? ， 其中算符g?D = （d? d?1 ? c? c?1）/2. 第二類：在 c 通道和 d 通道同時存在著不同的未知相移?1和 ?2 ， 該情況下 ACMZ 干涉儀模型的相移算符可以寫為? U2（?）= ei?1? 1 ei?2d^ d^1? = ei?S? S ei?d D? ， 其中算符 g?S = （d? d?1+ c? c?1）/2 ， 相移表述為?S = ?1+ ?2 ， ?D = ?2 ??1. 值得注意的是， 上述第一類為單參數(shù)估值 ， 第二類為雙參數(shù)估值. 在海森堡表象下， ACMZ 干涉儀的輸入輸出關(guān)系為

式（1）中 ， G 代表 OPA 的增益系數(shù) ， 它與g 滿足關(guān)系 G2 ? g2 =1 ;θOPA 為 OPA 相位; T 和 R 分別為 BS 的透射系數(shù)以及反射系數(shù). 注意： c 端口能容納的光場場強遠強于 a 端口和 b 端口的光場場強.

2? 單端口輸入光場

2.1? 單參數(shù)估值

本節(jié)將研究 ACMZ 干涉儀在 BS 一端輸入任意態(tài)ρ?χ（模式c）， 其余輸入端口（模式 a 和模式 b）輸入真空態(tài)|0??0|的情況下單參數(shù)估值 U1（?）的結(jié)果.

此時測量態(tài)為純態(tài). 利用純態(tài)量子費歇爾信息計算公式 F =4[?g?2?? ?g??2]可得

其中 ， Nc = ?ψ0|c? c?0|ψ0? ， Vc = ?ψ0| （ c?0）2|ψ0?? ?ψ0|c? c?0|ψ0?2 ， 它們分別為 c 端口輸入光場光強度以及光強漲落. 取 T = R =0.5時 ， 得到最大量子費歇爾信息值

然而正如 Jarzyna 等所提到的 ， 當直接采用量子費歇爾信息計算公式時 ， 很可能會過多地估計外部資源的利用[33]. 因此需要通過相位平均的思路 ， 來避免過多估計外部資源的可能. 將輸入態(tài)在粒子數(shù)態(tài)上做展開 ， 有

其中， n?代表粒子數(shù)態(tài) ， 下標c、a、b 代表輸入端口. 那么相位平均以后其輸入態(tài)可以表示為[33]

其中 ， A、B、C 代表3 個端口 ， VθA = eiθ y ， VθB = eiθ y ， VθC = eiθ y ， Pn = |cn|2 ， ∑Pn = 1. 那么相位平均后， 輸出態(tài)的密度矩陣為

其中 ， |ψn?= U （?） BT ，G |00n? ， BT ，G 代表 OPA 和 BS 的共同作用. 注意上述過程中只對輸入態(tài)相位取了平均， 而沒有對 OPA 相位θOPA 做平均.這說明在測量的過程中依舊可以使用 OPA 相位θOPA 對應的額外資源 ， 這與 SU（1， 1）干涉儀是一致的[8]. 隨后利用量子費歇爾信息的凸性[34] ， 可知相位平均后的量子費歇爾信息

其中， F （|ψn?）代表態(tài)|ψn?的量子費歇爾信息. 其相應公式為

因此相位平均后單參數(shù)估計的量子費歇爾信息

依據(jù)式（9）可以看出 ， 當僅 c 端口輸入光場 ， 其余端口均輸入真空態(tài)時 ， 取 T = R =0.5時可以得到最大的量子費歇爾信息

比較式（9）與式（2）， 可以發(fā)現(xiàn) ， 相位平均后消除了光場強度漲落項 Vc 對量子費歇爾信息的影響;然而比較式（10）與式（3）發(fā)現(xiàn) ， 量子費歇爾信息最大值沒有發(fā)生改變.顯然， 當T = R =0.5且固定 OPA 的增益 G 時 ， 量子費歇爾信息與輸入光場的光強呈正相關(guān) ， 且不依賴于 c 端口輸入光場ρ?χ的結(jié)構(gòu) ， 即輸入光場漲落 Vc 項不能提高 ACMZ 干涉儀的最佳相位靈敏度.此時提高 ACMZ 干涉儀的相位靈敏度的最佳方式是提高 c 端口輸入光場的場強. 這與 MZ 干涉儀以及 SU（1， 1）干涉儀中的結(jié)論相類似.

2.2? 雙參數(shù)估值

在2.1節(jié) ， 已經(jīng)得到了單參數(shù)估值的量子費歇爾信息.但需要注意的是 ， 在2.1 節(jié)中存在這一個預先的假設?S = ?/2 ??/2 =0;然而在更多的情況中 ， 未知相移?S， ?D 均是未知的 .此時 ， 即使僅有 1個參數(shù)為所需估值參數(shù) ， 也需將原來單參數(shù)估值問題擴展至多參數(shù)估值領(lǐng)域.本節(jié)在繼續(xù)維持輸入態(tài)不變的情況下 ， 研究雙參數(shù)估值的情況下的 QCRB.

在多參數(shù)估值領(lǐng)域 ， 其 QCRB 是通過 QFIM 得到的[4]. 本文選取參數(shù)?S 和?D ， 此時對應的 QFIM 為2×2矩陣

其中， 矩陣元Fij = 4[?g?ig?j?? ?g?i??g?j?]， i， j = S， D .在本文中， 所需要估值的參量為?D .這時依據(jù) QFIM 求得的 QCRB 為[4]

依據(jù)矩陣元表達式可知 FDS = FSD ， 那么從式（12）可見 ， 當且僅當 FDS = 0 時 ， FSS對?D 無影響. 即此時無需關(guān)心?S 是否已知 ， ?S 對?D 的估值精度沒有影響. 上述情況在 MZ 干涉儀中亦可以見到.綜上可以看出 ， 式（12）顯示了非對角元在雙參數(shù)估值中的作用. 當忽略非對角元在參數(shù)估值中的作用時 （隱晦地表示在實驗前就假設了?S 是一個已知量）， 將會把 FDD 直接作為?D 的 QCRB 對應的量子費歇爾信息， 從而高估估值精度極限.

將輸入態(tài)|χ?? |0?? |0?代入 QFIM 矩陣元的表達式中 ， 那么最終獲得 QFIM 矩陣元

將式（13）代入式（12）， 最終得到 QCRB

通過式（14）對透射系數(shù) T 偏導 ， 可得在 T = R =0.5時 ， QCRB 取得最佳值

比較式（9）與式（14）可以發(fā)現(xiàn) ， 不同于相位平均方法 ， 采用 QFIM 方法時 ， 光強漲落依舊影響著 QCRB.但是進一步比較式（10）和式（15）可以發(fā)現(xiàn) ， 兩類方法均于 T = R =0.5時取得最優(yōu) QCRB， 此時光場漲落項 Vc 在其中不起作用， 采用不同方法最終得到的最優(yōu) QCRB 一致.

3? 雙端口輸入光場

3.1? 最優(yōu) QCRB

由式（15）和式（10）得出了 ， 在 a 端口和 b 端口輸入真空態(tài)的情況下 ， ?D 的最佳 QCRB 不受 c 端口輸入光場漲落 Vc 的影響 ， 只與光場場強有關(guān). 下面考慮在 c 端口輸入相干態(tài)的同時 ， 在 a 端口輸入一個不同相干態(tài) ， 探究該情況下 ACMZ 干涉儀的 QCRB.

輸入態(tài)描述為

其中 ， α=? e? iθc ， β=? e? iθa? ， θa 、θc 分別代表兩個相干態(tài)攜帶的初始相位信息.在雙相干態(tài)輸入情況下 ， QFIM矩陣元將得到修改 ， 計算結(jié)果為

其中 ， Θ= θOPA +θa +θc ， Na = ?ψ0|?? 0|ψ0? ， Va = ?ψ0| （? 0）2|ψ0?? ?ψ0|?? 0|ψ0?2. 這3 項分別是雙相干光攜帶的初始相位、? a 端口輸入相干光光強及漲落. 求 QCRB 得

其中

令相干光初始相位Θ= 0 ， 當且僅當 BS 的參數(shù) T = R =0.5 ， 式（19）才取到最大值

比較式（19）與式（20）可以發(fā)現(xiàn) ， 當 T = R =0.5時 ， 光場的漲落項 Va ， Vc 將不再影響 QCRB.該結(jié)論與2.2 節(jié)的結(jié)論相同. 比較式（15）與式（20）發(fā)現(xiàn) ， 當雙端口輸入相干態(tài)時 ， 最優(yōu) QCRB 得到了提高 .對式（20）進行進一步分析可得 ， FCoh ，max 主要由兩項貢獻組成： Nag2項和 Nc （G2+ g2）項. 比較這兩項可以發(fā)現(xiàn) ， 提高 Nc 項能更好地提高FCoh ，max .同時考慮到對 ACMZ 干涉儀而言 ， 其 c 端口輸入光場的光強可以遠強于 a 端口輸入光場光強 ， 即 Nc ? Na ， 故可以認為 a 端口輸入相干光對最優(yōu) QCRB 的提升有限 ， 最優(yōu) QCRB 主要還是由 c 端口輸入相干光光強 Nc 及 OPA 增益系數(shù)G 所決定.此外依據(jù)式 （19）發(fā)現(xiàn) ， 當Θ 不為 0時 ， BS 的透射系數(shù) T 取任意值 ， 光場的漲落項 Va ， Vc 都將影響到 QCRB 的取值.

3.2? 相干光初始相位和對 QCRB 影響

本節(jié)將在保留初始相位和Θ 下進一步探究始相位和Θ 的最優(yōu)值及其對 QCRB 的影響. 將式（19）對Θ求導 ， 可得最佳初始相位和ΘOpt滿足條件

其中 ， 等號右邊第一項 f （T）= （T ? R）/4代表 BS 對 sinΘOpt 的影響能力;第二項 N （g， Na ， Nc ）表述為

代表光場及 OPA 對sinΘOpt 的影響能力. f （T）與 N （g， Na ， Nc ）共同作用影響相干光攜帶初始相位和的最佳值sinΘOpt .依據(jù)式（22）， 可以發(fā)現(xiàn) ， 當 T = R =0.5時 ， 輸入光場光強及光場漲落對ΘOpt無影響 ， 此時ΘOpt = kπ ， k 為整數(shù) ， 對應的量子費歇爾信息由式（20）給出.

為進一步探究初始相位和Θ 對量子費歇爾信息影響 ， 利用式（19）做量子費歇爾信息在不同的透射系數(shù) T 下與相干光初始相位和Θ的關(guān)系分析， 結(jié)果見圖 2.由圖2可以看出， Θ對FCoh的影響能力依賴于 T 值：當 T ?0.5時 ， Θ在[0， π]處對 FCoh的影響能力弱于Θ 在[π， 2π] 的影響能力; T ?0.5時 ， Θ在 [π， 2π]處對FCoh的影響能力弱于Θ在[0， π]的影響能力.

4? 結(jié)論

本文研究了單端口輸入任意態(tài)、雙端口輸入雙相干態(tài)這兩種情況下 ACMZ 干涉儀的相位估值極限 .對于單端口輸入任意態(tài) ， 通過相位平均方法可以消除光場漲落項 Vc 對 QCRB 的影響;利用 QFIM 方法時 ， 僅當 T = R =0.5時 （取得最優(yōu) QCRB 的條件）， 光場漲落項 Vc 對 QCRB 無影響;通過相位平均方法和 QFIM 方法得到的最優(yōu) QCRB 相同， 與輸入光場強度呈正相關(guān).

對于雙端口輸入相干態(tài)（Nc ? Na ）， 在雙相干光初始相位和Θ =0情況下 ， 最優(yōu) QCRB值在 T = R =0.5處取得 ， 該值僅由光場強度及 OPA 增益系數(shù)決定 ， 不依賴于光場漲落項 Va ， Vc ;在雙相干光初始相位和Θ? 0時 ， 對任意 T ， 最優(yōu) QCRB均依賴于光場漲落項 Va ， Vc .此外本文還給出了最佳初始相位和ΘOpt 的表達式 ， Θ對量子費歇爾信息的影響能力受到 BS 透射系數(shù) T 的影響：當 T =0.5時 ， ΘOpt = kπ ， QCRB 不受輸入光場性質(zhì)影響. 目前實驗上對 ACMZ 干涉儀的研究正在展開[35] ， 本文的理論結(jié)果可對 ACMZ 干涉儀的研究工作提供參考.

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（責任編輯：李藝）